2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布02第47讲二项式定理及其应用（课件+解析试卷）

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2．(人A选必三P34习题T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3项的系数是(　　)A．74 B．121 C．－74 D．－121
4．(人A选必三P38T3(5))在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是_____．
　　　　令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)10＝1．
5．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2项的系数为________．
　　　　 (2)(2023·厦门二检)(ax＋y)5的展开式中含x2y3的项的系数等于80，则实数a＝(　　)A．2B．±2
　　　　　(2)(2024·南昌期初)(1－x＋x2)·(1＋x)6的展开式中x7的系数是_____．
视角3　形如(a＋b＋c)n　　　　　(1)(x－2y－1)5的展开式中含x2y2的项的系数为(　　)A．－120B．60C．－60D．30
　　　　　(2)(2023·嘉兴二模)(x－2y＋3z)6的展开式中x3y2z的系数为(　　)A．－60B．240C．－360D．720
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解．
二项式系数的性质及系数和
视角1　二项式系数和与系数和　　　　　已知(3－2x)11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11．(1)求a1＋a2＋…＋a11的值；
　　　　因为(3－2x)11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，所以令x＝0，得(3－2×0)11＝a0＋a1×0＋a2×02＋…＋a11×011，即a0＝311．令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(3－2×1)11＝1，所以a1＋a2＋…＋a11＝1－311．
　　　　　已知(3－2x)11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11．(2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a11|的值；
　　　　　(3)求a1＋2a2＋…＋11a11的值．
　　　　令f(x)＝(3－2x)11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则f′(x)＝11(3－2x)10×(－2)＝－22(3－2x)10，且f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋11a11x10，令x＝1，则f′(1)＝－22×(3－2×1)10＝－22，且f′(1)＝a1＋2a2＋3a3＋…＋11a11，所以a1＋2a2＋…＋11a11＝－22．
赋值法求展开式系数和的基本方法是联合运用已知的二项展开式恒等式及展开式中的通项表达式来确定选取的赋值常数．常见的情形如下：(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
A．n＝8B．展开式中x－2的系数为－448C．展开式中常数项为16D．展开式中所有项的系数和为1
2．(2023·潮州期末)若(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝(　　)A．4B．8C．80D．3 125
　　　　两边同时求导得5(x＋1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4．令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×24＝80．
　　　(1)(2023·唐山、邯郸期末)9810除以1 000的余数是______．
　　　(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是算近似值：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
2．(2023·南通如东期末)已知(3x－1)·(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　)A．25B．3C．5D．33
3．(2023·温州期初)(x2－x＋1)(1＋x)9的展开式中含x5的项的系数是_____．
4．(2023·烟台一模)(x－2y＋1)5的展开式中含x2y项的系数为________．
5．(2023·苏北四市一模)若(1－2x)5(x＋2)＝a0＋a1x＋…＋a6x6，则a3＝_________．
2．(2023·宿州一模)设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，则n＝(　　)A．8B．9C．10D．11
3．(2019·全国Ⅲ卷理)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)A．12B．16C．20D．24
A．常数项是1 120B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为256D．各项的系数之和为256
对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确．对于D，令x＝1，得各项的系数之和为1，故D错误．
A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和为1 458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr－1的系数相等
　　　　对于A，令二项式中的x＝1，得展开式中各项系数和为1＋a，所以1＋a＝2，所以a＝1，故A正确．
7．(2023·芜湖三模)(多选)已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有(　 　)A．a0＝1B．a2＝42
　　　　对于A，令x＝0，则a0＝(0＋0＋1)9＝1，故A正确．
对于D，因为[(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，故D正确．
10．(2023·连云港联考)若x7＋(x－2)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9＋a10(x－1)10，则a5＝_________．
已知(1＋mx)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，且____．(1) 求m的值；
已知(1＋mx)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，且____．(2) 求a1＋a3＋a5＋a7的值(结果保留指数形式)．
(1) 求展开式中的一次项；
(2) 求展开式中系数最大的项．
13．已知g(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．(1) 若a1＋a2＋…＋an－1＝253－n，求n的值；
13．已知g(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．(2) 当x＝1，n＝29时，求g(x)除以7所得的余数．
B组　创新练14．0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943
15．(2023·曲靖一模)已知(1－x)4(1＋2x)5＋(1＋2 023x)2 022＋(1－2 022x)2 023展开式中x的系数为q．空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则m＋n＋p＝(　　)A．2 022B．2 023C．40D．50