乌海市第十中学2024届高三下学期4月月考数学（文）试卷(含答案)

这是一份乌海市第十中学2024届高三下学期4月月考数学（文）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，，若，则( )
A.B.1C.D.2
4．下图是甲,乙两个新能源汽车4S店2023年前10个月每个月汽车销量（单位:辆）的茎叶图,则( )
A.甲店汽车的平均月销量高于乙店汽车的平均月销量
B.甲店汽车月销量的极差比乙店汽车月销量的极差大
C.甲店与乙店的汽车月销量中位数相等
D.甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差
5．已知实数x,y满足,则的最大值为( )
A.1B.C.D.4
6．已知抛物线的焦点为F,顶点为O,C上一点P位于第二象限,若,则直线PF的斜率为( )
A.2B.C.D.
7．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数的部分图像如图所示,则的解析式可能为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在正方体中,M,N,E,F,G分别为棱,BC,,,的中点,则( )
A.平面EFGB.平面AFNC.平面EFGD.平面平面AFN
10．已知数列的前n项和为,且,若,则正整数m的最小值是( )
A.9B.10C.11D.12
11．函数在区间上的最小值,最大值分别为( )
A.,B.,C.,D.,2
12．已知四面体的各顶点均在球O的球面上,平面平面BCD,,,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为,若,,则______.
14．现从3男2女共5名志愿者中选出3人前去A镇开展防电信诈骗宣传活动,向村民普及防诈骗,反诈骗的知识,则女志愿者至少选中1人的概率为______.（用数字作答）
15．将斜边长为2的等腰直角三角板放在平面直角坐标系中,且使其中一个顶点与原点重合,一条边落在x轴的正半轴上,则该三角板外接圆的一个标准方程可以为_____.
16．已知定义在R上的函数满足对任意实数x都有,成立,若,则______.
四、解答题
17．2023年9月23日至10月8日,第19届亚洲运动会在中国杭州举行,这是我国继北京,广州亚运会后第三次举办亚运会,浙江某市一调研机构为了解本市市民对“亚运会”相关知识的认知程度,举办了一次“亚运会”网络知识竞赛,满分100分,并规定成绩不低于80分的市民获得优秀奖,成绩不低于70分的市民则认为成绩达标,现从参加了竞赛的男,女市民中各抽取了100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析,对男市民的竞赛成绩进行统计后,得到如下图所示的成绩频率分布直方图.
（1）试分别估计男市民成绩达标以及获得优秀奖的概率;
（2）已知样本中女市民获得优秀奖的人数占比为5%,则是否有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关?
附:,其中.
18．在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
（1）求证:;
（2）求的取值范围.
19．如图,在四棱锥中,底面四边形ABCD为矩形,,,,,
（1）求证:平面平面ABCD;
（2）若点为CP的中点,求三棱锥的体积.
20．已知函数.
（1）求的最小值;
（2）若有两个零点,求a的取值范围.
21．已知椭圆的左,右焦点分别为,,上,下顶点分别为A,B,且,的面积为.
（1）求C的方程;
（2）已知M为直线上任一点,设直线MA,MB与C的另一个公共点分别为P,Q.问:直线PQ是否过一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,试说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（t为参数）,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程;
（2）若l与C只有1个公共点,求的值.
23．已知函数.
（1）解不等式;
（2）记（1）中不等式的解集为M,M中的最大整数值为t,若正实数a,b满足,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得,
所以,
而,
所以.
故选:B.
2．答案：A
解析：依题意,设,则,
因为,
所以由,可得,
则,
所以,解得,
所以.
故选:A.
3．答案：B
解析：由题意知，，
由，得，解得，
因此，解得，即，
所以.
故选：B
4．答案：D
解析：甲店汽车月销量的平均数为:,
乙店汽车月销量的平均数为:,
所以甲店汽车的平均月销量等于乙店汽车的平均月销量,A错误;
甲店汽车月销量的极差为:,乙店汽车月销量的极差为:,
所以甲店汽车月销量的极差比乙店汽车月销量的极差小,B错误;
甲店汽车月销量的中位数为:,乙店汽车月销量的中位数为:,
所以甲店销量中位数大于乙店的汽车月销量中位数,C错误;
甲店汽车月销量的方差为
,
乙店汽车月销量的方差为
,
所以甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差,D正确.
故选:D
5．答案：C
解析：如图,作出可行域,由可得,要求,即要求若干平行直线的纵截距的最小值,
由图知,当且仅当直线l经过点A时,直线的纵截距最小,由可得,即,故.
故选:C.
6．答案：D
解析：设,则有,,
则有,即,
故,故.
故选:D.
7．答案：C
解析：当,时,进入第一次循环,得,;进入第二次循环,得,;
进入第三次循环,得,;…,,;
,,此时因,退出循环,输出,
而.
故选:C.
8．答案：A
解析：对于B,当时,,易知,,
则,不满足图象,故B错误;
对于C,,定义域为,
又,则的图象关于y轴对称,故C错误;
对于D,当时,,
由反比例函数的性质可知,在上单调递减,故D错误;
检验选项A,满足图中性质,故A正确.
故选:A.
