2023-2024学年福建省福州市马尾区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年福建省福州市马尾区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点A(−2,3)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.9的平方根是( )
A. 3B. −3C. ±3D. ± 3
3.已知a>b，则下列结论正确的是( )
A. a−35bC. −2a>−2bD. a>2b
4.如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2=70∘，则∠BOC的度数是( )
A. 100∘B. 115∘C. 135∘D. 145∘
5.数轴上表示的不等式的解集正确的是( )
A. x≥2B. x>2C. x≤2D. x<2
6.下列调查方式，最适合全面调查的是( )
A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
C. 了解北京市中学生视力情况D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
7.下列命题中，真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
8.如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使两部分重合，若∠AEF=115∘，则∠B′FC度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
9.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱，现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？若设买得醇酒x斗，行酒y斗，则所列方程组正确的是( )
A. 50x+10y=30x+y=2B. 50x+10y=2x+y=30
C. 10x+50y=2x+y=30D. 10x+50y=30x+y=2
10.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把P1(y−1,−x−1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…这样依次得到各点.若A2024的坐标为(4,−2)，设A1(x,y)，则x+y的立方根是( )
A. −2B. −8C. 2D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.− 7的相反数为______.
12.把方程3x+y−1=0改写成用含x的式子表示y的形式，则y=______.
13.体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛，这些学生身高(单位：c)的最大值为186，最小值为158，若取组距为3，则可以分成______组.
14.通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点.如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，BD//CE//OF，若∠BDF=150∘，∠CEF=161∘，则∠DFE的度数是______度.
15.若x=2y=3是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解，则6k+3b−5的值为______.
16.已知关于x，y的方程组x+2y=a+32x−y=6−3a，其中−1≤a≤2.若x≥32，m=2x−3y，则m的取值范围是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：| 3−2|− 4+327.
18.(本小题8分)
解方程组：x−y=44x+2y=−1.
19.(本小题8分)
解不等式组3x+2>2(x−1)13x−1≤1−12x，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解.
20.(本小题8分)
完成下面的证明：如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，∠FDE=∠A.求证：DF//CA.
证明：∵DE//AB(已知)
∴∠BFD=______(______)
∵∠FDE=∠A(已知)
∴∠A=______(等量代换)
∴DF//CA(______).
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(5,3)，B(3,1)，C(1,2)，将三角形ABC向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形A1B1C1，其中点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应.
(1)画出平移后的三角形A1B1C1；
(2)直接写A1，B1，C1三个点的坐标；
(3)若点P在y轴上，以A1，B1，P为顶点的三角形面积为2，求点P的坐标.
22.(本小题10分)
某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5∼46.5；B：46.5∼53.5；C：53.5∼60.5；D：60.5∼67.5；E：67.5∼74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是______，并补全频数分布直方图；
(2)C组学生的频率为______，在扇形统计图中 D组的圆心角是______度；
(3)请你估计该校初三年级体重超过60.5kg的学生大约有多少名？
23.(本小题10分)
“全名阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样).
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2000，请求出所有符合条件的购书方案．
24.(本小题12分)
已知AB//CD，点E，F分别是直线AB，CD上的两点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF.
(1)如图(1)，若∠BEP=35∘，∠DFP=55∘，求证：PE⊥PF；
(2)若点G是CD下方一点，PE平分∠BEG，DF平分∠GFP.请在图(2)中补全图形，并探究∠EGF，∠EPF与∠BEP之间的数量关系.
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4).将点A向下平移m(m>0)个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移n(n>0)个单位，分别得到点A′，B′.
(1)若A′B′与坐标轴平行，则m与n的数量关系是______；
(2)分别过A′，B′作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且m−n=1.
①求四边形A′MNB′的面积；
②连接A′B′，OA′，OB′，线段A′B′交x轴于点C，若OC将三角形A′OB′的面积分成2：3的两部分，求点C的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A(−2,3)，−2<0，3>0，
∴点A(−2,3)在第二象限，
故选：B.
