2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数08第10讲对数与对数函数（课件+解析试卷）

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1．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①algaN＝______；②lgaab＝b(a＞0且a≠1)．(2)对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①lga(MN)＝______________________；
3．换底公式及其两个重要结论(2)两个重要结论：①lgab＝_______；②lgambn＝__________．其中a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1，m，n∈R．
　　　(3)(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是(　　　)A．ab＋bc＝2acB．ab＋bc＝ac
因为4a·9c＝4a·4a＝(4a)2，4b·9b＝(4×9)b＝(62)b＝(6b)2，又4a＝6b，所以(4a)2＝(6b)2，即4b·9b＝4a·9c，故C正确．
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)ab＝N⇔b＝lgaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
　　　(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝lga(|x|＋b)的图象可以是(　　)
　　　　由函数f(x)＝ax＋b的图象可知0＜a＜1，－1＜b＜0，函数y＝g(x)＝lga(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，可排除A，B．
　　　(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是_____________．
　　　　作出f(x)＝|ln x|的图象如图所示．
对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
变式　(2023·惠州三调)若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝lga(|x|－1)的图象可以是(　　)
　　　　由题知0＜a＜1，由|x|－1＞0，可知函数y＝lga(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除A，B；当x∈(－∞，－1)时，t＝|x|－1＝－x－1单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t＝|x|－1＝x－1单调递增，而y＝lgat在定义域上单调递减，所以当x∈(－∞，－1)时，y＝lga(|x|－1)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，y＝lga(|x|－1)单调递减，排除C．
　　　(1)已知a＝lg30.5，b＝lg3π，c＝lg43，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜a＜b
　　　　由a＝lg30.5＜lg31＝0，得a＜0．由b＝lg3π＞lg33＝1，得b＞1．由0＝lg41＜lg43＜lg44＝1，即0＜c＜1，所以a＜c＜b．
　　　(3)(2024·南通海安期初)设函数f(x)＝ln (2ax－x2)在区间(3，4)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，3)B．(－∞，3]C．(2，3]D．[2，3]
　　　　因为y＝ln t在(0，＋∞)上单调递增，f(x)＝ln (2ax－x2)在(3，4)上单调递减，故t＝2ax－x2在(3，4)上单调递减，则a≤3．又因为t＝2ax－x2＞0在(3，4)上恒成立，则8a－16≥0，即a≥2，所以2≤a≤3．
求解与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
变式　(多选)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，下列论述正确的是(　 　)A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)一定有最小值C．当a＝0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
　　　　对于A，当a＝0时，由x2－1＞0，得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确．对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，则x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误，C正确．
　　　(1)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
　　　　因为y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝lg2x．
　　　(2)若x1满足2x＝5－x，x2满足x＋lg2x＝5，则x1＋x2＝(　　)A．2B．3C．4D．5
　　　　由题意有5－x1＝2x1，5－x2＝lg2x2，故x1和x2分别是直线y＝5－x和曲线y＝2x，曲线y＝lg2x交点的横坐标．
互为反函数的常用结论(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
变式　(2024·南昌期初)已知函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则(　　)A．a＞bB．a＋b＜2C．ab＞1D．a2＋b2＞2
　　　　作出函数y＝ex和y＝ln x的图象以及直线y＝2－x的图象如图所示，由函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，结合图象可知0＜a＜b，故A错误．
由题意知A(a，ea)，B(b，ln b)，也即A(a，2－a)，B(b，2－b)，由于函数y＝ex和y＝ln x互为反函数，两者图象关于直线y＝x对称，而A，B为y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x的交点，故A，B关于y＝x对称，所以a＋b＝2，故B错误．
因为0＜a＜b，所以a2＋b2＞2ab，所以2(a2＋b2)＞(a＋b)2，结合a＋b＝2，可得a2＋b2＞2，故D正确．
1．(2023·大庆一检)已知5a＝2，b＝lg53，则lg518＝(　　)A．a＋3bB．a＋2bC．2a＋bD．3a＋b
　　　　因为5a＝2，所以a＝lg52．因为lg518＝lg52＋lg59＝lg52＋2lg53，所以lg518＝a＋2b．
3．(多选)若函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　 　)A．a＞1B．0＜c＜1C．0＜a＜1D．c＞1
　　　　由图象可知函数为减函数，所以0＜a＜1．令y＝0，得lga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c．由图象知0＜1－c＜1，所以0＜c＜1．
4．(多选)关于函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)，下列说法正确的是(　 　)A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0，2)上为增函数C．f(x)的图象关于直线x＝2对称D．f(x)的图象关于点(2，0)对称
　　　　函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)＝lg2(4x－x2)(0＜x＜4)，当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4，此时f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)取到最大值lg24＝2，故A错误．f(x)＝lg2(4x－x2)(0＜x＜4)可以看作是由函数y＝lg2u，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)复合而成，而y＝lg2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，所以f(x)在区间(0，2)上为增函数，在(2，4)上为减函数，故B正确．因为函数f(4－x)＝lg2(4－x)＋lg2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故C正确．因为f(4－x)＝lg2(4－x)＋lg2x＝f(x)≠－f(x)，所以f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故D错误．
A组　巩固练1．已知a＝，b＝lg660，c＝ln 6，则(　　)A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
2．已知函数f(x)＝lga(x－b)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)A．a＋b＜0B．ab＜－1C．0＜ab＜1D．lga|b|＞0
　　　　由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a＞1，令f(x)＝lga(x－b)＝0，即x＝b＋1，所以函数f(x)的零点为b＋1．结合函数图象可知0＜b＋1＜1，所以－1＜b＜0，因此a＋b＞0，故A错误；
因为0＜|b|＜1，所以lga|b|＜lga1，即lga|b|＜0，故D错误．
3．(2023·汕头期初)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝n lg (1＋p)＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)　(　　)A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
　　　　由题意知lg (100X0)＝10lg (1＋p)＋lg X0，即2＋lg X0＝10lg (1＋p)＋lg X0，所以1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，故C错误．
对于D，若m＝0，则不等式f(x)＜15等价于lg2(4x＋8)＜15，则0＜4x＋8＜215，解得－2＜x＜213－2，故D错误．
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　　)A．p1≥p2B．p2＞10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2
10．已知函数f(x)＝x2＋ln (|x|＋1)，若对∀x∈[1，2]，f(ax2)＜f(3)恒成立，则实数a的取值范围是____________．
11．已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lga(3－ax)(a＞0且a≠1)．(1) 求当x＜0时，f(x)的解析式；
　　　　当x＜0时，－x＞0，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝lga(3＋ax)，即f(x)＝lga(3＋ax)，x＜0．
11．已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lga(3－ax)(a＞0且a≠1)．
　　　　若0＜a＜1，则f(0)＝lga3＜0，显然不合要求．
(1) 判断F(x)的奇偶性，并证明；
又因为F(－x)＝f(－x＋1)＋f[1－(－x)]＝f(1－x)＋f(1＋x)＝F(x)，所以函数F(x)在定义域上为偶函数．
(2) 解不等式|F(x)|≤1．
B组　提升练14．若关于x的方程x＋lg5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m＋n的值为(提示：反函数的应用)(　　)A．3　　　　　　　B．4　　　　　　C．5　　　　　　　D．6