2023-2024学年上海市浦东新区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知−π3，37，3.1416， 4，3.2121121112…(每相邻两个2之间依次增加一个1)，其中无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列运算中，正确的是( )
A. 2+ 2=2B. ( 3− 2)2=1
C. (−4)2×3=−4 3D. (−3)×(−5)= 3× 5
3.如图，下列条件中，不能判断直线a//b的是( )
A. ∠1=∠3
B. ∠2=∠3
C. ∠4=∠5
D. ∠2+∠4=180∘
4.在平面直角坐标系中，点P(3,−2)关于x轴的对称点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.如图，△ABC中，BM：CM=2：3，已知△ABM的面积为4，则△ABC的面积为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
6.如图，在△ACB中，∠ACB=90∘，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H.有下列结论：①∠APB=135∘；②△ABP≌△FBP；③∠AHP=∠ABC；④AH+BD=AB；其中正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.9的平方根是______.
8.计算：813=______.
9.用科学记数法表示0.00003245的近似数，并保留3个有效数字：______.
10.比较大小：3______2 2.
11.如果点P(m+2,2m+1)恰好在y轴上，那么点P坐标为______.
12.在平面直角坐标系中，经过点A(3,2)且垂直于y轴的直线表示为直线______.
13.已知等腰三角形的周长为12，其中一条边为3，那么它的腰长为______.
14.如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上，若∠1=26∘，则∠2的度数为______.
15.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，△BDE周长为8，AC=10，则△ABC的周长是______.
16.如图，已知△AED绕点E顺时针旋转至△BEC，联结AB、∠ABE=65∘，∠BAD=30∘，则∠CBE的度数为______ ∘.
17.如图所示，l1//l2，点A，E，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，满足BD平分∠ABC，BD⊥CD，CE平分∠DCB，若∠BAD=130∘，那么∠DEC=______ ∘.
18.在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交AC于点N.如果△CBN是等腰三角形，则∠C的度数为______.
三、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
计算：(π−3.14)0−|2− 3|+(− 3)2.
20.(本小题4分)
计算：(4 2−2)÷ 2+(1+ 2)2.
21.(本小题4分)
利用幂的运算性质进行计算： 27×33÷63.(结果用幂的形式表示)
22.(本小题6分)
如图，AD是∠EAC的平分线，AB=AC，试说明AD//BC.
解：因为AD是∠EAC的平分线(已知)，
所以______=______(______)，
因为AB=AC(已知)，
所以______=______(______)，
因为∠EAC=∠B+∠C(______)，
即∠EAD+∠DAC=∠B+∠C，
∴2∠DAC=2∠C(等量代换)，
∴∠DAC=∠C(等式性质)，
所以AD//BC(______).
23.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DE=CE，联结AE、BE，且AE平分∠BAD，延长AE交BC的延长线于点F.试说明BE⊥AF.
解：∵DD//BC(已知)，
∴∠DAE=∠F(______)，
在△ADE和△FCE中，
{∠DAE=∠F(已证)∠DEA=∠CEF()DE=CE(已知)，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴______=______(______)，
∵AE平分∠BAD(已知)，
∴∠DAE=∠BAE(角平分线的意义)，
∴______=______(等量代换).(请完成以上说理过程)
24.(本小题6分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF的长.
25.(本小题6分)
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC.
求证：△BDE是等腰三角形．
26.(本小题6分)
在△ABC中，∠ACB=90∘，AD⊥DE，AC=BC=BE，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由.
27.(本小题7分)
已知在直角坐标平面内，有点A(−2,3)、点B(1,−1)，把点A向下平移5个单位得到点C.
(1)点C的坐标为______；
(2)△ABC的面积是______；
(3)在直线x=1上找一点D，使S△ABC=S△ACD，那么点D的个数有______个；
(4)在平面直角坐标系的第二、四象限中找一点E，使△OCE为等腰直角三角形，且以OC为直角边，则点E的坐标是______.
28.(本小题9分)
如图，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90∘，AF⊥CB，垂足为F.
(1)试说明∠ABF=∠ADC的理由；
(2)猜想CF和CE的位置关系，并说明理由；
(3)试说明：CD=2BF+DE.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：37，3.1416， 4=2是有理数，−π3，3.2121121112…(每相邻两个2之间依次增加一个1)是无理数，有2个．
故选：B.
无理数的形式主要有π、开方开不尽的数、无限不循环小数，根据此判断即可．
本题考查判断无理数，熟记无理数的形式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、 2+ 2=2 2，原计算错误，不符合题意；
B、( 3− 2)2=3+2−2 6=5−2 6，原计算错误，不符合题意；
C、 (−4)2×3=4 3，原计算错误，不符合题意；
D、 (−3)×(−5)= 3× 5，正确，符合题意；
故选：D.
