2025高考数学一轮复习第3章导数及其应用07微难点7三个常见不等式的放缩应用（课件+解析试卷）

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　　　设函数f(x)＝lnx－x＋1．(1)讨论f(x)的单调性；
变式　求证：ex－e2lnx＞0恒成立．
　　　　要证ex－e2lnx＞0，即证ex－2＞lnx．令φ(x)＝ex－x－1，所以φ′(x)＝ex－1．令φ′(x)＝0，得x＝0，所以当x∈(－∞，0)时，φ′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)min＝φ(0)＝0，即ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取“＝”)，可得ex－2≥x－1(当且仅当x＝2时取“＝”)．又x－1≥lnx，当且仅当x＝1时取“＝”，所以ex－2≥x－1≥lnx，且两等号不能同时成立，故ex－2＞lnx，即原不等式成立．
某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的常见不等式ex≥x＋1，x≥1＋lnx，x≥sinx(x≥0)等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明．
1．已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1，求证：当a≥1时，f(x)≥0．
　　　　当a≥1时，f(x)＝aex－1－ln x－1≥ex－1－ln x－1．令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1．当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝0，故ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由ex≥x＋1得ex－1≥x(当且仅当x＝1时取“＝”)；由x－1≥ln x，得x≥ln x＋1(当且仅当x＝1时取“＝”)，所以ex－1 ≥x≥ln x＋1，即ex－1≥ln x＋1，即ex－1－ln x－1≥0(当且仅当x＝1时取“＝”)，即f(x)≥0．
3．求证：sin x－2ex＋ln (x＋1)＋2＜0(x∈(0，π])．
　　　　当x∈(0，π]时，x＞sin x①．由ex＞x＋1可得－2(x＋1)＞－2ex②．①＋②得－x＞sin x－2ex＋2．由ln x≤x－1，得ln (x＋1)＜x(x＞0)，故－ln (x＋1)＞－x，故－ln (x＋1)＞sin x－2ex＋2，即sin x－2ex＋ln (x＋1)＋2＜0．
4．已知函数f(x)＝x－1－a ln x．(1) 若f(x)≥0，求实数a的值；
因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1．
4．已知函数f(x)＝x－1－a ln x．
　　　　由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x＞0，即ln x＜x－1．