2025高考数学一轮复习第5章平面向量与复数02第22讲平面向量的基本定理与坐标表示（课件+解析试卷）

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1．已知向量a＝(8，－2)，b＝(m,1)，c＝(4,2)，若a＋b＝λc，则实数m的值是(　　)A．－10B．－8C．10D．8
　　　　a＋b＝(8＋m，－1)，λc＝(4λ，2λ)，因为a＋b＝λc，所以8＋m＝－2，解得m＝－10．
1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足________________，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
a＝λ1e1＋λ2e2　
2．向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(x1－x2，y1－y2)　
3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔______________．4．思维提升请同学们证明A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)·(y2－y1)＝0或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x3－x1)·(y3－y2)＝(x3－x2) (y3－y1)．
　　　如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC＝2，M为AB上靠近点B的一个三等分点，P为线段BC上的一个动点．
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质，是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
3．(多选)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则(　 　)
　　　在平面直角坐标系中，已知A(－1,2)，B(3，4)，C(2,1)．(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，求点D的坐标．
　　　在平面直角坐标系中，已知A(－1,2)，B(3，4)，C(2,1)．
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
变式　(2)(多选)如图，C，D是线段AB的三等分点，OD＝DE，OC＝CF，下列以O为起点的向量中，终点落在四边形CDEF(含边界)内的向量是(　 　)
　　　已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当ka－b与a＋2b共线时，求k的值；
　　　已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
变式　(1)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件　D．既不充分又不必要条件
　　　　因为a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，a∥b，所以－m2＝－9，解得m＝3或m＝－3，所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
A．1∶3B．2∶3C．1∶4D．1∶2
　　　　方法一(常规解法)：如图，连接CP并延长，交AB于点Q，取AB靠近A的三等分点M，取AC靠近A的四等分点N，连接PM，PN．
1．(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，则下列结论正确的是(　　　)A．a∥bB．a与b可以作为基底C．a＋b＝0D．b－a与a方向相反
　　　　由a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，知1×2－(－2)×(－1)＝0，所以a∥b，故A正确，B错误；a＋b＝(1－1，－2＋2)＝(0,0)，所以C正确；b－a＝(－2,4)＝－2a，则b－a与a方向相反，故D正确．
2．已知向量a，b，c在正方形网格中如图所示，则“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”是“λ＋μ＝3”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
当λ＝1，μ＝2时，λa＋μb＝(1，－1)≠c，所以由“λ＋μ＝3”推不出“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”，故“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”是“λ＋μ＝3”的充分不必要条件．
5．(多选)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(1,1)，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是(　 　)A．a，cB．a，b－cC．c，a＋bD．a＋b，b－c
对于B，b－c＝(－1，0)，因为a＝－(b－c)，所以a，b－c是共线向量，因此不符合题意；
9．(2023·济宁一模)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝______．
12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)用向量的方法证明：BP∶PN＝2∶1；
12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(2)求∠MPN的余弦值．
当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，所以P的轨迹是一条线段，故C正确；