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断即可．
【解答】
解：当∠1=∠3时，a//b；
当∠4=∠5时，a//b；
当∠2+∠4=180∘时，a//b.
故选：B.
【点评】
本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：点P(3,−2)满足点在第四象限的条件．
关于x轴的对称点的横坐标与P点的横坐标相同，是3；纵坐标互为相反数，是2，
则P关于x轴的对称点是(3,2)在第一象限．
故选：A.
应先判断出所求的点的横纵坐标，进而判断所在的象限．
本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
5.【答案】A
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵△ABM的面积为4，即S△ABM=4，
∴12BM⋅AE=4，
∵BM：CM=2：3，
∴BM=23CM，
∴4=12BM⋅AE=12×23CM⋅AE=23×12CM⋅AE=23S△AMC，
∴S△AMC=6，
∴S△ABC=S△ABM+S△AMC=4+6=10，
∴△ABC的面积为10.
故选：A.
过点A作AE⊥BC于点E，根据三角形的面积公式得出S△AMC=6，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC可得结论．
本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90∘，
∴∠CAB+∠CBA=90∘，
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAC=∠PAB=12∠CAB，∠PBF=∠PBA=12∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12(∠CAB+∠CBA)=12×90∘=45∘，
∴∠APB=180∘−(∠PAB+∠PBA)=180∘−45∘=135∘，故结论①正确；
∴∠BPD=180∘−∠APB=180∘−135∘=45∘，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPA=∠FPD=90∘，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90∘+45∘=135∘，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
∠APB=∠FPBPB=PB∠PBA=∠PBF，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，故结论②正确；
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
∴∠PAH=∠PFD，
在△PAH和△PFD中，
∠PAH=∠PFDPA=PF∠APH=∠FPD，
∴△PAH≌△PFD(ASA)，
∴AH=FD，∠AHP=∠FDP，
∵∠FDP是△ABD的外角，
∴∠FDP>∠ABC，
∴∠AHP>∠ABC，故结论③错误；
又∵AH=FD，AB=FB，
∴AB=FB=FD+BD=AH+BD，
即AH+BD=AB，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C.
根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=45∘，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB=∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD(ASA)，得AH=FD，∠AHP=∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】±3
【解析】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3.
故答案为：±3.
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．
本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
8.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查分数指数幂，解题的关键是熟练掌握分数指数幂的定义，转化为根式进行计算，属于基础题．
根据分数指数幂的定义，转化为根式即可计算．
【解答】
解：8 13=38=2.
故答案为2.
9.【答案】3.25×10−5
【解析】解：0.00003245≈3.25×10−5.
故答案为：3.25×10−5.
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.00003245向右移动四位|a|才有意义，所以n为−4.
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
本题考查科学记数法与有效数字，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10.【答案】>
【解析】解：32=9，(2 2)2=8，
∵9>8，
∴3>2 2，
故答案为：>.
首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
11.【答案】(0,−3)
【解析】解：∵P(m+2,2m+1)在y轴上，
∴m+2=0，
解得m=−2，
即2m+1=−4+1=−3.
即点P的坐标为(0,−3).
故答案为：(0,−3).
点P在y轴上则该点横坐标为0，可解得m的值，从而得到点P的坐标．
本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0.
12.【答案】y=2
【解析】解：由题意得：经过点A(3,2)且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y=2，
故答案为：y=2.
垂直于y轴的直线，纵坐标相等为2，所以为直线：y=2.
此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点．
13.【答案】4.5
【解析】解：若腰长为3，则底边长为：12−3−3=6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
若底边长为3，则腰长为：12−32=4.5；
∴该等腰三角形的腰长为：4.5.
故答案为：4.5.
分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．
14.【答案】64∘
【解析】解：如图所示，
∵将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上，
∴∠2=∠3，
又∠3+∠1=90∘，∠1=26∘，
∴∠3=90∘−26∘=64∘，
∴∠2=64∘.
故答案为：64∘.
由平行线的性质，可得∠2=∠3，由∠3=90∘−∠1，进而求出∠2的度数．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】28
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90∘，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵△BDE周长为8，
∴DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE=8，
∵在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD=ADDE=DC，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，
∴AE=AC=10，
∴△ABC的周长为：
AC+BC+BE+AE=8+10+10=28.
故答案为：28.
根据角平分线的性质可得DE=DC，根据△BDE周长为8，得出DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE=8，证明Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，得出AE=AC=10，即可求出结果．
本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．
16.【答案】35
【解析】解：△AED绕点E顺时针旋转至△BEC，
∴AE=BE，∠CBE=∠DAE，
∴∠BAE=∠ABE=65∘，
∵∠BAD=30∘，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=35∘，
∴∠CBE=35∘.
