2023-2024学年安徽省合肥市包河区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个关数中，是无理数的是( )
A. 3.14B. πC. 227D. 121
2.下列各式中，计算正确的是( )
A. 2 2− 2=2B. a3+a2=2a5C. a3÷a2=aD. (a2b)2=a2b2
3.关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.如图，给出了过直线AB外一点P，作已知直线AB的平行线的方法，其依据是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线品行
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5.已知m+n=3，mn=1，则(1−2m)(1−2n)的值为( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
6.把公式U−VR=VS变形为用U，S，R表示V.下列变形正确的是( )
A. V=R+SUSB. V=USRC. V=UR+SD. V=USR+S
7.若a=−0.22，b=(−12)−2，c=(−2)0，则它们的大小关系是( )
A. c8.某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB//CD，∠BAE=87∘，∠DCE=121∘，则∠E的度数是( )
A. 28∘B. 34∘C. 46∘D. 56∘
9.分式方程2x−3x2−1−1x+1=2x−1的解为( )
A. x=4B. x=−5C. x=−6D. x=−4
10.对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[2]=2，[ 3]=1，[−1.5]=−2，现对50进行如下操作：
50→第一次[50 50]=7→第二次[7 7]=2→第三次[2 2]=1，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行( )次操作后变为1.
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共7小题，共29分。
11.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为______.
12.分解因式：12x−3x2=______.
13.若(x−2)(x+m)=x2+3x−n，则m−n=______.
14.如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠1多9∘，则∠AEF为______.
15.已知x2−2x−1=0，则3x3−10x2+6xx2−x−5的值等于______.
16.已知关于x的不等式组2x+1>x+ax2+1≥52x−9.
(1)若不等式组的最小整数解为x=l，则整数α的值为______；
(2)若不等式组所有整数解的和为14，则a的取值范围为______.
17.有一组数据：a1=31×2×3，a2=52×3×4，a3=73×4×5，…，an=2n+1n(n+1)(n+2).记Sn=a1+a2+a3+⋯+an，则S10=______.
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
计算：2−1+ 14−(3.14−π)0.
19.(本小题7分)
解不等式：x+33−1<2x+12，并将其解集在数轴上表示出来.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a=−2.
21.(本小题8分)
如图，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE.说你将解答过程填写完整.
解：因为AB//CD，
所以∠4=______(______)，
因为∠3=∠4，
所以∠3=______(______)，
因为∠______=∠2，
所以∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAE=______，
所以∠3=______(______)，
所以AD//BE(______).
22.(本小题8分)
“端午节”是我国的传统佳节，历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品加工厂，拥有A，B两条粽子加工生产线，原计划A生产线每小时加工粽子个数是B生产线每小时加工粽子个数的45.
(1)若A生产线加工4000个粽子所用时间与B生产线加工4000个粽子所用时间之和恰好为18小时，则原计划A，B生产线每小时加工粽子各是多少个？
(2)在(1)的条件下，原计划A，B生产线每天均加工a小时，由于受其他原因影响，在实际加工过程中，A生产线每小时比原计划少加工100个，B生产线每小时比原计划少加工10个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多加工3小时，B生产线每天比原计划多加工13a小时，这样每天加工的粽子不少于6000个，求a的最小值.
23.(本小题10分)
间读材料：若满足(3−x)(x−2)=−1，求(3−x)2+(x−2)2的值.
解：设3−x=a，x−2=b，则ab=(3−x)(x−2)=−1，a+b=(3−x)+(x−2)=1，
所以(3−x)2+(x−2)3=a2+b2=(a+b)2−2ab=3.
请仿照上例解决下面的问题；
(1)问题发现：若x满足(x−3)(5−x)=−10，求(x−3)2+(5−x)2的值；
(2)类比探究：若x满足(x−2023)2+(2024−x)2=2025.求(x−2023)(2024−x)的值；
(3)拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD，CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形MGDH和MFDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，若AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积为200.求正方形MFNP的距积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、3.14是有理数，故此选项不符合题意；
B、π是无理数，故此选项符合题意；
C、227是有理数，故此选项不符合题意；
D、 121=11，是有理数，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据无理数的定义判断即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】解：A.2 2− 2= 2，因此选项A不符合题意；
B.a3与a2不是同类项，不能合并运算，因此选项B不符合题意；
C.a3÷a2=a3−2=a，因此选项C符合题意；
D.(a2b)2=a4b2，因此选项D不符合题意．
故选：C.
根据二次根式加减法的计算方法，同类项以及同底数幂乘除法的计算方法、幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．
本题考查二次根式加减法，合并同类项，同底数幂乘除法的计算方法以及幂的乘方与积的乘方，掌握二次根式加减法的计算方法，合并同类项法则以及同底数幂乘除法的计算方法、幂的乘方与积的乘方是正确解答的关键．
3.【答案】D
【解析】根据图示，不等式的解集是x≤3，
∴m+1=3，
解得m=2.
