2025高考数学一轮复习第5章平面向量与复数06微难点11极化恒等式及其应用（课件+解析试卷）

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极化恒等式的三角形模型
如图，若四边形ABCD为矩形，O为矩形所在平面内任一点，则：
一、 极化恒等式的作用和使用范围1．极化恒等式的作用建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化．2．极化恒等式的适用范围(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．
二、 极化恒等式使用方法在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：第一步，取第三边的中点，连接向量的起点与中点；第二步，利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步，利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)．
10．已知向量a，b，e是平面向量，e是单位向量，|a|＝2，|b|＝3，a·b－e·(a＋b)＋1＝0，则|a－b|的取值范围为____________________．