2023-2024学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简(a2)3的结果为( )
A. a5B. a6C. a8D. a9
2.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A. (x+1)(x+2)B. (x−1)(x−1)C. (x+1)(−x+1)D. (x+1)(x−2)
3.若m>n，则下列式子不正确的是( )
A. m+1>n+1B. m−3>n−3C. 2m>2nD. −m>−n
4.若三角形的两边长分别为5和7，则其第三边c的取值范围是( )
A. 55.如图，下列条件中：①∠C=∠1，②∠C=∠2，③∠3+∠C=180∘，④∠4+∠2=180∘，能判断AB//CD的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.关于命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”下列判断正确的是( )
A. 该命题及其逆命题都是真命题B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题
C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题D. 该命题及其逆命题都是假命题
7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为( )
A. y=x+−1B. y=x+4.5y=2x−1C. y=x−+1D. y=x−4.5y=2x−1
8.如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E.若∠MBA=α，∠AEB=β，∠D=γ，则下列关系正确的是( )
A. 2α+2γ−β=180∘B. 2β+2γ−α=180∘
C. α−2γ+β=180∘D. β−2γ+α=180∘
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.30=______，3−1=______.
10.某种花粉颗粒的直径约为0.000032m，将0.000032用科学记数法表示为______.
11.分解因式：4a2−b2=______.
12.已知x、y满足方程组3x+y=−5x+3y=1，则x+y的值为______.
13.已知y−3x=1，若y≥−1，则x的取值范围是______.
14.已知2a=3，4b=5，则2a+2b的值是______.
15.年级花费120元用来购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买)，奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有______种.
16.已知关于x的不等式组x−a≤2x+3>4有且仅有3个整数解，则a的取值范围是______.
17.如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE.若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为______.
18.如图，AB//CD，∠AEF的平分线与∠EFC的平分线交于点O.若∠A=20∘，则∠O=______ ∘.
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
分解因式：
(1)ax2−ay2；
(2)2a2−4a+2.
20.(本小题7分)
先化简，再求值：(x−1)2+(x+2)(x−2)−3(x−3)，其中x=−2.
21.(本小题6分)
解方程组2x−y=5x+4y=−2..
22.(本小题8分)
解不等式组3(x−2)≥−9x+13>x−1，并写出它的整数解.
23.(本小题8分)
如图，∠1=∠2，∠B=∠D.求证：AD//BC.
24.(本小题7分)
当a>b>0时，试说明：a2>ab.
25.(本小题9分)
一条公路上A、B、C三地的位置如图所示.已知B、C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米.
(1)求A、B两地之间的距离；
(2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围.
26.(本小题11分)
定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形.如：在四边形ABCD中，若∠A=∠C，且∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等角四边形，记作(A,C)等角四边形.
【初步认识】
(1)如图①，四边形ABCD是(A,C)等角四边形，∠A=80∘，∠B=65∘，则∠D=______ ∘；
【继续探索】
(2)如图②，四边形ABCD是(B,D)等角四边形，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，求证：AE//CF；
(3)如图③，已知∠AOB，点M、N分别在边OA、OB上.在∠AOB的内部求作一点P，使四边形OMPN是(O,P)等角四边形，且PM≠OM.
(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明.)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(a2)3=a6.
故选：B.
利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．(am)n=amn(m,n是正整数)，求出即可．
此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：(x+1)(x+2)，(x−1)(x−1)，(x+1)(x−2)不能用平方差公式计算；
(x+1)(−x+1)可以用平方差公式计算；
故选：C.
根据平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2逐项判断即可．
本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】D
【解析】解：若m>n，两边同时加上1得m+1>n+1，则A不符合题意；
若m>n，两边同时减去3得m−3>n−3，则B不符合题意；
若m>n，两边同时乘2得2m>2n，则C不符合题意；
若m>n，两边同时乘−1得−m<−n，则D符合题意；
故选：D.
利用不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：由三角形三边关系定理得到：7−5∴2故选：C.
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5.【答案】C
【解析】解：①由同位角相等，两直线平行判定AB//CD，故①符合题意；
②由同位角相等，两直线平行判定AC//DE，不能判定AB//CD，故②不符合题意；
③由同旁内角互补，两直线平行判定AB//CD，故③符合题意；
④由对顶角的性质得到∠2和∠4的对顶角互补，由同旁内角互补，两直线平行判定AB//CD，故④符合题意．
∴能判断AB//CD的有3个．
故选：C.
由平行线的判定，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】B
【解析】解：“若a>0，b>0，则ab>0”是真命题，它的逆命题是“若ab>0，则a>0，b>0”，是一个假命题．
故选：B.