9．答案：AC
解析：对于A,如图1,因M,N,E,F,分别为棱,BC,,,的中点,,且,易得,
则有,又,故,平面EFG,平面EFG,故平面EFG,即A项正确;
对于B,如图2,假设平面AFN,因平面AFN,则,而易得,
即是等腰三角形,即EF与AF必不垂直,故假设不成立,B项错误;
对于C,如图3,由正方体可得平面,因平面,则,
又,,则,又,则平面,因平面,故;
易得,同上可得,,又,故得平面,则平面,
因平面,则.因,故平面EFG,故C项正确;
对于D,不妨设正方体的棱长为2,如图4,建立空间直角坐标系.则,,,,,
于是,,,设平面AFN的法向量为,则,故可取,
又,,设平面EFG的法向量为,则故可取.
因,故平面AFN与平面EFG不垂直,即D项错误.
故选:AC.
10．答案：B
解析：因为,
当时,,得,
当时,,
所以,则,
则是以为首项,2为公比的等比数列,
所以,
故由,得,即,
因为,,又,所以,即,
则正整数m的最小值是10.
故选:B.
11．答案：A
解析：,
所以在区间上,即单调递增;
在区间上,即单调递减,
又,,
所以在区间上的最小值为,最大值为.
故选:A
12．答案：A
解析：因为平面平面BCD,,,
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,如图所示:
则四面体ABCD的外接球即直三棱柱的外接球,
因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的长度为,
所以直三棱柱的外接球的半径,
则球O的表面积,
故选:A.
13．答案：16
解析：设等差数列的公差为d,
则有,解得:,
所以.
故答案为:16
14．答案：或0.9
解析：记3名男志愿者分别为,2名女志愿者分别为,则从5人中选出3人的情况有,,,
,,,,,,,共10种,
其中女志愿者至少选中1人情况有,,,,,,,,,共9种,
故所求概率为
故答案:
15．答案：(答案不唯一)
解析：因为等腰直角三角形的斜边为,则直角边为,
又等腰直角三角外接圆的圆心为斜边的中点,外接圆的半径等于斜边的一半,
①若非直角顶点与原点重合,斜边与x轴重合,如下图所示:
则OB的中点为圆心,外接圆的半径,
所以外接圆的方程为（其中A点在第四象限时答案也一样）;
②若非直角顶点与原点重合,直角边与x轴重合,如下图所示:
则,,
则OB的中点为圆心,外接圆的半径,
所以外接圆的方程为;
③若非直角顶点与原点重合,直角边与x轴重合,如下图所示:
则,,
则OB的中点为圆心,外接圆的半径,
所以外接圆的方程为;
④若直角顶点与原点重合,直角边与x轴重合,如下图所示:
则,,
则AB的中点为圆心,外接圆的半径,
所以外接圆的方程为;
⑤若直角顶点与原点重合,直角边与x轴重合,如下图所示:
则,,
则AB的中点为圆心,外接圆的半径,
所以外接圆的方程为;
综上可得该三角板外接圆的标准方程可以为
或或.
故答案为:或或(答案不唯一)
16．答案：n
解析：由可得函数图象关于直线对称,
因,故,中,令,代入可得,
再令,代入可得,再令,代入可得,,
故令,代入可得,故.
故答案为:n.
17．答案：（1）0.75,0.25
（2）有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关.
解析：（1）设取得的成绩为X,
男市民成绩打标的概率为,
男市民获得优秀奖的概率为:.
（2）因为女市民获得优秀奖的人数占比为5%,所以女市民优秀人数为:人,男市民优秀人数为人,
列联表如图:
,
所以有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,
所以,
则,
由正弦定理可得,即,
所以,
又,故,由,
故;
（2）由（1）得,,
因为,
所以由正弦定理得
,
又锐角中,有,解得,
所以,则,
所以,即,
故的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,取AD中点H连接PH,所以,
因为,所以,
连接HB,,,底面四边形ABCD为矩形,
所以,,
在中,,,,
所以,所以,
又,AD,平面ABCD,所以平面ABCD,
又平面PAD,所以平面平面ABCD.
（2）因为E为PC的中点,
所以E到面PBD的距离为C到面PBD的距离的一半,
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
当时,即,则,
当时,即,则,
即当时,,函数单调递减,当时,,为增,
在处取最小值,.
（2）由（1）可知,,
由有两个零点,
时,,时,,
所以,,即,解得:.
的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）过定点
解析：（1）因,则由可得,即,①
又的面积为,②,③
由①②③联立,可解得,,
故C的方程为.
（2）如图,依题意,直线MA的斜率一定存在,不妨设,,则,
将其与椭圆方程联立,消去x,整理得:,则点P的横坐标为,
代入直线方程,求得;
同理,直线MB的斜率一定存在,则,将其与椭圆方程联立,消去x,
整理得:,则点Q的横坐标为,代入直线方程,求得;
则直线PQ的方程为:,整理得:,
化简为,展开得:,
移项合并得,故直线PQ一定经过点.
22．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由曲线C的参数方程为（t为参数）得,.
由直线l的极坐标方程为,可得,即
即曲线C的普通方程为.
即直线l的直角坐标方程为.
（2）直线l与曲线C只有一个公共点,
由得:,
当时,与交点为,符合题意.
当时,,
即,解得:.
综上,或.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）由
当时,由可得,则得,故;
当时,由可得,则得,故;
当时,由可得,则得,故.
综上可得:解集为.
（2）由（1）可得,依题,,即,则因,,
由,当且仅当时取等号,
由可得,即当,时,取得最小值为.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
分类
优秀
不优秀
总计
女市民
5
95
100
男市民
25
75
100
总计
30
170
200