2025高考数学一轮复习第3章导数及其应用02第14讲第1课时导数与单调性（课件+解析试卷）

这是一份2025高考数学一轮复习第3章导数及其应用02第14讲第1课时导数与单调性（课件+解析试卷），文件包含第3章导数及其应用02第14讲第1课时导数与单调性pptx、第3章导数及其应用02第14讲第1课时导数与单调性docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1．若函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)A．1个 B．2个 C．3个D． 4个
　　　　由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个．
4．(人A选必二P104T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为_____．
　　　　因为f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，且函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或c＝2．经检验，当c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c＝6．
5．(人A选必二P104T15)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当扇形的圆心角α＝________时，容器的容积最大．
1．函数的单调性与导数的关系
单调递增　单调递减　 常数函数　
2．利用导数求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解f′(x)＜0或f′(x)＞0；(4)写出结论．
3．求函数极值的步骤(1)求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．若f′(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f′(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点．4．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
第1课时　导数与单调性
　　　(1)已知f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)A．(1，＋∞)B．(ln3，＋∞)C．(－∞，ln3)D．(－∞，＋∞)
　　　　由题可知f(x)的定义域为R，且f′(x)＝6x＋6－6ex＝6(x＋1－ex)．令g(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，x∈R．当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，则g(x)的最大值为g(0)＝0，故g(x)≤0恒成立，故f′(x)≤0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．
　　　(2)下列区间是函数y＝xsinx＋csx的单调递减区间的是(　　)
　　　　由已知得y′＝x′sinx＋x(sinx)′＋(csx)′＝sinx＋xcsx－sinx＝xcsx．
点(0，f(0))处的切线斜率为0，则f(x)在(0，π)上的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
　　　　f′(x)＝x＋sin2x－sinx－2xcsx＋m＝x＋2sinxcsx－sinx－2xcsx＋m＝(x－sinx)(1－2csx)＋m．由函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为0，可得f′(0)＝0，即(0－sin0)(1－2cs0)＋m＝0，所以m＝0，则f′(x)＝(x－sinx)(1－2csx)．
①当a≥－1时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＜－1时，令f′(x)＝0，得x＝－a－1，当x∈(0，－a－1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，－a－1)上单调递减；当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－a－1，＋∞)上单调递增．综上，当a≥－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜－1时，f(x)在(0，－a－1)上单调递减，在(－a－1，＋∞)上单调递增．
　　　(2)(2023·烟台期末节选)已知a＞0，f(x)＝xex－a(x2＋2x)，x∈R，讨论函数f(x)的单调性．
讨论含参函数的单调性，即研究导函数的零点问题，主要关注四点：开口方向(如果要研究的局部是二次函数)、是否有根、根在不在定义域范围内、几个根彼此间的大小关系，能够弄清楚这几点，问题可得到解决．
①当2＜a≤4时，Δ≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
由函数的单调性求参数的取值范围的方法：可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，函数y＝f(x)在区间D上单调递增⇔∀x∈D，f′(x)≥0；函数y＝f(x)在区间D上单调递减⇔∀x∈D，f′(x)≤0，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．
变式　(2023·十堰二模节选)已知函数f(x)＝(2－x)ex－ax－2．若f(x)在R上单调递减，则实数a的取值范围为_____________．
　　　　因为f(x)＝(2－x)ex－ax－2，所以f′(x)＝(1－x)ex－a．由f(x)在R上单调递减，得f′(x)≤0，即(1－x)ex－a≤0在R上恒成立．令g(x)＝(1－x)ex－a，则g′(x)＝－xex．当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(0)＝1－a≤0，解得a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞)．
变式　(2)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e2x的解集为_____________．
1．设偶函数f′(x)为函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为(　　)
　　　　由f′(x)的图象可知，f(x)的图象从左往右，是增→减→增，由此排除A，D，又当x→＋∞时，f(x)增长越来越快，由此排除C．
2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)上单调递增，则实数a的最小值为(　　)A．e2B．eC．e－1D．e－2
3．(2023·张家口期末)已知函数f(x)为偶函数，定义域为R，当x＞0时，f′(x)＜0，则不等式f(x2－x)－f(x)＞0的解集为(　　)A．(0,1)B．(0,2)C．(－1,1)D．(－2,2)
　　　　因为当x＞0时，f′(x)＜0，所以偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x2－x)－f(x)＞0变形为f(|x2－x|)＞f(|x|)，所以|x2－x|＜|x|，显然x＝0不满足不等式，所以|x－1|＜1，故x∈(0,2)．
因为a＞0，所以0＜e－a＜1．当x∈(0，e－a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e－a,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上，f(x)在(0，e－a)和(1，＋∞)上单调递增，在(e－a,1)上单调递减．
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
　　　　由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，故x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，故排除A，C；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后为正，因此排除B．
