2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数中，是无理数的是( )
A. 237B. 3C. 3.14D. 0
2.华为首款手机SC芯片麒麟用0.000000028m四核处理器，开启了智能手机芯时代，数0.000000028用科学记数法表示为( )
A. 28×10−9B. 2.8×10−9C. 2.8×10−8D. 2.8×10−10
3.如图，直线a//直线b，AB⊥BC，若∠1=50∘，则∠2的度数是( )
A. 40∘
B. 50∘
C. 25∘
D. 60∘
4.当x=3时，下列分式中，值为0的是( )
A. x−3x2−9B. 2x−6x+2C. 1x−3D. x+3x+1
5.如图，在数轴上表示实数 26−1的点可能是( )
A. 点PB. 点QC. 点MD. 点N
6.已知a2=b3，则a2−b2a2−ab=( )
A. 23B. 35C. 52D. 25
7.如图，点O为CB延长线上一点，下列条件不能判定EF//BC的是( )
A. ∠FEB=∠EBC
B. ∠AFE=∠OBA
C. ∠FEC+∠C=180∘
D. ∠AEF=∠C
8.已知R−rn=s(s≠R)，则n可以表示为( )
A. n=R−srB. n=R+srC. n=rR−sD. n=rR+s
9.端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25km的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是xkm/h，则方程为( )
A. 253x−25x=80B. 25x−253x=80C. 253x−25x=43D. 25x−253x=43
10.如图，点B是线段CD上一点，以AB、BC为边向外作正方形，面积分别为S1、S2，若S1+S2=25，DC=7，三角形ABC的面积是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.化简： 16=______.
12.因式分解：ab2−9a=______.
13.已知关于x的分式方程kx−2−32−x=1有增根，则k=______.
14.使等式x+3x=1+3成立的x的值为x=1或x=3；使等式x+3x=2+32成立的x的值为x=2或x=32；使等式x+3x=4+34成立的x的值为x=4或x=34.
根据上述材料，回答下列问题：
(1)使等式x+3x=52+65成立的x的值为______；
(2)使等式m+7−2mm−2=283成立的m的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：38−2−1+(π−2024)0.
16.(本小题8分)
解不等式组：x+x−12≤15x≥3x−1.
17.(本小题8分)
先化简2−aa−1÷(a+1−3a−1)，再求值，其中−2≤a≤2且a为整数，请你从中选取一个合适的数代入求值.
18.(本小题8分)
如图，学校有一块边长为(2a+b)米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为(a+b)米、宽为b米的鱼池供观赏.
(1)求绿化的面积是多少平方米？
(2)若a=4，b=3时，求绿化面积.
19.(本小题10分)
如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC(三角形ABC的各顶点都在格点上).
(1)画出三角形ABC中AB边上的高CD.
(2)将三角形ABC先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的三角形A′B′C′.
(3)连接AA′，BB′，求四边形A′ABB′的面积.
20.(本小题10分)
如图，已知∠ABC+∠GDE=180∘，CB平分∠ACG.
(1)证明：BC//DE.
(2)若∠E=40∘，求∠EFC的度数.
21.(本小题12分)
夏天来到，天气较为炎热，黄老师为了给学生降温，准备给学生购买冰淇淋，在购买时发现梦龙的单价比巧乐兹的单价高60%，用160元购买梦龙的个数比用160元购买巧乐兹的个数少12个.
(1)购买梦龙、巧乐兹的单价是多少元？
(2)现需要购买梦龙和巧乐兹共45个，且购买的总费用不超过280元，则至多购买多少个梦龙冰淇淋？
22.(本小题12分)
【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容.
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②.
(1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题.
(i)图①中两个三角形的面积分别为______和______，图②中长方形 ABCD的面积为______.(用含a，b的字母表示)
(ii)当a≠b时，比较大小：a2+b22______ab.(填“>”或“0，n>1，且m(n−1)=9，利用(1)发现的结论求m2+n2−2n+1的最小值.
