2025高考数学一轮复习第6章数列05第29讲第1课时分组转化法与错位相减法求和（课件+解析试卷）

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1．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(　　)A．153B．210C．135D．120
3．(人A选必二P40T3(1))求和：(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n－3×5－n)＝_____________________．
5．化简：2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n＝_____________．
1．公式法除了等差、等比数列的求和公式，还可以记住下列两个公式：
2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
第1课时　分组转化法与错位相减法求和
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
　　　　由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5．又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，bn＋1－bn＝3，所以{bn}为等差数列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1．
(2)求{an}的前20项和．
变式　(2023·马鞍山一模)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2,2a4，b5成等差数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
　　　　因为bn＋1＝an＋1bn－anbn，a1＝3，a2＝5，所以令n＝1，得2b1＝b2．又数列{bn}为等比数列，所以bn＋1＝2bn，即数列{bn}是公比为2的等比数列，所以由bn＋1＝an＋1bn－anbn可得2bn＝an＋1bn－anbn，即an＋1－an＝2，则数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．由b2,2a4，b5成等差数列，得b2＋b5＝4a4，即2b1＋16b1＝36，即b1＝2，故bn＝2n．
变式　(2023·马鞍山一模)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2,2a4，b5成等差数列．
(1)求a1＋a2，并证明{an＋an＋1}是等差数列；
若某数列非等差非等比，但连续几项的和为等差数列或呈现周期特性，可考虑使用此方法求和．
变式　(2023·韶关二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝Sn＋1，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；
变式　(2023·韶关二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝Sn＋1，n∈N*．(2)设bn＝(－1)n(an＋n)，求数列{bn}的前2n项和T2n．
　　　(2023·全国甲卷)已知在数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan．(1)求数列{an}的通项公式；
　　　(2023·全国甲卷)已知在数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan．
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1求和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn．
1．(2023·扬州开学考)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于(　　)A．150B．180C．300D．360
3．(多选)在数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则(　　　)A．a4＝4B．{a2n}是等比数列C．a2n－a2n－1＝2n－1D．a2n－1＋a2n＝2n＋1
4．已知数列{cn}的通项公式为cn＝(2n－1)·3n，则数列{cn}的前n项和Sn＝________________．
3＋(n－1)·3n＋1　
A组　巩固练1．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝(　　)A．10B．12C．1＋lg35D．2＋lg35
　　　　由等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，可得a5a6＝9，从而lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a5a6)5＝10．
2．(2023·武汉期中)在数列{an}中，已知an＋1＋an＝3·2n，则{an}的前10项的和为(　　)A．1 023B．1 024C．2 046D．2 047
3．在数列{an}中，an＝(－1)n－1(4n－3)，其前n项和为Sn，则S11＝(　　)A．－20B．20C．－21D．21
　　　　因为an＝(－1)n－1(4n－3)，所以S11＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(33－37)＋41＝－4×5＋41＝21．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1an，则S20＝(　　)A．55B．50C．110D．210
　　　　由题意，可知当n＝1时，2a1＝2S1＝a2a1，可得a2＝2．因为2Sn＝an＋1an，所以2Sn＋1＝an＋2an＋1，两式相减可得2(Sn＋1－Sn)＝an＋1(an＋2－an)，即2an＋1＝an＋1(an＋2－an)，所以an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项和偶数项都是以2为公差的等差数列．
　　　　当n是偶数，即n＝2k(k∈N*)时，an＝(4k－1)sinkπ＝0，
6．(多选)已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，则(　 　)
　　　　对于A，S6＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＝2×(1＋3＋5)＝18，故A正确．
对于C，a3－a2＝2≠a2－a1，故数列{an}不是等差数列，故C错误．
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____________，前n项和Sn＝____________．
10．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2，则a1·21＋a2·22＋…＋an·2n＝_________________．
　　　　记数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2①，所以当n＝1时，S1＝a1＝1，当n≥2时，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2②，由①－②得an＝2n－1，当n＝1时，a1＝1符合上式．
(2n－3)2n＋1＋6　
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求证：当n＞5时，Tn＞Sn．
(1) 求数列{bn}的通项公式；
又b1＝a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝3n－1．
(2) 求数列{an}的前n项和Sn．
B组　创新练13．将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n＝k1·k2，当k1，k2差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f(n)＝|k1－k2|，则数列{f(5n)}的前2 023项和为(　　)A．51 012B．51 012－1C．52 023D．52 023－1
　　　　当n＝2k(k∈N*)时，52k＝5k×5k，则f(52k)＝|5k－5k|＝0，当n＝2k－1(k∈N*)时，52k－1＝5k－1×5k，则f(52k－1)＝|5k－5k－1|＝5k－5k－1，故数列{f(5n)}的前2 023项的和为(5－1)＋0＋(52－5)＋0＋(53－52)＋…＋(51 011－51 010)＋0＋(51 012－51 011)＝51 012－1．
14．(2023·邵阳三模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1＋3．(1) 求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1＋3①，所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·3n＋3(n≥2)②，所以①－②得，anbn＝(2n－1)·3n，所以bn＝3n(n≥2)．当n＝1时，a1b1＝3，b1＝3，符合bn＝3n，所以bn＝3n．
14．(2023·邵阳三模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1＋3．