2025高考数学一轮复习第6章数列02第26讲等差数列中的基本问题（课件+解析试卷）

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1．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)A．25 B．22 C．20 D．15
2．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37的值为(　　)A．760B．820C．780D．860
　　　　因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列，设其公差为d，因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝120，所以d＝120－100＝20，所以a37＋b37＝100＋20×36＝820．
3．(人A选必二P15T5改编)在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是_______．
4．(人A选必二P18T3)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝_____．
5．(人A选必二P23T4)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝______．
1．等差数列的有关公式(1)通项公式：_________________，其推导方法是累加法．(2)前n项和公式：_____________________________，其推导方法是倒序相加法．2．等差数列的常见性质(1)已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_________________；③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
an＝a1＋(n－1)d　
ak＋al＝am＋an　
等差数列的基本量及常见性质
　　　(1)(2023·合肥期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为 0，若S5＝S10，则(　　)A．S5＝0B．S8＝0C．S15＝0D．S17＝0
　　　(2)(2023·惠州三调改编)在等差数列{an}中，a4，a2 021是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则{an}的前2 024项和为(　　)A．1 012B．2 024C．4 048D．8 096
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．
3．已知某等差数列共20项，其所有项的和为75，偶数项的和为25，则公差为(　　)A．5　　B．－5　　C．－2.5　　D．2.5
　　　　20项中奇数项有10项，偶数项有10项，因为S奇＋S偶＝75，S偶＝25，所以S奇＝50，故S偶－S奇＝(a2＋a4＋…＋a20)－(a1＋a3＋…＋a19)＝10d＝－25，解得d＝－2.5．
　　　已知正项数列{an}的前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)．(1)求证：数列{S}是等差数列，并求Sn的表达式；
　　　已知正项数列{an}的前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)．
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法(客观题中判断)．(4)前n项和公式法(客观题中判断)．
变式　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81．(1)求a1，a2，a3．
　　　　由题意知a4＝2a3＋24－1＝81，所以a3＝33．同理可得a2＝13，a1＝5．
变式　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81．(3)求数列{an}的通项公式．
　　　(2)若数列{an}满足an＝－2n2＋kn，且{an}是递减数列，则实数k的取值范围为_____________．
　　　　方法一：由数列是一个递减数列，得an＋1＜an，又因为an＝－2n2＋kn，所以－2(n＋1)2＋k(n＋1)＜－2n2＋kn，即k＜4n＋2对n∈N*恒成立，所以k＜6．
　　　(3)(2023·枣庄二模)(多选)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则(　 　)A．S4＝S7B．当n＝5或6时，Sn取得最小值为30C．数列{|an|}的前10项和为50D．当n≤2 023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有671项互为相反数
等差数列的项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和的问题，一般先考虑应用项的性质．
变式　(2023·梅州一模)(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　 　)A．若d＜0，则S1是数列{Sn}的最大项B．若数列{Sn}有最小项，则d＞0C．若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＜0D．若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
1．(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)A．120B．140C．160D．180
2．(2023·深圳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(　　)A．0B．－10C．－30D．－40
　　　　根据题意，数列{an}为等差数列，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，则有S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，即20＋(S30－10)＝2×(10－20)，解得S30＝－30．
3．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝_____．
　　　　因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，因为{an}为等差数列，所以6a2＝3a1＋3a2＋6，所以3(a2－a1)＝3d＝6，解得d＝2．
4．(2023·南通模拟)甲、乙两个机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过______分钟．
A组　巩固练1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)A．5B．4C．3D．2
　　　　方式一：由题意得S偶－S奇＝5d＝15，解得d＝3．
方法二： 由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即2(S6－3)＝3＋18－S6，解得S6＝9．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)A．3B．4C．5D．6
当n＝1时，上式成立，所以an＝a1＋2(n－1)D，则an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D(常数)，所以数列{an}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．
5．(2023·石家庄期末)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11＜S10＜S12，则(　 　)A．d＞0　　　　　B．a1＞0　　　　　C．S22＜0　　　　　D．S21＜0
　　　　因为S11＜S10＜S12，所以S11－S10＝a11＜0，S12－S11＝a12＞0，故等差数列首项为负，公差为正，所以d＞0，a1＜0，故A正确，B错误；
6．(2023·清远期末)(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值．关于该问题，下列结论正确的是(　　　)A．d＝15B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里D．此人有连续的三天共行走了三百九十里
　　　　由题意，设此人第一天走a1里，第n天走an里，{an}是等差数列，a1＝100，S9＝9a1＋36d＝900＋36d＝1 260，解得d＝10，故A错误．a3＝a1＋2d＝100＋20＝120，故B正确．S7＝7a1＋21d＝910，故C正确．a3＋a4＋a5＝3a4＝390，故D正确．
　　　　设等差数列{an}的公差为d，对于A，取a1＝1，a2＝0，a3＝－1，所以a2＋a3＞0不成立，故A符合；对于B，由数列{an}是等差数列，可得2a2＝a1＋a3＜0，所以a2＜0恒成立，故B不符合；
对于D，由数列{an}是等差数列，得(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，无论a1为何值，均有(a2－a1)(a2－a3)≤0，所以若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0不成立，故D符合．
9．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝14，S5＝55，则数列{a3n－1}的前10项和为_________．
10．已知等差数列{an}，{bn}，n∈N*，且bn＝an＋an＋1，b1＝1，b3＝9，则a1＝______；若数列{an}的前n项和Sn≥21，则正整数n的最小值为_____．
因为函数f(x)＝2x2－3x－42在[1，＋∞)上单调递增，且f(5)＝－7＜0，f(6)＝12＞0，所以满足Sn≥21的正整数n的最小值为6．
11．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．(1) 求数列{an}的通项公式；
11．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．(2) 求数列{|an|}的前n项和Tn．
(1) 求证：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式．
(1) 若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求数列{an}的通项公式；
又d＞1，解得d＝3，所以a1＝d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n，n∈N*．
(2) 若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．