2023-2024学年上海市杨浦双语学校七年级（下）期末数学试卷（二卷）（五四学制）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦双语学校七年级（下）期末数学试卷（二卷）（五四学制）（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简 4−2 3=______.
2.在平面直角坐标系内，点A(m−1,2+m)，如果点A关于直线x=1的对称点B落在y轴上，则m=______.
3.如图，在△ABC中，∠A=42∘，∠ABD=13∠ABC，∠BCD=23∠ACB，则∠BDC=______.
4.在平面直角坐标系内，点A(−2,2)，点B(4,0)，点C(0,−3)，则△ABC的面积为______.若点D在y轴正半轴上，若S△ACD=S△ABC，则点D坐标______.
5.如图，直线AB//CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，若∠PEF=75∘，∠CFQ=12∠PFC.则∠EFP的度数为______.
6.如图，在△ABC中，∠A=50∘，∠B=60∘，△ABC绕点A逆时针旋转到三角形的一边平行于原三角形的一边，若旋转角α小于180∘，则α=______.
二、解答题：本题共3小题，共26分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7.(本小题8分)
如图，已知在△ABC，D为CA延长线的一点，AP平分∠BAD，PB=PC，点E为BC中点，PE⊥BC交BA于点F.∠PBA=∠PCH，PH⊥CD.
(1)求证：AB=AH+HC(写出证明过程，但不用写出每步的理由)
(2)若∠ACB=120∘，且△PAF为等腰三角形，求∠PAF的度数.(直接写出结论)
8.(本小题8分)
在平面直角坐标系内，点A坐标(0,2)，点B坐标(2 3,0)，AB=4，且∠ABO=30∘.
(1)点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，写出点C的坐标；
(2)若点P在y轴上，点D在直线y=−1上，以A、B、P、D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D坐标.
9.(本小题10分)
在平面直角坐标系内，点A(0,2)，点B在x轴.
(1)若点B绕点A旋转90∘后落在坐标系中的点C处，当△ABC的面积为4时，写出点B的坐标.
(2)若存在点D在直线y=−1上，且△ABD为等腰直角三角形，写出点D坐标.
答案和解析
1.【答案】 3−1
【解析】解：简 4−2 3= (1− 3)2=|1− 3|= 3−1.
故答案为： 3−1.
将被开方数变成完全平方的形式即可求解．
本题考查有理数乘方的综合计算，关键在于掌握计算顺序．
2.【答案】3
【解析】解：因为点A关于直线x=1的对称点在y轴上，
所以点A在直线x=1的右侧，
因为点A坐标为(m−1,2+m)，
所以m−1−1=1−xB，
则xB=3−m，
所以点B的坐标为(3−m,2+m).
因为点B在y轴上，
所以3−m=0，
解得m=3.
故答案为：3.
根据题意得出点A在直线x=1的右侧，再求出点A关于直线x=1的对称点的坐标即可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意用m表示出点B的坐标是解题的关键．
3.【答案】88∘
【解析】解：∵∠A=42∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−42∘=138∘，
∵∠ABD=13∠ABC，
∴∠CBD=23∠ABC，
∵∠BCD=23∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=23(∠ABC+∠ACB)=23×138∘=92∘，
∵∠D=180∘−(∠DBC+∠DCB)=88∘.
故答案为：88∘.
首先根据三角形内角和定理，得出∠ABC+∠ACB=138∘，然后根据三等分线的定义，求出∠DBC+∠DCB的度数；最后根据三角形内角和定理，求出∠BDC的度数即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三等分线的定义是解题的关键，
4.【答案】13(10,0)
【解析】解：如图，
由图可知，S△ABC=6×5−12×2×6−12×3×4−12×2×5=13.
过点B作AC的平行线，交y轴于一点D，设D(0,d)，
∴S△ACD=12(3+d)⋅2=S△ABC=13，
解得d=10，
∴D(10,0).
故答案为：13；(10,0).
在坐标系中找到点A，B，C，构造长方形，利用大减小得到△ABC的面积；过点B作AC的平行线，交y轴于一点，根据三角形的面积公式可求出点D的坐标．
本题主要考查坐标系中三角形的面积问题以及利用平行线转化面积，熟练掌握割补法求三角形的面积及三角形面积公式是解题关键．
5.【答案】35∘或63∘
【解析】解：当点Q在CD的上方时，
∵AB//CD，∠PEF=75∘，
∴∠PEF+∠EFC=180∘，
∴∠EFC=180∘−75∘=105∘，
∵将△EFP沿PF折叠，便顶点E落在点Q处，
∴∠PFE=∠PFQ，
∵∠CFQ=∠PFQ=∠PFE=13∠EFC，
∴∠PFE=13×105∘=35∘.
当点Q在CD下方时，
∵∠CFQ=12∠PFC，设∠CFQ=x，∠PFC=2x，
∴∠PFE=∠PFQ=3x，
∴3x+2x=105∘，
∴x=21∘，
∴∠PFE=3×21=63∘.
故答案为：35∘或63∘.
