2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最大的是( )
A. 面朝上的点数是6B. 面朝上的点数是偶数
C. 面朝上的点数大于2D. 面朝上的点数小于2
2.若x=1y=−2，是关于x和y的二元一次方程mx+ny=3的解，则2m−4n的值等于( )
A. 3B. 6C. −1D. −2
3.如图，直线l1//l2，点B，C分别在直线l1和l2上，则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠1+∠4=90∘
D. ∠4+∠5=180∘
4.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 4.5cm2
D. 5cm2
5.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2−12nC. n−m>0D. 1−2m<1−2n
6.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与y=x+2的图象相交于点M(m,4)，则关于x，y的二元一次方程组kx−y=−by−x=2的解是( )
A. x=1.8y=4
B. x=2y=4
C. x=2.4y=4
D. x=3y=4
7.如图，在△ABC中，∠A=48∘，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An−1BC与∠An−1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图，在△ABC，∠C=90∘，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD=3cm，则BE的长为( )
A. 3 32cm
B. 4cm
C. 3 2cm
D. 6cm
9.如图，直线y=−x+b与直线y=2x交于点A的横坐标为−1，则不等式−x+b>2x的解集为( )
A. x<−2
B. x<−1
C. −2D. −110.已知关于x的不等式组5−3x≥−1a−x<0无解，则a的取值范围是( )
A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知关于的二元一次方程组x+y=3kx−3y=20−k的解满足x−y=6，则k的值为______.
12.如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠BMC=110∘，则∠1的度数为______.
13.小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是______.
14.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是______.
15.如图，直线y=kx+b经过A(2,1)，B(−1,−2)两点，则不等式−2三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程组：
(1)3(x+y)−2(2x−y)=32(x−y)3−x+y4=−112；
(2)解不等式组5x+2<3(x+2)x−12≤2x−13，并求它的整数解.
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，在F在AB上.
(1)若DG//BC，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什么？
(2)在(1)的条件下，CD平分∠ACB，且∠2=54∘，求∠3的度数.
18.(本小题8分)
某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次研究中，一共调查了______名学生；若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生共有______名；
(2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是______；
(3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE//AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F.
(1)求证：BE=DE；
(2)若DE=2，DF= 3，求BD的长．
20.(本小题8分)
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
(1)求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
21.(本小题8分)
如图，直线MN//OB，直角三角板CDE的顶点C，D分别在直线OB，MN上，且∠CED=90∘，∠DCE=60∘，设∠AOB=α(0∘<α<90∘).
(1)如图1，若CE//OA，∠MDC=110∘，求α的度数.
(2)若∠MDC的平分线DF交OB于点F.
①如图2，当CE//OA，且∠MDC=120∘时，试说明DF//OA.
②如图3，当CE//OA保持不变时，试求出∠DFC与α之间的数量关系.
22.(本小题8分)
问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，求∠APC的度数.小明的思路是过点P作PE//AB，通过平行线的性质来求∠APC.
(1)按照小明的思路，则∠APC的度数为______.
(2)问题迁移：如图2，AB//CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β.当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
23.(本小题8分)
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
【解答】
解：∵抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能结果，
∴A.面朝上的点数是6的概率为16；
B.面朝上的点数是偶数的概率为36=12；
C.面朝上的点数大于2的概率为46=23；
D.面朝上的点数小于2的概率为16.
由23>12>16，可知面朝上的点数大于2的概率最大，
故选C.
2.【答案】B
【解析】解：将x=1y=−2代入方程mx+ny=3得：m−2n=3，
∴2m−4n=2(m−2n)=2×3=6.
故选：B.
把x与y的值代入方程计算即可求出m−2n=3，把所求式子因式分解后代入计算即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3.【答案】C
【解析】解：A、如图：∵直线l1//l2，
∴∠2=∠6，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2.
∴A正确．
B、∵直线l1//l2，
∴∠3=∠4，
∴B正确．
∵∠2+∠4≠90∘，且∠1=∠2，
∴∠1+∠4≠90∘，
∴C错误．
D、∵直线l1//l2，
∴∠4+∠5=180∘.
∴D正确．
故选：C.
由平行线的性质可直接得出结论．
本题考查了平行线的性质、对顶角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90∘，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2=4.5cm2，
故选：C.
根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
5.【答案】D
【解析】解：A、m−2>n−2，∴不符合题意；
B、−12m<−12n，∴不符合题意；
C、m−n>0，∴不符合题意；
D、∵m>n，
∴−2m<−2n，
∴1−2m<1−2n，∴符合题意；
故选：D.
