2025高考数学一轮复习第3章导数及其应用04第15讲第1课时导数与不等式证明（课件+解析试卷）

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构造新函数求最值证明不等式
构造不同的辅助函数F(x)，因为确定F′(x)符号难易程度可能不同，所以构造辅助函数要不拘一格，可对原题作适当变更(或换元)．
由φ′(0)＝0，得当－1＜x＜0时，φ′(x)＜0，φ(x)在(－1,0)上单调递减；当x＞0时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)＝0，即f(x)≥g(x)．
在证明过程中，“隔离化”是关键．如果要证g(x)≥f(x)恒成立，只需证g(x)min≥ f(x)max恒成立，但只有当f(x)与g(x)取到最值的条件是同一个x值时才能取等号，否则只能得到g(x)＞f(x)．
令F(x)＝ex－ex＋1(x＞0)，F′(x)＝ex－e．当x∈(0,1)时，F′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＞0，所以F(x)min＝F(1)＝e－e＋1＝1．
　　　(2024·聊城期中)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x．(1)讨论f(x)的单调性；
　　　　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，由f′(x)＝0，得x＝－lna．当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
　　　(2024·聊城期中)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x．(2)求证：当a≥1时，f(x)≥0．
　　　　方法一：当a≥1时，f(x)＝a(e2x＋ex)－2ex－x≥e2x－ex－x．设h(x)＝e2x－ex－x，h′(x)＝2e2x－ex－1＝(2ex＋1)(ex－1)．由h′(x)＝0，得x＝0．当x∈(－∞，0)时，h′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(0)＝0．所以当a≥1时，f(x)≥0．
1．已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；
1．已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R)．(2)当a＝e时，求证：xf(x)－ex＋2ex≤0．
综上，当x＞0时，φ(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0．
1．(2023·泰安期末节选)求证：1＋x ln x≥x．
2．(2023·新高考Ⅱ卷节选)求证：当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x．
　　　　设f(x)＝sin x－x，0＜x＜1，则f′(x)＝cs x－1≤0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，f(x)＜f(0)＝0，所以sin x＜x．设g(x)＝x－x2－sin x，0＜x＜1，则g′(x)＝1－2x－cs x，g′(0)＝0．因为g″(x)＝－2＋sin x＜0，所以g′(x)在(0，1)上单调递减，则g′(x)＜g′(0)＝0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，因此g(x)＜g(0)＝0，所以x－x2＜sin x．综上，当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x．
3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x．(1) 讨论f(x)的单调性；
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
4．已知函数f(x)＝ex．(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
　　　　由f(x)＝ex，得f(0)＝1，f′(x)＝ex，则f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0．
4．已知函数f(x)＝ex．(2) 当x＞－2时，求证：f(x)＞ln (x＋2)．
　　　　设g(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex－x－1(x＞－2)，则g′(x)＝ex－1，当－2＜x＜0时，g′(x)＜0；当x＞0时，g′(x)＞0，即g(x)在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x＝0时，g(x)min＝g(0)＝0，因此f(x)≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)．
5．已知函数f(x)＝ax－sin x．(1) 若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；
　　　　因为f(x)＝ax－sin x，所以f′(x)＝a－cs x．由函数f(x)为增函数，可知f′(x)＝a－cs x≥0恒成立，即a≥cs x在R上恒成立．因为y＝cs x∈[－1，1]，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝ax－sin x．(2) 求证：当x＞0时，ex＞2sin x．
　　　　由(1)知，当a＝1时，f(x)＝x－sin x为增函数，当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0⇒x＞sin x．要证当x＞0时，ex＞2sin x，只需证当x＞0时，ex＞2x，即证ex－2x＞0在(0，＋∞)上恒成立．设g(x)＝ex－2x(x＞0)，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，所以g(x)≥g(ln 2)＞0，所以ex＞2x成立．故当x＞0时，ex＞2sin x．
令f′(x)＞0，解得x＞1；令f′(x)＜0，解得x＜1且x≠0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)和(0，1]上单调递减．