2025高考数学一轮复习第6章数列06第29讲第2课时裂项相消法求和（课件+解析试卷）

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　　　(2023·德州三模)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，Sn＝an＋1－3n－2．(1)求数列{an}的通项公式；
　　　　当n＝1时，S1＝a1＝a2－3－2，则a2＝7．因为Sn＝an＋1－3n－2，所以Sn－1＝an－3(n－1)－2(n≥2)，两式相减得an＋1＝2an＋3(n≥2)，所以an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥2)，a1＝2，a1＋3＝5，a2＋3＝10，则a2＋3＝2(a1＋3)，即n＝1也适合上式，所以{an＋3}是以5为首项，2为公比的等比数列，故an＋3＝5×2n－1，即an＝5×2n－1－3．
　　　(2023·德州三模)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，Sn＝an＋1－3n－2．
　　　(2023·怀化期末)已知数列{an}是公差大于1的等差数列，a2＝3，前n项和为Sn，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；
　　　　设等差数列{an}的公差为d(d＞1)，则a2＝a1＋d＝3．因为a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列，所以(a3－1)2＝(a1＋1)(a6－3)，即(a1＋2d－1)2＝(a1＋1)(a1＋5d－3)，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．
　　　(2023·怀化期末)已知数列{an}是公差大于1的等差数列，a2＝3，前n项和为Sn，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列．
3．(2024·嘉兴期初)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝3，Sn＝nan－n2＋n．(1)求数列{an}的通项公式；
　　　　因为Sn＝nan－n2＋n，可得Sn＋1＝(n＋1)an＋1－(n＋1)2＋n＋1，两式相减得an＋1＝(n＋1)an＋1－(n＋1)2＋n＋1－nan＋n2－n，整理得an＋1－an＝2，可知数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设cn＝4n2anan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn．
12．(2023·烟台模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，且nan－Sn＝n2－n，n∈N*．(1) 求数列{an}的通项公式；
　　　　由nan－Sn＝n2－n，知(n＋1)an＋1－Sn＋1＝(n＋1)2－(n＋1)，两式相减得n(an＋1－an－2)＝0，因为n∈N*，所以an＋1－an－2＝0，即an＋1－an＝2，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．
12．(2023·烟台模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，且nan－Sn＝n2－n，n∈N*．
14．(2024·合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m＞1．若m|(a－b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mdm)(“|”为整除符号)．(1) 解同余方程x2－x≡0(md3)；
　　　　由题意x(x－1)≡0(md3)，所以x＝3k或x－1＝3k(k∈Z)，即x＝3k或x＝3k＋1(k∈Z)．
14．(2024·合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m＞1．若m|(a－b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mdm)(“|”为整除符号)．(2) 设(1)中方程的所有正根构成数列{an}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an．①若bn＝an＋1－an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2 024；
14．(2024·合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m＞1．若m|(a－b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mdm)(“|”为整除符号)．(2) 设(1)中方程的所有正根构成数列{an}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an．②若cn＝tana2n＋1·tana2n－1(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn．