专题2.5 有理数混合运算的八种技巧-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6568" 【技巧1 巧用凑整法计算】 PAGEREF _Tc6568 \h 1
\l "_Tc22485" 【技巧2 运用拆项法计算】 PAGEREF _Tc22485 \h 1
\l "_Tc18709" 【技巧3 巧妙组合法计算】 PAGEREF _Tc18709 \h 2
\l "_Tc7277" 【技巧4 相互转化法计算】 PAGEREF _Tc7277 \h 2
\l "_Tc28108" 【技巧5 裂项相消法计算】 PAGEREF _Tc28108 \h 3
\l "_Tc5482" 【技巧6 巧用分配律计算】 PAGEREF _Tc5482 \h 3
\l "_Tc4493" 【技巧7 巧用倒数法计算】 PAGEREF _Tc4493 \h 4
\l "_Tc12703" 【技巧8 变形相加法计算】 PAGEREF _Tc12703 \h 5
【技巧1 巧用凑整法计算】
【例1】（重庆市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）计算：
−87.21+531921−12.78+43221 ；
【变式1-1】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）计算：
316−135−425−+116
【变式1-2】（2023秋·七年级单元测试）计算：
−218++5+−312++1.125++412；
【变式1-3】（2023秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：
0.125+314+−318+−0.25；
【技巧2 运用拆项法计算】
【例2】（2023秋·全国·七年级期末）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：−556+−923+1734+−312
解：原式=(−5−9+17−3)+ −56−23+34−12 =0+ −134 = −134
启发应用，用上面的方法完成下列计算：−3310+−112+235−212
【变式2-1】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：−556+−923+1734+−312
【变式2-2】（2023秋·山东济宁·七年级统考期中）计算：
−202156+−202023+404223+−112
【变式2-3】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+3579+−2349；
(2)−201856+−201723+−112+4036．
【技巧3 巧妙组合法计算】
【例3】（2023秋·全国·七年级期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020值为（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【变式3-1】（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯ +2017+2018−2019−2020+2021的值为（ ）
A．1B．0C．2021D．−2021
【变式3-2】（2023·全国·七年级专题练习）1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015= ．
【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算：1−2−3+4+5−6−7+8+.…+2020+2021结果为 ．
【技巧4 相互转化法计算】
【例4】（2023春·上海·七年级上海市进才实验中学校考期中）−0.375×123÷135
【变式4-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
【变式4-2】（2023秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
1.25÷(−0.5)÷(−212)×1
【变式4-3】（2023秋·全国·七年级期末）计算：
8÷−113×(−12.5)×−45；
【技巧5 裂项相消法计算】
【例5】（2023秋·七年级课时练习）阅读下列材料：
计算：11×2+12×3+13×4+…+12021×2022
解：原式=1−12+12−13+13−14+…+12021−12022=1−12022=20212022
这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：222−1+232−1+242−1+…+21002−1= ．
【变式5-1】（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）计算：
(1)11×2+12×3+13×4+14×5=_______；
(2)计算11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12020×2021
【变式5-2】（2023秋·山东淄博·七年级统考期中）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+159×60；
(3)1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．
【变式5-3】（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题．
（1）①−556+−923+1712+−312
解：原式=(−5)+−56+(−9)+−23+17+12+(−3)+−12
=(−5)+(−9)+17+(−3)+−56+−23+12+−12
=0+−112
=−112．
上面这种方法叫做拆项法．
②计算：−202256+−202223+−112+4045．
（2）①1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…，上面这种方法叫做裂项法．
②计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．
【技巧6 巧用分配律计算】
【例6】（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算：−24−24×13−56+34．
【变式6-1】（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：
(1)713×(−9)+713×(−18)+713；
(2)−62×12−23−23；
【变式6-2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）（1）−999899×198
【变式6-3】（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）计算下列各题：
(1)−24×−56+38−112；
(2) −535×−2+−5.6×7−4×−535；
【技巧7 巧用倒数法计算】
【例7】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期中）阅读下面材料，然后回答问题．
计算−130÷23−110+16−25
解法一：
原式=−130÷23−−130÷110+−130÷16−−130÷25
=−120+13−15+112
=16
解法二：
原式=−130÷23−16+110−25
=−130÷12−310
=−130×5
=−16
解法三：原式的倒数为23−110+16−25÷−130
=23−110+16−25×(−30)
=23×(−30)−110×(−30)+16×(−30)−25×(−30)
=−20+3−5+12
=−10
故原式=−110
(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________；
(2)根据材料所给的正确方法，计算：−142÷16−314+23−27
【变式7-1】（2023·江苏·七年级假期作业）计算：−120÷−14−25+910−32
【变式7-2】（2023秋·重庆垫江·七年级统考期末）计算：(−78)÷(134−78+712)．
【变式7-3】（2023秋·河南南阳·七年级统考期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： −112÷13−56
小华的解法：(−112)÷13−56= −112÷13−−112÷56=−14+110=−320
大白的解法：原式的倒数为13−56÷−112……………………第一步
=13−56×−12…………………第二步
=−4+10……………………………第三步
=6…………………………………第四步
所以−112÷13−56
反以两位同学的解法，请你回答下列问题：
(1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确；
(2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是____________________.
(3)用一种你喜欢的方法计算： −136÷12−13+34
【技巧8 变形相加法计算】
【例8】计算：1+2+22+…+22019+22020
【变式8-1】计算：1+2+3+4+⋯+55
【变式8-2】计算：M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58．
令M=1+5+52+53+……+551，
则5M=5+52+53+……+552，
故5M−M=552−1，
故4M=552−1，
故M=552−14，即1+5+52+53+……+551=552−14．
【变式8-3】计算：11+112+113+…+11n