依据平行线的性质，即可得到∠EFC的度数，再求出∠CFQ，即可求出∠PFE的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确掌握平行线的性质和轴对称的性质是解题的关键．
6.【答案】60∘或70∘或110∘或120∘
【解析】解：令△ABC绕点A逆时针旋转后的对应三角形为△AMN(其中点B对应点为M，点C对应点为N)，
当AM//BC时，如图所示，
∵AM//BC，
∴∠MAB=∠B=60∘.
∴旋转角α为60∘.
当AN//BC时，如图所示，
∵AN//BC，
∴∠NAB=∠B=60∘，
∴∠NAC=∠NAB+∠BAC=60∘+50∘=110∘.
∴旋转角α为110∘.
当MN//AC时，如图所示，
在△ABC中，∵∠A=50∘，∠B=60∘，
∴∠C=180∘−50∘−60∘=70∘，
由旋转可知：∠C=∠N=70∘，
∵MN//AC，
∴∠NAC=∠N=70∘.
∴旋转角α为70∘.
当MN//AB时，如图所示，
∵MN//AB，
∴∠NAB=∠N=70∘，
∴∠NAC=∠NAB+∠BAC=70∘+50∘=120∘.
∴旋转角α为120∘.
综上所述，旋转角α=60∘或70∘或110∘或120∘.
故答案为：60∘或70∘或110∘或120∘.
根据△ABC旋转后的一边与原三角形的一边进行分类讨论，并画出图形，再结合平行线的性质即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，三角形内角和定理，熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
7.【答案】(1)证明：过点P作PG⊥AB于点G，
又∵PH⊥CD，
∴∠AGP=∠BGP=∠AHP=90∘，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP，
在△APG和△APH中，
∠AGP=∠AHP∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△APG≌△APH(AAS)，
∴AG=AH，PG=PH，
∵点E为BC中点，PE⊥BC，
∴PB=PC，
在Rt△PBG和Rt△PCH中，
PB=PCPG=PH，
∴Rt△PBG≌Rt△PCH(HL)，
∴BG=CH，
∵AB=BG+AG，
∴AB=AH+HC；
(2)解：设∠PAF=α，
∵AP平分∠BAD，
∴∠PAD=∠PAF=α，
∴∠BAC=180∘−2α，
当PF=PA时，
∴∠PFA=∠PAF=α，
又∠BFE=∠PFA=α，
∵PE⊥BC，
∴∠ABC=90∘−α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180∘，
即180∘−2α+90∘−α+120∘=180∘，
解得：α=70∘；
当AP=AF时，∠AFP=∠BFE=12(180∘−α)=90∘−12α，
∴∠ABC=90∘−(90∘−12α)=12α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180∘，
即180∘−2α+12α+120∘=180∘，
解得：α=80∘；
当FA=FP时，∠AFP=∠BFE=180∘−2α，
∠ABC=90∘−(180∘−2α)=2α−90∘，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180∘，
即180∘−2α+2α−90∘+120∘=180∘不成立，
故此情况不存在；
综上所述，∠PAF=70∘或∠PAF=80∘.
【解析】(1)过点P作PG⊥AB于点G，利用AAS证明△APG≌△APH，根据全等三角形的性质得出AG=AH，PG=PH，根据线段垂直平分线的性质求出PB=PC，利用HL证明Rt△PBG≌Rt△PCH，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可得证；
(2)设∠PAF=α，得∠BAC=180∘−2α，分当PF=PA，AP=AF，FA=FP，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解．
此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
8.【答案】解：(1)如图，点A坐标(0,2)，点B坐标(2 3,0)，
∴OA=2，OB=2 3，
当AB=BC=4时，△ABC为等腰三角形，
∴C1(2 3+4,0)，C3(2 3−4,0)，C6(0,−2)，
当AB=AC=4时，△ABC为等腰三角形，
∴C4(−2 3,0)，C5(0,6)，C7(0,−2)，
当AC=CB时，点C在AB的垂直平分线上，
∵∠ABO=30∘，
∴∠C2AC=∠ABO=30∘，
∴∠OAC2=30∘，
∴OC2=12AC2，
∴AC22=OC22+OA2，
∴OC2=2 33，
∴C2(2 33,0)，
综上所述，点C的坐标为(2 3+4,0)或(2 3−4,0)或(−2 3,0)或(0,6)或(2 33,0)；
(2)∵点P在y轴上，点D在直线y=−1上，
∴设P(0,m)，D(n,−1)，
∵以A、B、P、D为顶点的四边形为平行四边形，
∴当AB为对角线时，由中点坐标公式得2 3=n2=m−1，
∴m=3n=2 3，
∴D(2 3,−1)，
当AP为对角线时，由中点坐标公式得0=2 3+n2+m=−1
∴m=−3n=−2 3，
∴D(−2 3,−1)，
当AD为对角线时，由中点坐标公式得n=2 32−1=m，
∴m=1n=2 3，
∴D(2 3,−1)，
综上所述，以A、B、P、D为顶点的四边形为平行四边形，点D坐标为(2 3,−1)或(−2 3,−1).
【解析】(1)根据等腰三角形的性质即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】解：(1)由题意△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC的面积为4，
∴AB=2 2，
∴B(2,0)或B′(−2,0)；
(2)观察图象可知D(1,−1)或D′(−1,−1).

【解析】(1)判断出AB=2 2，可得结论；
(2)根据等腰直角三角形的判定画出图形可得结论．
本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．