2025高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形06第20讲第1课时正弦定理与余弦定理（课件+解析试卷）

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2．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由已知条件解三角形，其中有唯一解的是(　　　)A．b＝30，A＝45°，C＝75°B．a＝15，c＝14，B＝75°C．a＝8，b＝16，A＝30°D．a＝12，c＝15，A＝100°
对于B，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accsB，唯一确定；
对于D，因为c＞a，A＝100°＞90°，不可能，无解．
　　　　由三角形内角和定理得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°．
1．正弦定理和余弦定理
b2＋c2－2bccsA　a2＋c2－2accsB　a2＋b2－2abcsC　
sinA∶sinB∶sinC　
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
3．三角形常用面积公式
第1课时　正弦定理与余弦定理
正、余弦定理的直接应用
　　　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)求证：2a2＝b2＋c2；
　　　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．
因为b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝81，所以b＋c＝9，所以a＋b＋c＝14，所以△ABC的周长为14．
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
结合正、余弦定理判断三角形的形状
　　　(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　 　)A．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定是等腰三角形D．若acsB＋bcsA＝a，则△ABC一定是等腰三角形
　　　　对于A，当a＝4，b＝2，c＝3时，a2＋b2－c2＞0，但△ABC为钝角三角形，故A错误．
对于D，acsB＋bcsA＝a⇒sinAcsB＋sinBcsA＝sinA⇒sin(A＋B)＝sinA⇒sinC＝sinA．又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形，故D正确．
判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
与三角形面积相关的问题
　　　(2023·全国乙卷理)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．(1)求sin∠ABC；
　　　(2023·全国乙卷理)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1． (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(请同学们自己完成证明)．
　　　　因为b2－a2＝ac，所以由正弦定理得sin2B－sin2A＝sinAsinC，由正弦平方差公式，得sin(A＋B)·sin(B－A)＝sinAsinC，因为sin(A＋B)＝sinC≠0，所以sin(B－A)＝sinA．
变式　设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3(a2－b2)，且tanC＝3，则角B的余弦值为______．
　　　　由c2＝3(a2－b2)，可得sin2C＝3(sin2A－sin2B)＝3sin(A＋B)sin(A－B)＝3sinCsin(A－B)，因为sinC≠0，所以sinC＝sin(A＋B)＝3sin(A－B)，整理得sinAcsB＝2csAsinB，则有tanA＝2tanB．
3．(2023·芜湖三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsA＋bcs(A＋C)＝0，则△ABC为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
b＋2acsC＝0⇒sinB＋2sinAcsC＝0⇒3sinAcsC＋csAsinC＝0⇒3tanA＋tanC＝0，故C正确；
8．(2023·济南期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，则角A的大小为______．
11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；
11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．(2)设AB＝5，求AB边上的高．
　　　　由2b2＝2a2＋c2正弦定理可得2sin2B－2sin2A＝sin2C，利用正弦平方差公式得2sin(B＋A)sin(B－A)＝sin2C＝sin2(B＋A)，又sin(B＋A)≠0，所以2sin(B－A)＝sin(B＋A)，化简得tanB＝3tanA, A为锐角．