重庆市凤鸣山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市凤鸣山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数,则z的共轭复数的虚部为( )
A.1B.C.iD.
2．已知向量,,若,则实数( )
A.2B.C.D.
3．设,则( )
A.B.C.D.
4．已知正方体的棱长为1,其内切球与外接球的表面积分别为,,则( )
A.1B.C.D.
5．已知a,b是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若a,b是异面直线,,,,,则
B.若,,,,则
C.若,,,则
D.若,,则
6．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了周,如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
7．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为( )
A.B.C.D.3
8．已知A,B,C,D四点都在表面积为的球O的表面上,若球O的直径,且,则三棱锥体积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则b的值可能是( )
A.1B.C.D.2
10．如图,正方体的棱长为1,E,F,G分别为BC,,的中点,则( )
A.直线与直线AF垂直
B.直线与平面AEF平行
C.点C与点G到平面AEF的距离相等
D.平面AEF截正方体所得的截面面积为
11．中,,,则下列结论中正确的是( )
A.若G为的重心,则
B.若P为BC边上的一个动点,则为定值4
C.若M,N为BC边上的两个动点,且,则的最小值为
D.已知Q是内部（含边界）一点,若,且,则的最大值是1
三、填空题
12．如图,正方形的边长为1,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为________.
13．已知边长为3的等边,,则______.
14．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则当取最小值时,______.
四、解答题
15．如图是某种水箱用的“浮球”,它是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的半径是,圆柱筒的高是.
（1）求这种“浮球”的体积;
（2）现要在这种“浮球”表面涂一层防水漆,每平方厘米需要花费防水漆元,共需花费多少费用?
16．在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且,,.求:
（1）a的值;
（2）和的面积.
17．如图,在四棱锥中,四边形ABCD为等腰梯形,,,M为PC上一点,且.
（1）求证:平面;
（2）若为正三角形,,求异面直线PC与AB所成角的余弦值;
（3）若点P到底面ABCD的距离为3,求三棱锥的体积.
18．在①,
②,
③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.
已知的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若___________.
（1）求角B;
（2）若,点D在外接圆上运动,求的最大值.
19．已知在平面直角坐标系中,点,点（其中a,b为常数,且）,点O为坐标原点.
（1）设点P为线段AB靠近点A的三等分点,,求的值;
（2）如图,设点,,…,,…,是线段AB的n等分点,,其中,n,,,求当时,求的值（用含a,b的式子表示）
（3）若,,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以,
所以虚部是.
故选:B
2．答案：D
解析：由题设,故.
故选:D
3．答案：B
解析：由题意可得,则.故选B.
4．答案：C
解析：内切球的半径,外接球的半径,
所以表面积之比为.
故选:C.
5．答案：A
解析：选项A,过b作平面与平面交于直线c,如图,因为a,b是异面直线,所以a,c相交,
又,所以,
由,得,
又,a,c是内两相交直线,所以,A正确;
选项B中,若,则与可能相交,B错;
选项C中,中只有一条直线与平行,这两个平面可能平行也可能相交;C错;
选项D中,,,则或,D错.
故选:A.
6．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l,则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l,周长为,
又圆锥底面半径为5,则底面周长为,
故,解得,
所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为,
故选:B.
7．答案：B
解析：连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当A、P、三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，由余弦定理得：
，所以，即，在三角形中，，，由勾股定理可得：，
且，同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，，，，
由余弦定理得：.
8．答案：D
解析：设球O的半径为R,因为球O的表面积为,故,即,
,,设的外接圆半径为r,圆心为,
根据正弦定理知,,即,
,
AD是直径,O是AD中点,故D到平面ABC的距离为,
在中,根据余弦定理得,,
即,
,当且仅当时,等号成立,
面积的最大值为,
三棱锥A－BCD体积的最大值.
故选:D.
9．答案：AD
解析：在中，，，，由余弦定理得：
，即，解得或，
所以b的值可能是1或2.
故选：AD.
10．答案：BD
解析：对于A中,因为,若,则,
从图中可以得出与AF相交,但不垂直,所以A错误;
对于B中,如图所示,取的中点N,连接,GN,则有,,
因为,,所以平面平面AEF,
又因为平面,所以平面AEF,所以B正确;
对于C中,假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,
则平面AEF必过CG的中点,
连接CG交EF于点H,而H不是CG中点,则假设不成立,所以C不正确;
对于D中,如图所示,连接,,延长,AE交于点S,
因为E,F分别为BC,的中点,所以,
所以A,E,F,四点共面,所以截面即为梯形,
因为,所以,即,即,
又因为,所以,即,
所以等腰的高,梯形的高,
所以梯形的面积,所以D正确.
故选:BD.
11．答案：ABC
解析：以A为坐标原点,分别以AB,AC所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系,
则,,,,,
对于A:由重心坐标公式可得所以,又,
所以,故A正确;
对于B:设,则
,
所以
,故B正确;
对于C:不妨设M靠近点B,,则,可得,
,
则,
所以当时,取得最小值为,故C正确;
对于D:设,,
由
可得,
所以,所以,
由,所以,所以,
则当,即时取得最大值,且最大值为,故D不正确.
故选:ABC.
12．答案：8
解析：根据直观图,还原原图可得OABC,如图所示:
根据原图与直观图的关系可得,,且,
所以,
所以原图形OABC的周长为,
故答案为:8
13．答案：6
解析：因为是边长为的等边三角形,且,
所以,
所以.
故答案为:6.
14．答案：
解析：因为,
由正弦定理,余弦定理得,
,,
,
当且仅当,即时取最小值.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）元
解析：（1）因为该“浮球”圆柱筒底面半径和半球的半径,
圆柱筒的高,所以两个半球的体积之和为,
圆柱的体积,
该“浮球”的体积是;
（2）根据题意,上下两个半球的表面积是,
而“浮球”的圆柱筒的侧面积为,
“浮球”的表面积;
所以共需花费（元）.
16．答案：（1）
（2）故,的面积为
解析：（1）因为,,,
所以,由余弦定理得:,解得.
故.
（2）由,,则,
由正弦定理得,
又,,得,
.
故,的面积为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）连接AC交BD于点N,再连接MN,
由及,可知,
又,
所以,
所以在中有,
又平面DMB,而,
所以平面DMB.
（2）取AD的中点O,连接PO,CO,根据,可知,
则异面直线PC与AB所成的角即为.
又可得,则,,
所以,
所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为.
（3）分别过点B,C作于E,于F,可得,
所以四边形ABCD的面积为,的面积为,
由,可知M到平面ABCD距离为1,
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①,由正弦定理得,
,,即,
,,,.
选②,,,
由正弦定理可得,,,
,.
选③,,
由已知结合正弦定理可得,
,,
,.
（2）,,,根据余弦定理,
,外接圆的直径,
过D作,垂足为G,而,
若取到最大值,则取最大值,
故可设为锐角,故此时,
当取最大值时,DG与圆相切且G在BC的延长线上（如图所示）,
设此时切点为H,垂足为F,取BC的中点E,外接圆圆心为O,连接OE,OH,
则且,故四边形OHFE为矩形,
故,故,
.
19．答案： （1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）因为,
而点P为线段AB靠近点A的三等分点,
所以,
所以,
所以.
（2）由题意得,
,
所以,
事实上,对任意正整数m,n,且,
有,
,
所以
所以,
（3）当时,线段AB上存在一点M,
使得,,
且存在点,,
则,
,
所以,
即线段AB上存在一点M,到点O和点N的距离之和,
如图所示:
作点O关于线段AB的对称点,
则最小值为.