根据点A横纵坐标符号判定即可．
本题考查点所在象限，熟练掌握平面直角坐标系各象限内事业的坐标符号：第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−)是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【解答】
解：9的平方根是± 9=±3.
故选：C.
【分析】
根据平方根的定义和求法，可得9的平方根是：± 9=±3，据此解答即可．
此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
3.【答案】B
【解析】解：已知a>b，两边同时减去3得a−3>b−3，则A不符合题意；
已知a>b，两边同时乘5得5a>5b，则B符合题意；
已知a>b，两边同时乘−2得−2a<−2b，则C不符合题意；
已知a>b，两边同时乘2得2a>2b，则D不符合题意；
故选：B.
利用不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，关键是不等式性质的熟练应用．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．
根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论．
【解答】
解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=70∘，
∴∠1=∠2=35∘，
∴∠BOC=180∘−∠1=145∘.
故选D.
5.【答案】C
【解析】解：数轴上表示的不等式的解集是x≤2，
故选：C.
根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则得出不等式的解集即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，⩽向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
6.【答案】B
【解析】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B.
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，符合题意；
故选：D.
根据对顶角相等、平行线的性质和判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8.【答案】A
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠AEF+∠BFE=180∘，
∵∠AEF=115∘，
∴∠BFE=180∘−∠AEF=180∘−115∘=65∘，
∵长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，
∴∠EFB′=∠BFE=65∘，
∴∠1=180∘−∠BFE−∠EFB′=180∘−65∘−65∘=50∘.
故选：A.
先根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠EFG的度数，根据平角的定义即可得出∠1的度数．
本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：依题意得：50x+10y=30x+y=2.
故选：A.
根据“醇酒(优质酒)1斗，价值50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
10.【答案】A
【解析】解：∵A1(x,y)，
∴A2(y−1,−x−1)，A3(−x−2,−y)，A4(−y−1,x+1)，A5(x,y)，
…，
由此可知：每四次一循环，
2024÷4=506，
∴A2024的坐标与A4相同，
∴−y−1=4，x+1=−2，
解得：x=−3，y=−5，
则x+y=−3−5=−8，
∴x+y的立方根是−2，
故选：A.
根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律即可求解．
本题考查了点的坐标规律和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握点的坐标规律．
11.【答案】 7
【解析】解：根据相反数的定义− 7的相反数为−(− 7)即 7.
故答案为： 7.
由于只有符号不同的两个数互为相反数，所以根据相反数的定义解答即可．
此题主要考查相反数的概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
12.【答案】1−3x
【解析】解：依题意，把方程3x+y−1=0改写成用含x的式子表示y的形式，
则y=1−3x，
故答案为：1−3x.
先根据3x+y−1=0，移项，整理得出y=1−3x，即可作答．
本题考查了用代数式表达式，二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值．
13.【答案】10
【解析】解：∵极差为186−158=28，且组距为3，
则组数为28÷3≈10(组)，
故答案为：10.
计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得．
此题考查的是组数的确定方法，掌握组数=极差÷组距是关键．
14.【答案】11
【解析】解：∵BD//CE//OF，
∴∠BDF+∠DFO=180∘，∠CEF+∠EFO=180∘，
∵∠BDF=150∘，∠CEF=161∘，
∴∠DFO=30∘，∠EFO=19∘，
∴∠DFE=∠DFO−∠EFO=11∘.
故答案为：11.
由平行线的性质推出∠BDF+∠DFO=180∘，∠CEF+∠EFO=180∘，求出∠DFO=30∘，∠EFO=19∘，即可得到∠DFE的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BDF+∠DFO=180∘，∠CEF+∠EFO=180∘.
15.【答案】4
【解析】解：把x=2y=3代入关于x，y的二元一次方程y=kx+b，得
3=2k+b，
所以6k+3b−5
=3(2k+b)−5
=9−5
=4，
故答案为：4.
