2023-2024学年福建省泉州市南安市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市南安市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个式子中，是方程的是( )
A. 3+2=5B. a+bC. x+1=2D. 2x−1<0
2.关于x的一元一次方程2x+m=6的解为x=1，则m的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.用代入消元法解方程组{y=2x+1①5x−2y=7②，将①代入②可得( )
A. 5x−2(2x+1)=7B. 5x−(2x+1)=7
C. 5x−4x+1=7D. 5x−4x+2=7
4.如果xA. 3x<3yB. −2x<−2yC. x−5>y−5D. x+4>y+4
5.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，8cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 4cm，5cm，6cm
6.“二十四节气”反映了天气变化，指导农业耕作，也影响着人们的生活.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是( )
A. x+5y=35x+y=2B. 5x+y=3x+5y=2C. 5x=y+3x=5y+2D. 5x=y+2x=5y+3
9.足够多的如下四种边长相等的正多边形瓷砖，则下列组合能铺满地面的是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
10.图1是某巨型摩天轮示意图，摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则经过x分钟后，12号车厢会运行到最高点，则x的值为( )
A. 17.5B. 20C. 22.5D. 25
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若x是正数，则x ______0.(填“>”或“<”或“≠”)
12.若方程x+3ym=5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______.
13.如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是______.
14.若三元一次方程2x−3y+mz=0，当x=1，y=2时，z=4，则m的值为______.
15.如图，将△ABC沿着射线BC方向平移6cm，得△A′B′C′，若BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，则阴影部分的周长为______cm.
16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，∠C=35∘，点D从点C出发沿CA方向向点A运动，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作EF//CA交AB于点E，若△DEF为直角三角形，则∠ADE的度数为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：3−2x=x+6.
18.(本小题8分)
解方程组：{x+y=7①3x−y=13②.
19.(本小题8分)
解不等式组：{2x+1<−1⋯①3−x⩽1⋯②，并把它的解集在数轴上表示出来．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=20∘，∠B=60∘，AD平分∠CAB.求∠CAD和∠1的度数.
21.(本小题8分)
如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△A2B2C，画出△A2B2C.
22.(本小题10分)
如图，已知∠AOB=90∘，点D，E分别是OA，OB上的点，点C在∠AOB内运动，令∠ADC=∠1，∠BEC=∠2，∠ECD=∠α.
(1)若∠α=50∘，则∠1+∠2=______；
(2)探索猜想∠1，∠2，∠α数量关系，并说明理由.
23.(本小题10分)
实践与探索
观察发现：某数学兴趣小组在学习了旋转对称图形后，自制了一个模拟钟面，如图所示，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA转动速度为每秒20∘，OB转动速度为每秒5∘，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，请你试着解决他们提出的下列问题：
(1)如图1，若OA顺时针转动，同时OB逆时针转动，当t=______秒时， OA与OB第一次重合；
(2)如图2，若OA、OB同时顺时针转动，当t=______秒时， OA与OB第一次重合；
拓展迁移：
(3)小明每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼.两人沿400米跑道跑步，小明与叔叔跑步速度之比为2：3.一天，两人在同地同时反向而跑，小王看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇.第二天小明打算和叔叔在同地同时同向而跑，若两人每天的跑步速度保持不变，请你帮小明预测一下，他隔多长时间与叔叔首次相遇？
24.(本小题13分)
如图1，Rt△DEF与Rt△ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=30∘，∠ABC=36∘，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0∘<α<180∘)，在旋转过程中，
(1)如图1，∠F=______ ∘，∠BDC=______ ∘；
(2)如图2，当∠α为多少度时，EF与AC平行；
(3)如图3，当顶点C在△DEF内部时(不包含边界)，边DF、DE分别交BC，AC的延长线于点M、N，使得2∠AND≥3∠BMD，求∠α的度数范围.