写出该命题的逆命题后与原命题一起判断正误即可．
本题考查命题与定理，正确写出原命题的逆命题是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴y=x+4.5；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴12y=x−1.
∴所列方程组为y=x+4.512y=x−1.
故选：A.
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠DCN是△DBC的一个外角，
∴∠DCN=∠D+∠DBC，
∵∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，
∴∠DCN=12∠ACN，∠DBC=12∠ABC，
∴12∠ACN=∠D+12∠ABC，
即∠D=12∠ACN−12∠ABC，
∴2γ=∠ACN−∠ABC，
∵∠ACN是△ABC的一个外角，
∴∠ACN=∠BAC+∠ABC，
即∠ACN−∠ABC=∠BAC，
∴2γ=∠BAC，
如图，
∵∠BAC的平分线交BD于点E，
∴∠BAC=2∠1，
∴2γ=∠1，
∴γ=∠1，
在△ABE中，∠AEB+∠1+∠2=180∘，
∴β+γ+∠2=180∘，
即2β+2γ+2∠2=360∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠2，
∵∠MBA+∠ABC=180∘，
∴α+2∠2=180∘，
即2∠2=180∘−α，
∴2β+2γ+180∘−α=360∘，
∴2β+2γ−α=180∘，
故选：B.
根据三角形外角的性质定理得出∠DCN=∠D+∠DBC，∠ACN=∠BAC+∠ABC，结合角平分线的定义证得2γ=∠BAC，由角平分线的定义得出∠BAC=2∠1，于是推出γ=∠1，在△ABE中根据三角形内角和定理得出β+γ+∠2=180∘，变形为2β+2γ+2∠2=360∘，根据邻补角的性质得出α+2∠2=180∘，从而得出答案．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
9.【答案】1；13
【解析】解：30=1，3−1=13.
故答案为：1；13.
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
10.【答案】3.2×10−5
【解析】解：0.000032=3.2×10−5.
故答案为：3.2×10−5.
根据科学记数法的方法进行解题即可．
本题考查用科学记数法-表示较小的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
11.【答案】(2a+b)(2a−b)
【解析】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是掌握能够运用平方差公式分解因式的多项式的特点：①必须是二项式；②两项都能写成平方的形式；③符号相反．
首先把4a2写成(2a)2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
解：4a2−b2=(2a)2−b2=(2a+b)(2a−b)，
故答案为：(2a+b)(2a−b).
12.【答案】−1
【解析】解：{3x+y=−5①x+3y=1②，
①+②得：4x+4y=−4，
∴x+y=−1，
故答案为：−1.
把已知条件在的两个方程相加，然后根据等式的基本性质，求出x+y即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
13.【答案】x≥−23
【解析】解：∵y−3x=1，
∴y=3x+1，
∵y≥−1，
∴3x+1≥−1，
则3x≥−2，
x≥−23，
故答案为：x≥−23.
利用不等式的性质计算即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】15
【解析】解：∵2a=3，4b=5，
∴2a+2b=2a⋅22b=2a⋅4b=3×5=15.
故答案为：15.
根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
15.【答案】3
【解析】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：15x+10y=120，
∴y=12−32x，
又∵x、y均为正整数，
∴x=2y=9或x=4y=6或x=6y=3，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3.
设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价=单价×数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
16.【答案】2≤a<3
【解析】解：∵解不等式x−a≤2得：x≤2+a，
解不等式x+3>4得：x>1，
∴不等式组的解集为1∵关于x的不等式组x−a≤2x+3>4有且仅有3个整数解，
∴4≤2+a<5，
∴2≤a<3，
故答案为2≤a<3.
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5，
设AC=CD=x，CE=CB=y，
得x2+y2=11×2，xy=3.5×2=7，
得AB2=(x+y)2=x2+y2+2xy=36，
得AB=6.
故答案为：6.
由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5，设AC=CD=x，CE=CB=y，得x2+y2=11×2，xy=3.5×2=7，得AB2=(x+y)2=x2+y2+2xy=36，即可得AB=6.
本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确用字母表示．
18.【答案】100
【解析】解：作∠AME的平分线MK交OE于K，
∴∠EMK=12∠AME，
∵OE平分∠AEM，
∴∠MEK=12∠AEM，
∴∠EMK+∠MEK=12(∠AEM+∠AME)，
∵∠AEM+∠AME=180∘−∠A=160∘，
∴∠EMK+∠MEK=80∘，
∴∠MKE=180∘−80∘=100∘，
∵AB//CD，
∴∠AME=∠CFM，
∵MK平分∠AME，OF平分∠CFM，
∴∠EMK=12∠AME，∠OFM=12∠CFM，
∴∠EMK=∠OFM，
∴MK//OF，
∴∠O=∠MKE=100∘.