根据二元一次方程解的定义，把x=2y=3代入关于x，y的二元一次方程y=kx+b，得到2k+b=3，再根据6k+3b−5=3(2k+b)−5代入计算即可．
本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的关键．
16.【答案】−32≤m≤11
【解析】解：{x+2y=a+3①2x−y=6−3a②，
①+②×2得：5x=15−5a，即x=3−a，
①×2−②得：5y=5a，即y=a，
∴x+y=3；
∵x≥32，
∴3−a≥32，
∴a≤32，
∵−1≤a≤2.
∴−1≤a≤32，
∴−1≤y≤32，
∵m=2x−3y，x+y=3，
∴m=2x−3y=2x+2y−5y=6−5y，即m=−5y+6.
∴y取得最小值−1时，m的值最大，y取得最大值32时，m的值最小，
∴y=−1时，m的最大值为11，
∴y=32时，m的最小值为−32，
∴m的取值范围是−32≤m≤11.
故答案为：−32≤m≤11.
解方程组求得x=3−a，y=a，根据x≥32即可求得−1≤a≤32，得到−1≤y≤32，结合m=2x−3y，x+y=3得到：m=6−5y；然后由一次函数的增减性得到：y取最大值时m最小，y取最小值时x最大，直接代入y即可．
此题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题的关键是结合a取值范围求得y的取值范围．
17.【答案】解：| 3−2|− 4+327
=2− 3−2+3
=3− 3.
【解析】根据绝对值、开平方、开立方可以解答本题．
本题考查实数的运算，解答本题的关键是明确实数运算的计算方法．
18.【答案】解：{x−y=4①4x+2y=−1②
①×2+②得：6x=7，
解得x=76，
把x=76代入①得：76−y=4，
解得：y=−176.
故方程组的解是x=76y=−176.
【解析】本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
①×2+②即可消去y，求得x的值，然后利用代入法求得y的值，从而求得方程组的解．
19.【答案】解：{3x+2>2(x−1)①13x−1⩽1−12x②，
解不等式①，得：x>−4，
解不等式②，得：x≤125，
∴该不等式组的解集是−4其解集在数轴上表示如下所示：
，
∴该不等式组的所有负整数解是−3，−2，−1.
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集，再写出所有的负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
20.【答案】∠EDF两直线平行，内错角相等 ∠BFD同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵DE//AB(已知)
∴∠BFD=∠EDF(两直线平行，内错角相等)
∵∠FDE=∠A(已知)
∴∠A=∠BFD(等量代换)
∴DF//CA(同位角相等，两直线平行).
故答案为：∠EDF，两直线平行，内错角相等；∠BFD，同位角相等，两直线平行．
根据平行线的性质，得到∠BFD=∠EDF，再根据平行线的判定，即可得出DF//CA.
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
21.【答案】解：(1)如图所示：
(2)A1(0,6)，B1(−2,4)，C1(−4,5)；
(3)设点P坐标为(0,y)，
∵以A1、B1、P为顶点的三角形面积为2，
可得：12×|6−y|×2=2，
解得：y=4或8，
∴P(0,4)或(0,8).