25.(本小题13分)
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
(1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是−1，b，折叠这条数轴所在纸面，若使−1表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则n=______；此时，数 b表示的点与数−2024表示的点重合，则b=______；
(2)若在数轴上点A、B表示的数分别是−2、3，且数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的4倍，那么点C表示的数是多少；
(3)如图2，在数轴上剪下−2到10共12个单位长度的部分(不考虑宽度)，并把这条数轴沿数m所在点折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段.若这三条线段的长度之比为1：2：3，求m的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据含有未知数的等式叫做方程，判断x+1=2是方程，3+2=5、a+b、2x−1<0不是方程，
故选：C.
根据含有未知数的等式叫做方程，判断即可．
本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元一次方程2x+m=6的解为x=1，
∴2+m=6，
解得m=4.
故选：B.
将x=1代入方程2x+m=6，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3.【答案】A
【解析】解：将①代入②可得：5x−2(2x+1)=7.
故选：A.
根据代入消元计算即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的基本步骤：消元．
4.【答案】A
【解析】解：A、不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，该选项符合题意；
B、不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，−2x>−2y，该选项不符合题意；
C、不等式两边减同一个数(或式子)，不等号的方向不变，x−5D、不等式两边加同一个数(或式子)，不等号的方向不变，x+4故选：A.
根据不等式的性质逐项判断即可．
本题主要考查不等式的性质，牢记不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵1+2=3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5=8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5<10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5>6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D.
根据两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7.【答案】B
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
.
故选：B.
直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：5x+y=3x+5y=2，
故选：B.
根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x、y的二元一次方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①等边三角形内角的度数为60∘；
②正方形各内角的度数为90∘；
③正五边形各内角的度数为3×180∘5=108∘；
④正六边形各内角的度数为4×180∘6=120∘，
A、60∘×2+108∘×2+24∘=360∘，不符合题意；
B、60∘×2+120∘×2=360∘，符合题意；
C、90∘×2+108∘+72∘=360∘，不符合题意；
D、90∘×2+120∘+60∘=360∘，不符合题意．
故选：B.
根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360∘，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360∘，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：36−21+1236×30=22.5(分钟)，
所以经过22.5分钟后，12号车厢才会运行到最高点．
故选：C.
先求出从21号旋转到12号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．
本题考查生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到12号旋转的角度占圆大小比例是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】解：∵x是正数，
∴x>0.
故答案为：>.
根据“正数>0”进行作答即可得出答案．
本题主要考查正数和负数，熟练掌握“正数>0”是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：根据题意得m=1.
故答案为：1.
根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0.
13.【答案】135∘
【解析】解：∵正八边形的外角和为360∘，
∴正八边形的每一个外角为360∘8=45∘，
∴正八边形的每一个内角为180∘−45∘=135∘，
故答案为：135∘.
由正八边形的外角和为360∘，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
本题考查正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角和与外角是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：把x=1，y=2，z=4代入方程2x−3y+mz=0中得：2×1−3×2+4m=0，
2−6+4m=0，
4m=6−2，
4m=4，
m=1，
故答案为：1.
根据题意可得：把x=1，y=2，z=4代入方程2x−3y+mz=0中得：2×1−3×2+4m=0，然后进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：由平移可知，
A′B′=AB=5cm，AA′=BB′=6cm，
所以CB′=6−3=3(cm)，
又因为AC=4cm，
所以阴影部分的周长为：4+3+5+6=18(cm).
故答案为：18.
根据平移的性质，可得出阴影部分各边的长度，据此可解决问题．
本题主要考查了平移的性质，熟知图象平移的性质是解题的关键．
16.【答案】35∘或90∘
【解析】解：若△DEF为直角三角形，则∠EDF=90∘或∠DFE=90∘或∠DEF=90∘，
显然∠DFE≠90∘，舍去；
当∠EDF=90∘时，如图1，
∵DF⊥BC，
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠C，
∵∠C=35∘，
∴∠ADE=35∘；
当∠DFE=90∘时，如图2，
∵EF//CA，
∴∠ADE=∠DEF=90∘；
综上，∠ADE的度数为35∘或90∘，
故答案为：35∘或90∘.
