2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布03第48讲随机事件与概率（课件+解析试卷）

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1．(人A必二P235T2改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论错误的是(　　)A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥
　　　　A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，故A与B互斥，C为三件产品有次品，但不全是次品，它包括一件次品，两件次品，由此知，A与C是互斥事件，B与C是互斥事件．
2．(人A必二P229例1改编)先后抛掷同一枚硬币三次，若正面向上则记为1；若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有_____个样本点．
　　　　这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，0)}，共8个样本点．
3．(人A必二P263T3改编)一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
4．某医院要派医生A1，A2，A3和护士B1，B2，B3分成3组参加下乡送医活动，每组1名医生和1名护士，则医生A1不和护士B1分到同一组的概率为(　　)
5．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么下列两个事件中互斥而不对立的是(　　)A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个红球
　　　　对于A，“至少有一个黑球”与“都是黑球”有公共事件：两个黑球，能同时发生，故不互斥；对于B，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件；对于C，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”有公共事件：一个红球一个黑球，能同时发生，故不互斥；对于D，“恰有一个黑球”与“恰有两个红球”没有公共事件，是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个黑球．
1．随机事件(1)事件的分类
(2)两个事件的关系和运算
2．频率与概率(1)概率的几个基本性质①概率的取值范围：_______________；②必然事件的概率：P(Ω)＝1；③不可能事件的概率：P(∅)＝0．(2)概率的加法公式①若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________________．②若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝____________．
P(A)＋P(B) 　
3．古典概型(1)古典概型的特点
4．常用结论(1)若A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
　　　(1)(2023·张家口模拟)(多选)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E＝“只订甲报纸”，事件F＝“至少订一种报纸”，事件G＝“至多订一种报纸”，事件H＝“不订甲报纸”，事件I＝“一种报纸也不订”，下列说法正确的是(　 　)A．E与G是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件C．F与G不是互斥事件D．G与I是互斥事件
　　　　对于A，事件E，G有公共事件：只订甲报纸，不是互斥事件；对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；对于C，F与G有公共事件：只订甲报纸、只订乙报纸，不是互斥事件；对于D，G与I有公共事件：一种报纸也不订，不是互斥事件．
　　　(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，则下列关系正确的是(　 　)A．A∩D＝∅B．B∩D＝∅C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
　　　　“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D．
事件的关系运算策略 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．
变式　(多选)下列命题为真命题的是(　　　)A．将一枚硬币抛两次，设事件M＝“两次出现正面”，事件N＝“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件B．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件C．甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B相互独立但不互斥D．已知一次试验，事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，又事件A与事件C不能同时发生，若P(B)＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪C)＝0.6
　　　　对于A，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错误．对于B，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故B正确．对于C，对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故C正确．对于D，因为事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，所以事件A与事件B为对立事件，而P(B)＝0.6，所以由P(A)＋P(B)＝1⇒P(A)＝1－P(B)＝1－0.6＝0.4，又因为事件A与事件C不能同时发生，所以事件A与事件C是互斥事件，因为P(C)＝0.2，所以P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝0.2＋0.4＝0.6，故D正确．
　　　(1)(2023·杭州一模)四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是(　　)
　　　(2)(2023·湖北八市三月联考)甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加某疾病防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区，则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为(　　)
(1)古典概型中样本点的探求方法
(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤
变式　(2023·滨州二模)回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5 445等，在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为(　　)
　　　口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外均相同的小球，从中取出两球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“取出的两球中至少有一个黄球”，事件C＝“取出的两球至少有一个白球”，事件D＝“取出的两球不同色”，事件E＝“取出的两球中至多有一个白球”．下列判断正确的是(　　)A．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)B．P(C)＋P(D)＝1C．P(C∪E)＝1D．P(B)＝P(C)
(1)求复杂事件的概率的方法是将随机事件表示为一些互斥事件的和，再求各个互斥事件的概率，从而确定所求的概率，这是一种重要的解题技巧．(2)如果随机事件包含的互斥事件太多，可以求其对立事件，这是一种“正难则反”间接的求解思想．
变式　(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率，下列结论中正确的是(　　　)A．P(A)＝0.55B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27D．P(B＋C)＝0.55
1．(2023·全国乙卷文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
2．(2023·厦门二检)厦门山海健康步道云海线全长约23 km，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为(　　)
3．(2023·嘉兴期末)袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是(　　)
A组　巩固练1．(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
2．(2023·湖州、衢州、丽水二模)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始，在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率为(　　)
3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
4．(2023·淮北一模)对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)＝60，n(A)＝30，n(B)＝10，n(C)＝20，n(D)＝30，n(A∪B)＝40，n(A∩C)＝10，n(A∪D)＝60，则(　　)A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥D．A与C相互独立
　　　　由n(A)＝30，n(B)＝10，n(A∪B)＝40，即n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，知A，B互斥，故A错误．由n(A∪D)＝n(A)＋n(D)＝n(Ω)＝60，知A，D互斥且对立，故B错误．又n(C)＝20，n(A∩C)＝10，则n(D∩C)＝10，C与D不互斥，C错误．
5．(多选)下列结论正确的是(　　　)A．若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则P(B)＝0B．若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥C．若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1D．若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥
　　　　若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确．若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确．若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确．若事件A，B互斥但不一定对立，则它们的对立事件不一定互斥，故D错误．
6．(多选)连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝|m－n|，则下列结论正确的是(　 　)A．事件“t＝0”的概率与事件“t＝3”的概率相等B．事件“t＝1”的概率小于事件“t＝2”的概率C．事件“t＝0或t＝4”与事件“t是质数”是对立事件D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件
由题意可知t的所有可能取值为0,1,2,3,4,5．因为1不是质数，所以事件“t＝0或t＝4”与事件“t是质数”是互斥事件，但不是对立事件，故C错误．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件，故D正确．
7．(2023·诸暨三模)(多选)一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其他差异．每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是(　 　)
对于D，如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件A与事件B不是对立事件，所以D错误．
8．(2023·南通质检)孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7．在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为____．
　　　　大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15个样本点．
10．(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，则取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_______．
　　　　设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n．
11．(2023·北京卷)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
用频率估计概率．(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明)
　　　　由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大．
12．(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现，某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图所示的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图．
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)，误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1) 当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临近值c和误诊率q(c)；
　　　　漏诊率为p(c)＝0.5%，即有0.5%的患者指标在c以下，由图(1)可知0.002×5＝0.01＝1%，又数据在组内均匀分布，故临界值为97.5，即c＝97.5．依题意，误诊率即未患病者指标超过97.5的概率，由图(2)可知，q(c)＝0.01×2.5＋0.002×5＝0.025＋0.01＝0.035＝3.5%．
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)，误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(2) 设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式及f(c)在区间[95,105]的最小值．
　　　　当c∈[95,100]时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c) ×0.01＋0.002×5＝1－0.01c＋0.01＝1.01－0.01c，则f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.82－0.008c．当c∈(100,105]时，p(c)＝0.002×5＋0.012×(c－100)＝0.01＋0.012c－1.2＝0.012c－1.19，q(c)＝0.002×(105－c)＝0.21－0.002c，则f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．
B组　创新练13．(2023·扬州期初)某个随机数选择器每次从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a，b，c，则P(a＜b＜c)＝______．
14．(2023·十堰二模)甲、乙两位同学玩游戏：给定实数a1＝3，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骰子，若朝上的点数为1,2,3，则a2＝2a1－4；若朝上的点数为4，则a2＝a1；若朝上的点数为5,6，则a2＝a1＋2．对实数a2重复上述操作，得到新的实数a3．若a3＞a1，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为____．