A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以−12，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以−2，不等号的方向改变．
本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：把M(m,4)代入y=x+2得m+2=4，
解得m=2，
∴M点的坐标为(2,4)，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)与y=x+2的图象相交于点M(2,4)，
∴关于x，y的二元一次方程组kx−y=−by−x=2的解是x=2y=4.
故选：B.
先利用y=x+2确定M点的坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：由两个函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=180∘−12∠ACD−∠ACB−12∠ABC
=180∘−12(∠ABC+∠A)−(180∘−∠A−∠ABC)−12∠ABC
=12∠A
=48∘21；
同理可得∠A2=12∠A1=48∘22，…
∴∠An=48∘2n.
∴要使∠An的度数为整数，则n的最大值为4，此时∠A4=3∘.
故选：C.
根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A1=12∠A=48∘21，∠A2=12∠A1=48∘22，…，依此类推可知∠An的度数
本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．
8.【答案】A
【解析】解：∵DE⊥AB，E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠B=∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90∘，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=180∘−∠C=90∘，
∴∠B=∠CAD=30∘，
∵∠C=90∘，AD=3cm，
∴CD=12AD=32cm，
由勾股定理得：AC= AD2−CD2= 32−(32)2=32 3(cm)，
∴AB=2AC=3 3cm，
∴BE=AE=12AB=3 32cm，
故选：A.
根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，求出∠B=∠CAD=∠BAD=30∘，根据含30∘角的直角三角形性质得出AB=2AC，AD=2CD，求出AB即可．
本题考查了勾股定理，含30∘角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，能求出∠B的度数是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：观察图象可知，
∵当x<−1时，直线y=−x+b在直线y=2x的上方，
∴不等式−x+b>2x的解集为x<−1.
故选：B.
不等式−x+b>2x的解集，就是指直线y=−x+b在直线y=2x的上方的自变量的取值范围．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵5−3x≥−1a−x<0，
∴x≤2x>a，
∵关于x的不等式组5−3x≥−1a−x<0无解，
∴a≥2，
故选：D.
先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
本题考查了不等式组的无解问题，解答本题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．
11.【答案】−4
【解析】解：{x+y=3k①x−3y=20−k②，
(①+②)÷2得：x−y=10+k，
又∵x−y=6，
∴10+k=6，
解得：k=−4，
∴k的值为−4.
故答案为：−4.
利用(①+②)÷2，可得出x−y=10+k，结合x−y=6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，通过解二元一次方程组，找出x−y=10+k是解题的关键．
12.【答案】40∘
【解析】解：如图，由折叠的性质得：∠2=∠3，∠4=∠5，
因为∠BMC=110∘，
所以∠2+∠5=180∘−∠BMC=70∘，
所以∠3+∠4=70∘，
所以∠1=∠BMC−(∠3+∠4)=110∘−70∘=40∘，
故答案为：40∘.
由折叠的性质可得∠2=∠3，∠4=∠5，再根据平角的定义可得∠2+∠5=70∘，从而可得∠3+∠4=70∘，然后根据角的和差即可解答．
本题主要考查了折叠的性质、角的和差等知识点，熟练掌握折叠的性质得到相等的角是解答本题的关键．
13.【答案】516
【解析】解：阴影部分的面积是：16−4−1×32×2−2×42=5，
则飞镖落在阴影区域的概率是516；
故答案为：516.
用正方形的总面积减去空白部分的面积，求出阴影部分的面积，再根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
14.【答案】3cm
【解析】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM=PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP=∠NOP，
∵PC//OB，
∴∠CPO=∠NOP，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC=5−2=3(cm)，
∴OC的长度是3cm.
故答案为：3cm.
过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP=∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO=∠NOP，得到∠COP=∠CPO，因此OC=PC，由PC=5−2=3(cm)，即可得到OC的长度是3cm.
本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB.
15.【答案】−1【解析】解：由题意可得：一次函数图象在y=1的下方时x<2，在y=−2的上方时x>−1，
∴关于x的不等式−2故答案为：−1首先利用图象可找到图象在y=1的下方时x<2，在y=−2的上方时x>−1，进而得到关于x的不等式−2此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
16.【答案】解：(1)原方程可化为{−x+5y=3①5x−11y=−1②，
由①×5+②得：y=1，
将y=1代入①得：−x+5=3，
解得：x=2，
∴方程组的解集为x=2y=1；
(2){5x+2<3(x+2)①x−12⩽2x−13②，
解不等式①得：x<2
解不等式②得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<2，
∴整数解为−1、0、1.