故答案为：35∘.
根据旋转的性质AE=BE，∠CBE=∠DAE，已知∠BAD=30∘，根据等角对等边求出∠BAE=∠ABE=65∘，求出∠DAE即可．
本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是熟练运用旋转的性质．
17.【答案】32.5
【解析】解：∵l1//l2，
∴∠BAD+∠ABC=180∘，
∵∠BAD=130∘，
∴∠ABC=50∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25∘，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90∘，
∴∠BCD=65∘，
∵CE平分∠DCB，
∴∠ECB=32.5∘，
∵l1//l2，
∠DEC=32.5∘.
故答案为：32.5.
根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠DEC的度数，本题得以解决．
本题考查平行线的性质、角平分线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】72∘或(5407)∘.
【解析】解：设∠A=α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180∘−α2，
∵把△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴AN=BN，
∴∠NBA=∠A=α，
∴∠BNC=∠NBA+∠A=α+α=2α，
∴∠NBC=180∘−∠C−∠BNC=180∘−180∘−α2−2α=180∘−3α2，
∵△CBN是等腰三角形，
①若NB=NC，则∠NBC=∠C，
即180∘−3α2=180∘−α2，
解得：α=0∘，不符合题意；
②若BN=BC，则∠C=∠BNC，
即180∘−α2=2α，
解得：α=36∘，
∴∠C=180∘−α2=180∘−36∘2=72∘；
③若CB=CN，则∠NBC=∠BNC，
即180∘−3α2=2α，
解得：α=(1807)∘，
∴∠C=180∘−α2=180∘−(1807)∘2=(5407)∘，
综上所述，∠C的度数为72∘或(5407)∘.
故答案为：72∘或(5407)∘.
设∠A=α，根据等边对等角得∠ABC=∠ACB=180∘−α2，根据折叠的性质得AN=BN，继而得到∠NBA=∠A=α，∠BNC=∠NBA+∠A=2α，∠NBC=180∘−3α2，然后分三种情况：①若NB=NC；②若BN=BC；③若CB=CN，分别建立关于α的一元一次方程，求解即可．
本题考查翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用．
19.【答案】解：(π−3.14)0−|2− 3|+(− 3)2
=1−(2− 3)+3
=1−2+ 3+3
=2+ 3.
【解析】首先计算乘方、零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20.【答案】解：(4 2−2)÷ 2+(1+ 2)2
=4− 2+1+2+2 2
=7+ 2.
【解析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算，正确记忆运算法则是解题关键．
21.【答案】解：原式=332×313÷316=353.
【解析】原式利用分数指数幂变形，计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】∠EAD∠CAD角平分线定义 ∠B∠C等边对等角 三角形外角的性质 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为AD是∠EAC的平分线(已知)，
所以∠EAD=∠CAD(角平分线定义)，
因为AB=AC(已知)，
所以∠B=∠C(等边对等角)，
因为∠EAC=∠B+∠C(三角形外角的性质)，
即∠EAD+∠DAC=∠B+∠C，
∴2∠DAC=2∠C(等量代换)，
∴∠DAC=∠C(等式性质)，
所以AD//BC(内错角相等，两直线平行).
故答案为：∠EAD=∠CAD，角平分线定义，∠B=∠C，等边对等角，三角形外角的性质，内错角相等，两直线平行．
由角平分线定义得到∠EAD=∠CAD，由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，由三角形外角的性质得到∠EAC=∠B+∠C，因此∠DAC=∠C，即可证明AD//BC.
本题考查平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义推出∠DAC=∠C.
23.【答案】两直线平行，内错角相等 AE FE 全等三角形的对应角相等 ∠BAF∠F
【解析】解：∵DD//BC(已知)，
∴∠DAE=∠F(两直线平行，内错角相等)，
在△ADE和△FCE中，
{∠DAE=∠F(已证)∠DEA=∠CEF(对顶角相等)DE=CE(已知)，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AE=FE(全等三角形的对应边相等)，
∵AE平分∠BAD(已知)，
∴∠DAE=∠BAE(角平分线的意义)，
∴∠BAF=∠F(等量代换)，
∴AB=FB(“等角对等边”)，
∴BE⊥AF(等腰三角形的“三线合一”).
故答案为：两直线平行，内错角相等，对顶角相等，AE=FE，全等三角形的对应边相等，∠BAF=∠F.
