2025高考数学一轮复习第5章平面向量与复数05第24讲复数（课件+解析试卷）

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3．(人A必二P72例3改编)复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，若|z|≤1，则满足条件的点Z的集合是(　　)A．直线B．线段C．圆D．单位圆以及圆内的部分
　　　　因为|z|≤1，所以a2＋b2≤1，所以点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部．
5．(2023·广州三模)已知复数z满足z(1＋i)＝|2－i|，则复数z对应的点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，______叫做实部，______叫做虚部．复数集记作C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．(2)复数相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔_______________．
2．复数的分类对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且b≠0．3．复数的几何意义
4．复数的代数运算已知两个复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么：
　　　(1)(2022·浙江卷)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　)A．a＝1，b＝－3B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3D．a＝1，b＝3
　　　　因为a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，a，b∈R，所以a＝－1，b＝3．
　　　(3)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
　　　　(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，则在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．
解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题，都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
变式　(1)已知复数z满足(1＋i)z＝3－i，则z的虚部为(　　)A．2B．－2C．2iD．－2i
　　　(1)(多选)已知z1与z2是共轭复数(虚部均不为0)，则下列结论一定正确的有(　 　)
对于B，z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，故B正确；对于C，z1＋z2＝a＋bi＋a－bi＝2a∈R，故C正确；
　　　(2)(多选)若z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两个虚数根，则(　　　)A．a的取值范围为[－2,2]B．z1的共轭复数是z2
对于A，因为－2＜a＜2，故A错误；
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
　　　(1)已知复数z满足|z|＝1，则|z＋3－4i|(i为虚数单位)的最大值为_____．
　　　(2)(2023·广东一模)在复平面内，已知复数z满足|z－1|＝|z＋i|(i为虚数单位)，记z0＝2＋i对应的点为Z0，z对应的点为Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为(　　)
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
4．(多选)若复数x1，x2是关于x的方程x2＋4x＋5＝0的两个根，则下列说法正确的是(　 　)A．x1＋x2＝－4B．x1＋x2＝－4iC．x1x2＝5D．x1x2＝5i
　　　　若复数x1，x2是关于x的方程x2＋4x＋5＝0的两个根，则(x＋2)2＝－1，解得x＝－2±i，不妨设x1＝－2－i，x2＝－2＋i，故x1＋x2＝－4，x1x2＝5．
5．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则(　　　)A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
　　　　对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
A组　巩固练1．(2023·南京三模)已知复数z满足z(1＋i)＝5＋i，则复数z在复平面内所对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．(2023·无锡三模)已知i为虚数单位，复数z满足|z－2i|＝|z|，则z的虚部为(　　)A．－2B．－1C．1D．2
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知复数z＝(a＋2)＋(1－a)i(a∈R)为实数，则|a＋i|＝________．
10．在复数范围内，记方程x2＋x＋1＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|＝______．
11．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)是方程x2－px＋q＝0的根，其中p，q是实数．(1)求p和q的值；
11．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)是方程x2－px＋q＝0的根，其中p，q是实数．(2)若(p＋qi)·(m2＋2mi)是纯虚数，求实数m的值．
12．设复数z1＝1－i，z2＝csθ＋isinθ，其中θ∈[0，π]．(2)求|3z1＋z2|的取值范围．
设方程x2＋px＋q＝0的另一个根为x0，则由韦达定理得x0＋2－i＝4，即x0＝2＋i，所以方程x2＋px＋q＝0的另一个根为2＋i．