【解析】(1)先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可；
(2)先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出整数解即可．
本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．
17.【答案】解：(1)CD//EF，理由如下：
∵DG//BC，
∴∠1=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2，
∴CD//EF；
(2)∵CD//EF，∠2=54∘，
∴∠BCD=∠2=54∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCD=108∘，
∵DG//BC，
∴∠3=∠ACB=108∘.
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求解即可；
(2)根据平行线的性质、角平分线的定义求出∠ACB=108∘，再根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)100，600；
(2)如图所示：
108∘；
(3)310.
【解析】【分析】
(1)根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数，利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
(2)根据两幅统计图即可求出阅读的人数，从而可补全图形．
(3)根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．
【解答】
解：(1)爱好运动的人数为40，所占百分比为40%，
∴共调查人数为：40÷40%=100，
爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，
∴全校爱好运动的学生共有：1500×40%=600人，
故答案为：100，600；
(2)
爱好阅读人数为：100−40−20−10=30，
补全条形统计图，如图所示，
阅读部分圆心角是360∘×30100=108∘，
故答案为：108∘；
(3)爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为310，
故答案为：310.
19.【答案】(1)证明：∵BD分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE//AB，
∴∠EDB=∠ABD.
∴∠CBD=∠EDB.
∴DE=EB.
(2)解：∵∠C=90∘，
∴DC⊥BC.
又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴CD=DF= 3.
在Rt△CDE中，
CE= DE2−CD2=1.
∵DE=EB=2，
∴BC=CE+EB=3.
在Rt△CDB中，
BD= CD2+BC2= 3+9=2 3.
【解析】(1)利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD=∠EDB，再利用等腰三角形的判定得结论；
(2)利用角平分线的性质先得到CD=DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．
本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：3x+2y=540y−2x=20，
解得：x=50y=120.
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
(2)设购买m个B型垃圾箱，则购买(20−m)个A型垃圾箱．
依题意，得：50(20−m)+120m≤150020−m≤m，
解得：5≤m≤152.
又m为整数，m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
【解析】(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱(20−m)个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
21.【答案】解：(1)因为MN//OB，
所以∠DCB=∠MDC=110∘.
因为∠DCE=60∘，
所以∠ECB=∠DCB−∠DCE=110∘−60∘=50∘.
因为OA//CE，
所以α=∠AOB=∠ECB=50∘；
(2)①因为∠MDC=120∘，DF平分∠MDC，
所以∠CDF=∠MDF=60∘.
因为∠DCE=60∘，
所以∠CDF=∠DCE，
所以CE//DF.
因为CE//OA，
所以DF//OA；
②因为CE//OA，
所以∠ECB=∠AOB=α.
因为∠DCE=60∘，
所以∠DCB=60∘+α.
因为MN//OB，
所以∠MDC=∠DCB=60∘+α，∠DFC=∠MDF.
因为DF平分∠MDC，
所以∠MDF=12∠MDC=30∘+12α，
所以∠DFC=∠MDF=30∘+12α.
【解析】(1)根据MN//OB，可得∠DCB=∠MDC=110∘，从而得到∠ECB=∠DCB−∠DCE=50∘，再由OA//CE，即可求解；
(2)①根据DF平分∠MDC，可得∠CDF=∠MDF=60∘，从而得到CE//DF，即可；②根据CE//OA，可得∠ECB=∠AOB=α，从而得到∠DCB=60∘+α，再由平行线的性质可得∠MDC=∠DCB=60∘+α，∠DFC=∠MDF，再由DF平分∠MDC，可得∠MDF=12∠MDC=30∘+12α，即可求解．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】110∘
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180∘，∠C+∠CPE=180∘，
∵∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，
∴∠APE=50∘，∠CPE=60∘，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110∘.
故答案为：110∘；
(2)∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE//AB交AC于E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
(3)如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA=∠α−∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA=∠β−∠α.
(1)通过平行线性质可得∠A+∠APE=180∘，∠C+∠CPE=180∘，再代入∠PAB=130∘，∠PCD=120∘可求∠APC即可；
(2)过P作PE//AB交AC于E，推出AB//PE//DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
(3)分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
23.【答案】证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=90∘，
∵∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)△DEF是等边三角形．
由(2)知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60∘，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，
∴△DBF≌△EAF(SAS)，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘，
∴△DEF为等边三角形．
【解析】(1)根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90∘，而∠BAC=90∘，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
(2)与(1)的证明方法一样；
(3)由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60∘，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．