故选：D.
首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式x−1≤m的解集，然后根据不等式的解集是x≤3，求出m的值即可．
此题主要考查了解一元一次不等式的方法，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.
4.【答案】A
【解析】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行．
故选：A.
过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
本题考查的是平行线的判定，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵(1−2m)(1−2n)
=1−2m−2n+4mn
=1−2(m+n)+4mn，
∴当m+n=3，mn=1时，
原式=1−2×3+4×1
=1−6+4
=−1，
故选：A.
先运用多项式乘多项式的计算方法对该算式进行计算、变形，再整体代入、求解．
此题考查了运用整体思想求代数式值的能力，关键是能准确计算、变形、代入求解．
6.【答案】D
【解析】解：∵U−VR=VS，
∴(U−V)S=RV，
去括号，得US−VS=RV，
移项并合并，得(R+S)V=US，
两边同时除以S+R，得
V=USR+S，
故选：D.
运用分式的基本性质和反比例函数的定义进行求解．
此题考查了分式的基本性质和反比例函数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7.【答案】C
【解析】解：∵a=−0.22=−0.04，b=(−12)−2=4，c=(−2)0=1，
∴b>c>a，
即a故选：C.
根据负整数指数幂，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法分别求出a、b、c的值，再比较大小即可．
本题考查负整数指数幂，零指数幂以及有理数的乘方，掌握负整数指数幂，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法是正确解答的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB//CD，∠BAE=87∘，
∴∠CFE=87∘，
又∵∠DCE=121∘，∠ECF=59∘，
∴∠E=180∘−∠FCE−∠CFE=180∘−59∘−87∘=34∘，
故选：B.
延长DC交AE于F，依据AB//CD，∠BAE=87∘，可得∠CFE=87∘，在三角形ECF中，即可得到∠E的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
9.【答案】D
【解析】解：将分式方程的两边都乘以(x+1)(x−1)，得
2x−3−(x−1)=2(x+1)，
解得x=−4，
经检验x=−4是原方程的解，
所以原方程的解为x=−4，
故选：D.
将分式方程的两边都乘以(x+1)(x−1)化成整数方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键，解分式方程容易产生增根，一定要注意检验．
10.【答案】C
【解析】解：第一次：[1000 1000]=31，
第二次：[31 31]=5，
第三次：[5 5]=2，
第四次：[2 2]=1.
故选：C.
根据定义直接作答即可．
本题主要考查估计无理数的大小，正确理解新定义是解题的关键．
11.【答案】3×10−7
【解析】解：0.0000003=3×10−7.
故答案为：3×10−7.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n(1≤|a|<10,n是正整数)，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法-表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
12.【答案】3x(4−x)
【解析】解：12x−3x2=3x(4−x)，
故答案为：3x(4−x).
运用提取公因式法分解因式即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
13.【答案】−5
【解析】解：∵(x−2)(x+m)
=x2+mx−2x−2m
=x2+(m−2)x−2m，
∴x2+3x−n=x2+(m−2)x−2m，
∴m−2=3，2m=n，
解得m=5，n=10，
∴m−n=5−10=−5.
故答案为：−5.
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
此题考查了多项式乘多项式，根据项式乘多项式的运算法则先把原式进行变形是解题的关键，注意不要漏项，漏字母．
14.【答案】123∘
【解析】解：设∠EFC=x，∠1=y，则∠BFC′=x−y，
∵∠BFC′比∠1多9∘，
∴x−2y=9，
∵x+y=180∘，
可得x=123∘，即∠1=123∘，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC=123∘，
故答案为：123∘.
∠EFC=x，∠1=y，则∠BFC′=x−y，根据“∠BFC′比∠1多9∘、∠1与∠EFC互补”得出关于x、y的方程组，解之求得x的值，再根据AD//BC可得∠AEF=∠EFC.
本题重点考查了平行线的性质及折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题及平行线的性质．
15.【答案】1
【解析】解：∵x2−2x−1=0，
∴x2−2x=1，
∴3x3−10x2+6xx2−x−5
=3x3−6x2−4x2+8x−2xx2−2x+x−5
=3x(x2−2x)−4(x2−2x)−2x(x2−2x)+x−5
=3x×1−4×1−2x1+x−5
=3x−4−2xx−4
=x−4x−4
=1，
将原式进行变形后，运用整体思想和分式的基本性质进行求解．
此题考查了分式化简求值的能力，关键是能准确理解并运用分式的基本性质和整体代入法进行变形、化简．
16.【答案】12≤a<3
【解析】解：{2x+1>x+a①x2+1⩾52x−9②，
由①得x>a−1，
由②得到，x+2>5x−18，
x≤5，
(1)∵不等式组的最小整数解为x=l，
∴0≤a−1<1，
∴1≤a<2，
整数α的值为1.