【解析】(1)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(2)根据图示得出坐标即可．
(3)设点P坐标为(0,y)，则可列方程，解方程即可得出答案．
此题主要考查了平移变换法，正确得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】500.3272
【解析】解：(1)4÷8%=50(人)，
50−4−16−10−8=12(人)，
故答案为：50，补全统计图如下：
(2)“C组”的频率为16÷50=0.32，
“D组”所对应的圆心角的度数为：360∘×1050=72∘，
故答案为：0.32，72；
(3)600×10+850=216(名)，
答：该校600名初三年级的学生体重超过60.5kg大约有216名．
(1)从两个统计图中可得“A组”的频数为4人，占调查人数的8%，根据频率=频数总数进行计算即可，求出“B组”的频数即可补全统计图；
(2)根据频率=频数总数进行计算即可，求出“D组”所占的百分比进而求出相应的圆心角的度数；
(3)求出样本中体重超过60.5kg的学生所占的百分比，从而估计总体中体重超过60.5kg的学生所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)设每本文学名著x元，每本动漫书y元，根据题意可得：
20x+40y=160020x−20y=400，
解得：x=40y=20，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和20元．
(2)设学校要求购买文学名著x本，动漫书为(x+20)本，根据题意可得：
x≥2540x+20(x+20)≤2000，
解得：25≤x≤2623，
因为x取整数，
所以x取25，26；
方案一：文学名著25本，动漫书45本；
方案二：文学名著26本，动漫书46本．
【解析】(1)设每本文学名著x元，每本动漫书y元，列出方程组即可解决问题；
(2)设学校要求购买文学名著x本，动漫书为(x+20)本，构建不等式组，求整数解即可；
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
24.【答案】(1)证明：如图(1)，过P作PQ//AB，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠QPF=∠DFP=55∘，
∵PQ//AB，
∴∠QPE=∠BEP=35∘，
∴∠EPF=∠QPF+∠QPE=90∘，
即PE⊥PF.
(2)解：∠EPF+∠EGF=3∠BEP，理由如下：
如图(2)，过P作PQ//AB，过G作GM//AB，
设∠QPE=x∘，∠QPF=y∘，则∠EPF=(x+y)∘，
∵AB//CD，
∴AB//PQ//CD//MG，
∴∠BEP=∠QPE=x∘，∠PFD=∠QPF=y∘，
∵PE平分∠BEG，DF平分∠GFP，
∴∠BEG=2x∘，∠DFG=∠PFD=y∘，
∵CD//MG，AB//MG，
∴∠MGF=∠GFD=y∘，∠MGE=∠BEG=2x∘，
∴∠EGF=(2x−y)∘，
∵∠EPF=(x+y)∘，∠BEP=x∘，
∴∠EPF+∠EGF=3∠BEP.
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求证即可；
(2)过P作PQ//AB，过G作GM//AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质等知识，熟练运用平行线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
25.【答案】m−n=−4
【解析】解：(1)根据题意可得：A′(2,−m)，B′(4,4−n)，
∵A′B′与坐标轴平行，且2≠4，
∴4−n=−m，
即：m−n=−4，
故答案为：m−n=−4；
(2)如图，
①∵m−n−1，
∴m=n+1，由平移得A′(2,−n−1)，B′(4,4−n)，
∴四边形的面积=12×(2+4)[(4−n)−(−n−1)]=15，
∴四边形A′MNB′的面积为15；
②S△OCB′=12OC⋅(4−n)，S△OCA′=12OC⋅(n+1)，
分两种情况：
若S△OCB′S△OCA′=23，
则12OC⋅(4−n)12OC⋅(n+1)=23，
解得：n=2，
∴B′(4,2)，A′(2,−3)，
∴12OC×5=12×(2+4)×5=12×(2+4)×5−12×4×2−12×2×3，
解得：OC=165，
∴C(165,0)，
若S△OCB′S△OCA′=32，
则12OC⋅(4−n)12OC⋅(n+1)=32，
解得：n=1，
∴B′(4,3)，A′(2,−2)，
∴12OC×5=12(2+4)×5−12×4×3−12×2×2，
解得：OC=145，
∴C(145,0)；
综上所述：点C的坐标为(165,0)或(145,0).
(1)先表示出A′(2,−m)，B′(4,4−n)，根据AB与坐标轴平行可知A′，B′的横坐标相等或者纵坐标相等，据此作答即可；
(2)①结合m−n=1，表示出A′(2,−n−1)，B′(4,4−n)，画出图形，可知四边形是梯形，则面积可求；
②S△OCB′=12OC⋅(4−n)，S△OCA′=12OC⋅(n+1)，分若S△OCB′S△OCA′=23和若S△OCB′S△OCA′=32两种情况讨论，解答即可．
本题时四边形综合题，考查了坐标的平移，两点间的距离，三角形面积等知识，解题的关键是画出图象，分类讨论．