故答案为：100.
作∠AME的平分线MK交OE于K，由角平分线定义得到∠EMK=12∠AME，∠MEK=12∠AEM，由三角形内角和定理求出∠EMK+∠MEK=80∘，得到∠MKE=180∘−80∘=100∘，由平行线的性质推出∠AME=∠CFM，由角平分线定义得到∠EMK=∠OFM，判定MK//OF，推出∠O=∠MKE=100∘.
本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是由角平分线定义，三角形内角和定理求出∠MKE的度数，判定MK//OF，推出∠O=∠MKE.
19.【答案】解：(1)ax2−ay2
=a(x2−y2)
=a(x−y)(x+y)；
(2)2a2−4a+2
=2(a2−2a+1)
=2(a−1)2.
【解析】(1)先提公因式a，再根据公式法进行分解即可；
(2)先提公因式2，再根据公式法进行分解即可；
本题考查提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x2−2x+1+x2−4−3x+9
=2x2−5x+6，
当x=−2时，
原式=2×(−2)2−5×(−2)+6
=8+10+6
=24.
【解析】直接利用乘法公式去括号，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21.【答案】解：{2x−y=5①x+4y=−2②，
②×2−①得：9y=−9，
解得：y=−1，
将y=−1代入①得：2x+1=5，
解得：x=2，
故原方程组的解为x=2y=−1.
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
22.【答案】解：{3(x−2)⩾−9①x+13>x−1②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<2，
则不等式组的解集为：−1≤x<2，
所以不等式组的整数解为：−1，0，1.
【解析】解：分别解出两个不等式，找到其公共部分便是不等式组的解集，再找出整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．
23.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
∴∠B=∠DCF，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCF，
∴AD//BC.
【解析】由同位角相等，两直线平行推出推出AB//CD，得到∠B=∠DCF，而∠B=∠D，得到∠D=∠DCF，推出AD//BC.
本题考查平行线的判定和性质，关键是判定AB//CD，推出∠B=∠DCF.
24.【答案】证明：已知a>b，且a>0，
∵不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变，
∴将a>b两边同乘a得：a2>ab.
【解析】利用不等式的性质进行证明即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
25.【答案】解：(1)设A、B两地之间的距离为x千米，
根据题意得：135−x3060=225−x3060+1.5，
解得：x=105.
答：A、B两地之间的距离为105千米；
(2)货车的速度为(225−135)÷1.5=60(千米/小时).
当两车在距C地60千米相遇时，240−6060m=105+240−60，
解得：m=90；
当两车在距C地30千米相遇时，240−3060m=105+240−30，
解得：m=95，
∴m的取值范围为90≤m≤95.
【解析】(1)设A、B两地之间的距离为x千米，利用速度=路程÷时间，结合货车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)利用速度=路程÷时间，可求出货车的速度，分两车在距C地60千米相遇及两车在距C地30千米相遇两种情况考虑，利用路程=速度×时间，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，结合题意，即可得出m的取值范围．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
26.【答案】135
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是(A,C)等角四边形，∠A=80∘，
∴∠C=∠A=80∘，
∴∠D=360∘−∠A−∠B−∠C=360∘−80∘−65∘−80∘=135∘，
故答案为：135；
(2)证明：∵四边形ABCD是(B,D)等角四边形，
∴∠B=∠D，
设∠B=∠D=α，
在四边形ABCD中，
∵∠DAB+∠B+∠DCB+∠D=360∘，
∴∠DAB+∠DCB=360∘−2α，
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠EAB=12∠DAB，∠BCF=12∠DCB，
∴∠EAB+∠BCF=12(DAB+∠DCB)=180∘−α，
在△BCF中，
∵∠ВСF+∠СFВ+∠В=180∘，
∴∠ВСЕ+∠СЕВ=180∘−α，
∴∠EAB=∠CFB，
∴AE//CF；
(3)解：如图，连接MN，作∠OMC=∠MNO，作射线MD；作∠NME=∠NMD，∠MNF=∠CMD，ME、NF交于点P，
∴点P即为所求．
(1)根据等角四边形的定义和四边形内角和作答即可；
(2)设∠B=∠D=α，根据四边形内角和和角平分线的性质，∠EAB+∠BCF=12(DAB+∠DCB)，再根据三角形的内角和推出∠EAB=∠CFB，进而证明即可；
(3)连接MN，作∠OMC=∠MNO，作射线MD；作∠NME=∠NMD，∠MNF=∠CMD，ME、NF交于点P，点P即为所求．
本题是四边形综合题，考查了三角形内角和，四边形内角和，角平分线的性质，新定义问题，解题的关键是熟练掌握以上知识．