若△DEF为直角三角形，则∠EDF=90∘或∠DFE=90∘或∠DEF=90∘，分别根据平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质，分类讨论思想的应用，注意不要丟解．
17.【答案】解：3−2x=x+6，
−2x−x=6−3，
−3x=3，
x=−1.
【解析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：{x+y=7①3x−y=13②，
①+②得：4x=20，
解得：x=5，
把x=5代入①得：5+y=7，
解得：y=2，
故原方程组的解为x=5y=2.
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19.【答案】解：解不等式①得：x<−1；
解不等式②得：x≥2；
如图，在数轴上表示：
，
所以不等式组无解．
【解析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20.【答案】解：∵∠B=60∘，∠C=20∘，
∴∠CAB=180∘−20∘−60∘=100∘，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=50∘，
∵∠1是△ACD的外角，又∵∠CAD=50∘，∠C=20∘，
∴∠1=∠CAD+∠C=50∘+20∘=70∘.
【解析】利用三角形的内角和求出∠CAB，再根据角平分线的定义可求∠CAD；通过三角形外角的性质可求∠1.
本题考查了三角形的内角和与三角形外角的性质，属于基础题，正确识图是关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图-旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
22.【答案】140∘
【解析】解：(1)如图，连接OC，
∵∠1=∠DOC+∠OCD，∠2=∠EOC+∠OCE，
∴∠+∠2=∠DOC+∠OCD+∠EOC+∠OCE
=∠AOB+∠DCE，
=90∘+∠α，
即：∠1+∠2=90∘+∠α，
当∠α=50∘时，
∠1+∠2=90∘+50∘=140∘，
故答案为：140∘；
(2)∠1+∠2=90∘+∠α，理由如下：
如图，连接OC，
∵∠1=∠DOC+∠OCD，∠2=∠EOC+∠OCE，
∴∠+∠2=∠DOC+∠OCD+∠EOC+∠OCE
=∠AOB+∠DCE，
=90∘+∠α，
即：∠1+∠2=90∘+∠α.
(1)根据三角形内角和定理，三角形外角的性质进行计算即可；
(2)由(1)的解法即可得出答案．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和是180∘以及“三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是正确解答的关键．
23.【答案】7.212
【解析】解：(1)∵180∘÷(20∘+5∘)=7.2(秒)，
∴当t=7.2秒时，OA与OB第一次重合，
故答案为：7.2；
(2)∵180∘÷(20∘−5∘)=12(秒)，
∴当t=12秒时，OA与OB第一次重合，
故答案为：12；
(3)设小明的速度为2xm/s，则叔叔的速度为3xm/s，
根据题意得32(2x+3x)=400，
解得：x=2.5，
∴小明的速度为5m/s，叔叔的速度为7.5m/s，
设小明隔t s与叔叔首次相遇，
根据题意得：7.5t−5t=400，
解得：t=160；
答：小明隔160秒与叔叔首次相遇．
(1)列式180∘÷(20∘+5∘)计算可得答案；
(2)由180∘÷(20∘−5∘)=12(秒)，可知OA与OB第一次重合需12s；
(3)设小明的速度为2xm/s，则叔叔的速度为3xm/s，根据两人沿400米跑道跑步得32(2x+3x)=400，可求出小明的速度为5m/s，叔叔的速度为7.5m/s，设小明隔t s与叔叔首次相遇，有7.5t−5t=400，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
24.【答案】60 99
【解析】解：(1)在Rt△DEF中，∠F=90∘−∠EDF=60∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45∘，
∵∠ABC=36∘，
∴∠BDC=180∘−∠ABC−∠BCD=99∘；
故答案为：60，99；
(2)当EF//AC时，
∴∠AMD=∠E=90∘，
