2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数07第9讲指数与指数函数（课件+解析试卷）

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4．已知函数f(x)＝ax－2＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝n－mx的图象不经过(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
　　　　因为f(x)＝ax－2＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(2，2)，所以m＝n＝2，所以g(x)＝2－2x，所以g(x)为减函数，且其图象过点(0，1)，所以g(x)的图象不经过第三象限．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝______；(ar)s＝______；(ab)r＝________(其中a＞0，b＞0，r，s∈Q)．
3．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质
4．常用结论(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线．
(3)当x＞0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大．
指数幂运算的一般原则：(1)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(2)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
　　　(1)已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．2－a＜2cD．1＜2a＋2c＜2
　　　　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，显然2a＋2c＞1，故选D．
(2)已知幂函数g(x)＝(2a－1)xa＋2 的图象过函数f(x)＝32x＋b的图象所经过的定点，则b＝(　　)A．－2B．1C．2D．4
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
　　　(1)(多选)下列各式正确的是(　　　)
　　　　因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A不正确．
因为1.70.3＞1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确．
　　　(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．[－2，0)C．(0，2]D．[2，＋∞)
有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
1．设a＝0.50.1，b＝0.41.1，c＝1.10.5，则(　　)A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜a＜c
　　　　因为函数y＝0.5x单调递减，所以1＝0.50＞0.50.1＞0.51.1，又幂函数y＝x1.1在(0，＋∞)上单调递增，所以0.51.1＞0.41.1，所以b＜a＜1．因为函数y＝1.1x单调递增，所以c＝1.10.5＞1.10＝1，所以b＜a＜c．
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
4．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是144 h，在20℃的保鲜时间是36 h，则该食品在30 ℃的保鲜时间是______h．
3．国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4 h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为　 (　　)A．3.6 hB．3.8 hC．4 hD．4.2 h
　　　　对于A，f(m)f(n)＝am·an＝am＋n，f(m·n)＝amn，故A错误．对于B，f(m＋n)＝am＋n≠am＋an＝f(m)＋f(n)，故B错误．
5．(2023·合肥一检)(多选)已知a＞0，函数f(x)＝xa－ax(x＞0)的图象可能是(　　　)
　　　　当0＜a＜1时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，因此函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上单调递增，而f(0)＝－1，f(a)＝0，函数图象为曲线，A可能；当a＝1时，函数f(x)＝x－1在(0，＋∞)上的图象是不含端点(0，－1)的射线，B可能；
6．(多选)已知2a＝3b＝6，则a，b可能满足的关系是(　　　)A．a＋b＝abB．a＋b＞4C．(a－1)2＋(b－1)2＜2D．a2＋b2＞8
　　　　因为2a＝3b＝6，所以(2a)b＝6b，(3b)a＝6a，即2ab＝6b，3ba＝6a，所以2ab·3ba＝6b·6a，所以6ab＝6a＋b，所以ab＝a＋b，所以A正确；
(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＞2ab－2(a＋b)＋2＝2，所以C不正确；因为a2＋b2＞2ab＞8，所以D正确．
A．该食品在6℃的保鲜时间是8hB．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
当x∈[－6，0]时，该食品的保鲜时间恒为64 h，当x∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减小，故B错误；到了此日11时，温度超过11 ℃，此时保鲜时间不超过2 h，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误，D正确．
10．设f(x)＝2x－1－2－x－1，当x∈R时，f(x2＋2mx)＋f(2)＞0恒成立，则实数m的取值范围是______________．
　　　　f(t2－2t)＋f(2t2－k)＞0可化为f(t2－2t)＞－f(2t2－k)，因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)＞f(－2t2＋k)(*)．
13．(2024·镇江期初)设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．(1) 求p的值；
　　　　由函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数，可得f(－x)＝f(x)，即2－x＋(p－1)·2x＝2x＋(p－1)·2－x，化为(2x－2－x)(p－2)＝0．由x∈R，可得p－2＝0，即p＝2．
13．(2024·镇江期初)设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．(2) 若g(x)＝f(2x)－2k·(2x－2－x)在[1，＋∞)上的最小值为－4，求k的值．
B组　创新练14．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R且m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是____________．
　　　　因为f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，所以存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)，所以3－x0＋m－1＝－3x0－m＋1，所以2m＝－3x0－3－x0＋2．