23.(本小题14分)
如图1，已知∠MON=30∘，将一块含30∘角的直角三角板ABC按如图所示放置(∠ACB=30∘)，使顶点B落在ON边上，绕点B转动三角板ABC，始终保持点C在ON的上方，过点C作DE//ON.
(1)当∠ABO=______ ∘时，AC//OM.
(2)如图2，作∠BCE的角平分线CF.
(i)若AB//CF，求∠BFC的度数.
(ii)将三角板ABC绕点B转动，当三角板ABC有一边与OM垂直时，求∠BFC的度数.(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵237，3.14，0是有理数，
∴ 3是无理数，
故选：B.
根据立方根，无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8，
故选：C.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|ab，
故答案为：>；
(iii)选择甲同学的方法，当a=b时，a2+b22=a2，ab=a⋅a=a2，
所以当a=b时，a2+b22=ab，
(2)设x=m，y=n−1，xy=m(n−1)=9，
m2+n2−2n+1=x2+y2≥2xy，
当x=y时，最小值是2xy=2m(n−1)=2×9=18，
答：m2+n2−2n+1的最小值是18.
(1)(i)根据三角形、长方形面积的计算方法进行计算即可；
(ii)由a≠b可得(a−b)2>0，进而得出结论；
(iii)通过计算可得结论；
(2)设x=m，y=n−1，由题意可得xy=m(n−1)=9，由m2+n2−2n+1=x2+y2≥2xy可得答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
23.【答案】60
【解析】解：(1)如图，延长CA交OB于G，
当∠CGB=∠MON=30∘时，CG//OM，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAG=90∘，
∴∠ABG=90∘−∠CGB=60∘；
∴∠ABO=60∘；
故答案为：60；
(2)(i)∵AB//|CF，
∴∠A+∠ACF=180∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ACF=90∘，
∵∠ACB=30∘，
∴∠BCF=90∘−30∘=60∘，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=∠BCF=60∘，
∵DE//ON，
∴∠BFC=∠ECF=60∘；
(ii)①如图，当BA⊥OM时，
∴∠PBO=90∘，
∵∠MON=30∘，
∴∠OBP=90∘−30∘=60∘，
∵∠ACB=30∘，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘，
∴∠OBC=∠OBP+∠ABC=120∘，
∵DE//ON，
∴∠BCE=∠OBC=120∘，∠BFC=∠ECF，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=60∘，
∴∠BFC=60∘；
②如图，当BC⊥OM时，
∵∠MON+∠ABC=90∘，
∴此时AB在射线ON上，
∵DE//ON，
∴∠BCE=∠ABC=60∘，∠BFC=∠ECF，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=30∘，
∴∠BFC=30∘；
③如图，当AC⊥OM时，
∴∠MON+∠CHO=90∘，
∴∠CHO=90∘−30∘=60∘，
∴∠AHB=60∘，
∴∠ABH=90∘−∠AHB=30∘，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABH=30∘，
∵DE//ON，
∴∠BCE=∠OBC=30∘，∠BFC=∠ECF，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=15∘，
∴∠BFC=15∘，
综上所述：∠BFC的度数为15∘或30∘或60∘.
(1)延长CA交OB于G，当∠CGB=∠MON=30∘时，CG//OM，由平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余，即可求解；
(2)(i)由平行线的性质得∠A+∠ACF=180∘，由角平分线的定义得∠ECF=∠BCF=60∘，由平行线的性质即可求解；
(ii)①当BA⊥OM时，由角的和差得∠OBC=∠OBP+∠ABC=120∘，由平行线的性质得∠BCE=∠OBC=120∘，∠BFC=∠ECF，由角平分线的定义，即可求解；②当BC⊥OM时，同理可求；③当AC⊥OM时，同理可求；
本题考查了直角三角形的特征，角平分线的有关计算，平行线的判定及性质，掌握直角三角形的特征及平行线的性质，能用分类讨论思想求解是解题的关键．