∵∠ACB=90∘，∠EDF=30∘，∠ABC=36∘
∴∠A=90∘−36∘=54∘，
∵∠AMD+∠A+∠ADF+∠EDF=180∘，
∴∠ADF=180∘−54∘−30∘−90∘=6∘，
∴当∠α为6∘度时，EF与AC平行；
(3)∵∠α是△BMD的外角，∠ABC=36∘，
∴∠BMD=α−36∘，
在△ADN中，∠A+∠α+∠EDF+∠AND=180∘，
∴∠AND=96∘−α，
∴∠BMD+∠AND=α−36∘+90∘−α=60∘，
(另解)连接MN，如图所示：
在△CMN中，
∵∠CNM+∠CMN+∠MCN=180∘，
∴∠CNM+∠CMN=90∘，
在△MND中，
∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180∘，
即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180∘，
∴∠BMD+∠AND=180∘−90∘−30∘=60∘；
∵∠ABC=36∘，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45∘，∠A=54∘，
∴∠CDA=81∘，
当点C在DE边上时，α+30∘=81∘，
解得：α=51∘，
当点C在DF边上时，α=81∘，
∴当顶点C在△DEF内部时，51∘<α<81∘；
方法一：∵2∠AND≥3∠BMD，∠BMD+∠AND=60∘，
∴2∠AND≥3(60∘−∠AND)，
∴∠AND≥36∘，
∵∠AND+∠NDM+α+∠A=180∘，即∠AND+30∘+α+54∘=180∘
∴∠AND=96∘−α，
∴96∘−α≥36∘，
解得：α≤60∘，
∴∠α的度数范围为51∘<α≤60∘，
方法二：∵2∠AND≥3∠BMD，∠BMD+∠AND=60∘，
∴2(60∘−∠BMD)≥3∠BMD
∴∠BMD≤24∘
∵∠ADF是△BDM的外角，
∴∠α=∠B+∠BMD.
∴∠BMD=∠α−36∘
∴∠α−36∘≤24∘
解得：α≤60∘，
∴∠α的度数范围为51∘<α≤60∘.
(1)利用三角形内角和即可求解；
(2)把EF//AC当作已知条件，利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可；
(3)先求∠BMD+∠AND=60∘，当点C在DE边上时，α=51∘，当点C在DF边上时，α=81∘，再根据2∠AND≥3∠BMD，∠BMD+∠AND=60∘列不等式求范围即可．
本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质、不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解题的关键．
25.【答案】2 2028
【解析】解：(1)由题意得：n=−1+52=2，
b−2024=2×2，
解得：b=2028，
故答案为：2，2028；
(2)设点C表示的数为x，
∵AC=4BC，即|x+2|=4|3−x|，
解得：x=2或x=143，
所以点C表示的数是2或143；
(3)设折痕处对应的点所表示的数是m，点B、点C表示剪痕，
则三个线段分别为：AB，BC，CD，如图，
由题意可得：AD=12，
∵三条线段的长度之比为1：2：3，
设每一份为a，∴a+2a+3a=12，解得：a=2
①当AB：BC：CD=1：2：3时，则AB=a，BC=2a，CD=3a，
∴AB=2，BC=4，CD=6，
∴m=−2+2+4÷2=2；
②当AB：BC：CD=1：3：2时，则AB=a，BC=3a，CD=2a，
∴AB=2，BC=6，CD=4，
∴m=−2+2+6÷2=3；
③当AB：BC：CD=2：1：3时，则AB=2a，BC=a，CD=3a，
∴AB=4，BC=2，CD=6，
∴m=−2+4+2÷2=3；
④当AB：BC：CD=2：3：1时，则AB=2a，BC=3a，CD=a，
∴AB=4，BC=6，CD=2，
∴m=−2+4+6÷2=5；
⑤当AB：BC：CD=3：1：2时，则AB=3a，BC=a，CD=2a，
∴AB=6，BC=2，CD=4，
∴m=−2+6+2÷2=5；
⑥当AB：BC：CD=3：2：1时，则AB=3a，BC=2a，CD=a，
∴AB=6，BC=4，CD=2，
∴m=−2+6+4÷2=6；
综上所述：m的值为2或3或5或6.
(1)根据中点公式求解；
(2)根据两点之间的距离公式求解；’
(3)先根据“这三条线段的长度之比为1：2：3，”列方程求出每一段的长度，再分类求解．
本题考查了数轴，掌握中点公式和两点之间的距离公式是解题的关键．