5．(多选)若函数y＝exf(x)(e＝2.718 28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数具有M性质的是(　 　)A．f(x)＝2－xB．f(x)＝x2＋2C．f(x)＝3－xD．f(x)＝cs x
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex＞0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
6．(多选)设f(x)，g(x)都是单调函数，其导函数分别为f′(x)，g′(x)．关于h(x)＝f(x)－g(x)，下列说法正确的是(　 　)A．若f′(x)＞0，g′(x)＞0，则h(x)单调递增B．若f′(x)＞0，g′(x)＜0，则h(x)单调递增C．若f′(x)＜0，g′(x)＞0，则h(x)单调递减D．若f′(x)＜0，g′(x)＜0，则h(x)单调递减
　　　　当f′(x)＞0时，函数f(x)为增函数，当f′(x)＜0时，函数f(x)为减函数．同理，当g′(x)＞0时，函数g(x)为增函数，当g′(x)＜0时，函数g(x)为减函数．不妨取f(x)＝2x，g(x)＝2x+1，则满足f′(x)＞0，g′(x)＞0，此时h(x)＝f(x)－g(x)＝2x(1－2)＝－2x，显然h(x)是减函数，排除A．取f(x)＝－x(x＞0)，g(x)＝－2x(x＞0)，满足f′(x)＜0，g′(x)＜0，则h(x)＝f(x)－g(x)＝x(x＞0)，故h(x)是增函数，排除D．当f′(x)＞0，g′(x)＜0时，函数f(x)为增函数，g(x)为减函数，则－g(x)为增函数，所以h(x)＝f(x)－g(x)为增函数，故B正确．当f′(x)＜0，g′(x)＞0时，f(x)为减函数，g(x)为增函数，－g(x)为减函数，所以h(x)＝f(x)－g(x)为减函数，故C正确．
因为e＜4＜5，所以f(4)＞f(5)，即5ln 4＞4ln 5，故C不正确；因为e＜π，所以f(e)＞f(π)，即π＞eln π，故D正确．
9．(2023·菏泽一模节选)若函数f(x)＝mex－x2－x＋2在R上单调递增，则实数m的取值范围为_______________．
11．(2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1．(1) 求a，b的值；
11．(2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1．(2) 设g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．
　　　　由(1)得g(x)＝f′(x)＝1－(3x2－x3)e－x+1(x∈R)，
①当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若a＝0，由g′(x)＜0可得x∈(0，1)，由g′(x)＞0可得x∈(1，＋∞)，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
A组　巩固练1．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是(　　)A．y＝sin 2xB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝－x＋ln x
对于B，因为y＝xex，所以y′＝ex(1＋x)，当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，故B成立；
A．(1，2)B．(3，4)C．(1，2]∪[3，4)D．(1，2)∪(3，4)
综上所述，实数a的取值范围是[3，＋∞)．
4．(2023·南京三模)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)．若对任意的x∈R有f′(x)＞1，f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)＞x－1的解集为(　　)A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(3，＋∞)
　　　　设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0恒成立，故函数g(x)在R上单调递增．由f(1＋x)＋f(1－x)＝0，将x＝1代入得f(2)＋f(0)＝0，由f(0)＝－2，得f(2)＝2，于是g(2)＝f(2)－2＝0．因为f(x－1)＞x－1，所以g(x－1)＞0，又g(x)在R上单调递增，所以g(x－1)＞g(2)，故x－1＞2，解得x＞3．
5．(2023·淮北一模)(多选)已知函数f(x)＝x ln (1＋x)，则(　 　)A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)有两个零点D．f(x)是奇函数
对于B，由A知，f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，所以f(x)只有一个零点，故B错误；
对于D，因为f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数，故D错误．
8．(2023·芜湖期末)若函数f(x)＝sin 2x－a cs x在[0，π]上单调递增，则实数a的取值范围是____________．
　　　　因为f(x)＝sin 2x－a cs x，所以f′(x)＝2cs 2x＋a sin x．因为函数f(x)＝sin 2x－a cs x在[0，π]上单调递增，所以f′(x)＝2cs 2x＋a sin x≥0在[0，π]上恒成立，即2(1－2sin2x)＋a sinx≥0在[0，π]上恒成立，亦即4sin2x－a sinx－2≤0在[0，π]上恒成立．因为x∈[0，π]，所以sin x∈[0，1]，令y＝4sin2x－a sinx－2，则只需要满足sin x＝0，sin x＝1时对应的函数值都不大于零即可，可得4－a－2≤0，即a≥2．
9．(2023·石家庄联考)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x) 是f(x)的导函数，当x＞0时，xf′(x)＋2f(x)＞0．若f(2)＝0，则不等式x3f(x)＞0的解集是__________________________．
　　　　设g(x)＝x2f(x)，当x＞0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]＞0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(2)＝22f(2)＝0，所以当x∈(0，2)时，g(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，g(x)＞0，由x3f(x)＝xg(x)＞0，可得x＞2．设h(x)＝x3f(x)，则h(－x)＝(－x)3f(－x)＝x3f(x)＝h(x)，故h(x)是偶函数，所以当x＜0时，由x3f(x)＞0，得x＜－2．综上，x3f(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　
10．(2024·淮安期初)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＞0时，xf′(x)＜1，且f(e)＝3，则不等式f(x2)－2ln x＜2的解集为______________．
②若0≤a≤1，则f′(x)＞0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
13．(2024·黄冈期初调研)已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋2．(1) 若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－y＋1＝0，求a，b的值；
　　　　因为点(1，f(1))在切线x－y＋1＝0上，所以f(1)＝3－a＋b＝2①．又f′(x)＝3x2－2ax＋b，所以f′(1)＝3－2a＋b＝1②．联立①②解得a＝1，b＝0．
　　　　f′(x)＝3x2－2ax＋b，依题意有f′(1)＝3－2a＋b＝0，则b＝2a－3，且Δ＝4a2－12(2a－3)＝4(a2－6a＋9)＞0，所以a≠3．
B组　提升练14．(2023·全国乙卷理)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．