由DD//BC，根据两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠F，由对顶角相等得∠DEA=∠CEF，而DE=CE，即可根据“AAS”证明△ADE≌△FCE，由全等三角形的对应边相等得AE=FE，由AE平分∠BAD得∠DAE=∠BAE，根据等量代换得∠BAF=∠F，所以AB=FB，则BE⊥AF，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△ADE≌△FCE是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60∘.
∵DE//AB，
∴∠B=EDC=60∘，∠A=∠CED=60∘，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60∘，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90∘，
∴∠F=30∘；
(2)∵∠F+∠FEC=∠ECD=60∘，
∴∠F=∠FEC=30∘，
∴CE=CF.
∵∠EDC=∠ECD=∠DEC=60∘，
∴CE=DC=2.
∴CF=2.
∴DF=DC+CF=2+2=4.
【解析】(1)证明△DCE中的三个角均为60∘，然后再求得∠F=30∘，则可得出答案；
(2)先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25.【答案】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD.
∴∠BAD=∠EDA.
∵AD⊥BD，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∠BDE+∠EDA=90∘，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，
∴△BDE是等腰三角形．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线的性质以及角平分线的定义的运用．
直接利用平行线的性质得出∠EDA=∠CAD，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
26.【答案】解：CE=2AD，
理由：作BF⊥CE于点F，
∵BC=BE，
∴CF=EF，
∴CE=2CF，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC=∠CFB=90∘，
∴∠CAD+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCF+∠ACD=90∘，
∴∠CAD=∠BCF，
在△CAD和△BCF中，
∠CAD=∠BCF∠ADC=∠CFBAC=CB，
∴△CAD≌△BCF(AAS)，
∴AD=CF，
∴CE=2AD.
【解析】作BF⊥CE于点F，由BC=BE，根据等腰三角形的“三线合一”得CF=EF，再证明△CAD≌△BCF，得AD=CF，则CE=2CF=2AD.
此题重点考查同角的余角相等、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
27.【答案】(−2,−2)152 无数 (−2,2)或(2,−2)
【解析】解：(1)∵点A(−2,3)向下平移5个单位得到点C，
∴点C的坐标为(−2,3−5)，
即C(−2,−2)；
(2)如图1，S△ABC=12×5×[1−(−2)]=152.
(3)∵直线x=1与AC平行，
∴如图2，在直线x=1上任意找一点都可以使S△ABC=S△ACD.
(4)∵点C的坐标为(−2,−2)，
∴∠COM=∠CON=45∘，
∴点E的坐标为(−2,2)或(2,−2)时，△COE是以CO为直角边的等腰直角三角形．如图3，
.
(1)根据平移规律求出点C的坐标即可；
(2)利用三角形面积公式求出△ABC的面积即可；
(3)根据AC与直线x=1平行，得出在直线x=1上任意找一点，都可以S△ABC=S△ACD，从而可得出点D的个数；
(4)根据点C的坐标为(−2,2)，得出∠COM=∠CON=45∘，根据图形可以得出点E的坐标．
本题主要考查了坐标与图形，平移性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
28.【答案】解：(1)∵△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90∘，
∴AB=AD，AC=AE，∠E=∠ACE=45∘，∠BAC=∠DAE=90∘−∠CAD，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴∠ACB=∠E=45∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACE=90∘，
∵∠ABF+∠ABC=180∘，∠ADC+∠ABC=360∘−∠BAD−∠BCD=180∘，
∴∠ABF=∠ADC.
(2)CF⊥CE，
理由：由(1)得∠BCD=90∘，
∴CF⊥CE.
(3)由(1)得△BAC≌△DAE，
∴BC=DE，
∵∠F=90∘，∠ACB=45∘，
∴∠ACF=∠CAF=45∘，
∴AF=CF，
∴AC= AF2+CF2= 2CF，
∴CE= AE2+AC2= 2AC= 2× 2CF=2CF，
∴CD=CE−DE=2CF−BC=2(BF+BC)−BC=2BF+BC，
∴CD=2BF+DE.
【解析】(1)由等腰三角形的性质得AB=AD，AC=AE，∠E=∠ACE=45∘，推导出∠BAC=∠DAE，即可根据“SAS”证明△BAC≌△DAE，得∠ACB=∠E=45∘，则∠BCD=90∘，即可由∠ABF+∠ABC=180∘，∠ADC+∠ABC=180∘，推导出∠ABF=∠ADC；
(2)由(1)得∠BCD=90∘，则CF⊥CE；
(3)由全等三角形的性质得BC=DE，由∠ACF=∠CAF=45∘，得AF=CF，则AC= 2CF，CE= 2AC=2CF，所以CD=2CF−BC=2(BF+BC)−BC=2BF+BC=2BF+DE.
此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于360∘、同角的补角相等、勾股定理等知识，证明△BAC≌△DAE是解题的关键．