故答案为：1；
(2)∵不等式组所有整数解的和为14，
∴整数解为5，4，3，2，
∴1≤a−1<2，
∴2≤a<3.
故答案为：2≤a<3.
(1)根据不等式组的最小整数解为x=l，构建关于a的不等式组即可；
(2)不等式组所有整数解的和为14，构建关于a的不等式组即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
17.【答案】285264
【解析】解：a1=31×2×3=1+21×2×3=11×2×3+21×2×3=12×3+11×3=12−13+12(1−13)，
a2=52×3×4=2+32×3×4=22×3×4+32×3×4=13×4+12×4=13−14+12(12−14)，
…，
a10=2110×11×12=10+1110×11×12=1010×11×12+1110×11×12=111×12+110×12=111−112+12(110−112)，
…，
∴S10=12−13+13−14+14−15+…+111−112+12(1−13+12−14+13−15+…+110−112)
=12−112+12(1+12−111−112)
=285264，
故答案为：285264.
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
18.【答案】解：2−1+ 14−(3.14−π)0
=12+12−1
=0.
【解析】根据负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的运算法则分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：去分母得，2(x+3)−6<3(2x+1)，
去括号得，2x+6−6<6x+3，
移项得，2x−6x<6−6+3，
合并同类项得，−4x<3，
x的系数化为1得，x>−34.
在数轴上表示为：
.
【解析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(1a−1+a−1a−1)⋅(a+1)(a−1)a
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a
=a+1，
当a=−2时，原式=−2+1=−1.
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】∠BAE两直线平行，同位角相等 ∠BAE等量代换 1∠CAD∠CAD等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为AB//CD，
所以∠4=∠BAE(两直线平行，同位角相等)，
因为∠3=∠4，
所以∠3=∠BAE(等量代换)，
因为∠1=∠2，
所以∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
所以∠3=∠CAD(等量代换)，
所以AD//BE(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：∠BAE；两直线平行，同位角相等；∠BAE；等量代换；1；∠CAD；∠CAD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的性质可得∠4=∠BAE，从而可得∠3=∠BAE，然后利用等式的性质可得∠BAE=∠CAD，从而利用等量代换可得∠3=∠CAD，最后利用内错角相等，两直线平行可得AD//BE，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设原计划B生产线每小时加工粽子5x个，则原计划A生产线每小时加工粽子4x个，
根据题意得40004x+40005x=18，
∴x=100，
经检验x=100为原分式方程的解
∴4x=4×100=400，5x=5×100=500，
答：原计划A、B生产线每小时加工粽子各是400、500个；
(2)由题意得：(400−100)(a+3)+(500−50)(a+13a)≥6000，
解得：a≥6.6，
∴a的最小值为6.6.
【解析】(1)首先根据“原计划A生产线每小时加工粽子个数是B生产线每小时加工粽子个数的45”设原计划B生产线每小时加工粽子5x个，则原计划A生产线每小时加工粽子4x个，再根据“A生产线加工4000个粽子所用时间与B生产线加工4000个粽子所用时间之和恰好为18小时”列出方程，再解即可；
(2)根据题意可得A加工速度为每小时300个，B的加工速度为每小时450个，根据题意可得A的加工时间为(a+3)小时，B的加工时间为(a+13a)小时，再根据每天加工的粽子不少于6000个可得不等式(400−100)(a+3)+(500−10)(a+13a)≥6000，再解不等式可得a的取值范围，然后可确定答案．
此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出方程和不等式．
23.【答案】解：(1)设x−3=a，5−x=b，则ab=−10，a+b=2，
由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×(−10)=24，
即：(x−3)2+(5−x)2的值为24；
(2)设x−2023=a，2024−x=b，则a+b=1，a2+b2=2025，
由完全平方公式可得ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=12×(1−2025)=−1012，
即：(x−2023)(2024−x)的值为−1012；
(3)设DE=a，DG=b，则a=x−10，b=x−20，a−b=10，
又由ab=200，
∴正方形MFNP的面积为：(a+b)2=(a−b)2+4ab=102+4×200=900.
【解析】(1)设x−3=a，5−x=b，则ab=−10，a+b=2，由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab=24；
(2)设x−2023=a，2024−x=b，则a+b=1，a2+b2=2025，由完全平方公式可得ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]，代入计算求解即可；
(3)设DE=a，DG=b，则a=x−10，b=x−20，a−b=10，又由ab=200，所以正方形MFNP的面积为(a+b)2=(a−b)2+4ab=900.
本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．