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专题3.1 平方根【八大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题3.1 平方根【八大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题31平方根八大题型培优专题浙教版原卷版docx、专题31平方根八大题型培优专题浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17478" 【题型1 平方根的性质与数轴的综合】 PAGEREF _Tc17478 \h 1
\l "_Tc2873" 【题型2 根据平方根的性质求字母的值】 PAGEREF _Tc2873 \h 2
\l "_Tc14120" 【题型3 根据非负性的性质求值】 PAGEREF _Tc14120 \h 2
\l "_Tc21370" 【题型4 利用平方根的概念解方程】 PAGEREF _Tc21370 \h 3
\l "_Tc30424" 【题型5 根据平方根和算术平方根的概念求值】 PAGEREF _Tc30424 \h 3
\l "_Tc22959" 【题型6 估算算术平方根的取值范围】 PAGEREF _Tc22959 \h 4
\l "_Tc26756" 【题型7 求算术平方根的整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc26756 \h 4
\l "_Tc31591" 【题型8 有关算术平方根的探究规律题】 PAGEREF _Tc31591 \h 5
【知识点1 平方根和算术平方根】
平方根：
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型1 平方根的性质与数轴的综合】
【例1】（2023春·七年级单元测试）已知a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：a2+b2+(a−b)2+(b−1)2−(a−1)2．
【变式1-1】（2023春·湖北武汉·七年级校联考期中）如图，已知x2＝3，那么在数轴上与x对应的点可能是（ ）
A．P1B．P4
C．P2或P3D．P1或P4
【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）已知a，b在数轴上位置如图，化简(a−b)2−a2=_____．
【变式1-3】（2023春·辽宁辽阳·七年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（ ）
A．−7B．7−1C．1−7D．−2+7
【题型2 根据平方根的性质求字母的值】
【例2】（2023春·广东云浮·七年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为m+3和2m−15．
(1)这个正数是多少？
(2)m+21的算术平方根是多少？
【变式2-1】（2023春·河北廊坊·七年级校联考期中）如果实数m没有平方根，那么m可以是（ ）
A．−32B．−3C．−32D．−−3
【变式2-2】（2023春·上海虹口·七年级校联考期末）已知2023−n是正整数，则n的最大值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【变式2-3】（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）已知x=1−2a，y=3a−4．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【题型3 根据非负性的性质求值】
【例3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）已知3x−y−1 和2x+y−4 互为相反数，求x+4y的平方根.
【变式3-1】（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知x 、y，满足x−1+|y+2|=0，则x2−4y的平方根为________．
【变式3-2】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知y＝x−7+14−2x+9,则y+x的平方根是（ ）
A．3B．±3C．4D．±4
【变式3-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）已知(3−x)2−5与y−2+5互为相反数，则x+3y−1的值是（ ）
A．6B．5C．52D．2
【题型4 利用平方根的概念解方程】
【例4】（2023春·河南鹤壁·七年级校考期中）若x2−a2=x+2x−2，则a的值为（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【变式4-1】（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如果x−12=4，那么x的值是（ ）
A．4B．3或−1C．−1D．3
【变式4-2】（2023春·广西梧州·七年级统考期中）在公式y=(−1)2−8中，当y=1时，x的值为_______．
【变式4-3】（2023春·江西萍乡·七年级校考期中）求下列各式中x的值：
(1)9x2−25=0；
(2)42x−12=36
【题型5 根据平方根和算术平方根的概念求值】
【例5】（2023春·四川资阳·七年级校考期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【变式5-1】（2023春·广东江门·七年级校考期中）已知a+3=2，则a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式5-2】（2023春·福建莆田·七年级统考期末）已知x＝1-a，y＝2a-5．
（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；
（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．
【变式5-3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）已知正数x的平方根是m和m+n.
(1)当n=6时，求m的值；
(2)若m2x+(m+n)2x=32，求x-1的值.
【题型6 估算算术平方根的取值范围】
【例6】（2023春·七年级课时练习）估计56的大小应在（ ）
A．7.1～7.3之间B．7.3～7.5之间C．7.5～7.7之间D．7.7～7.9之间
【变式6-1】（2023春·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上表示数17的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式6-2】（2023春·贵州六盘水·七年级统考期末）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（ ）
A．−3B．7
C．11D．13
【变式6-3】（2023春·北京东城·七年级北京一七一中校考期中）请写出2与10间的一个整数________．
【题型7 求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例7】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式7-1】（2023春·全国·七年级专题练习）11的整数部分是______．小数部分是_______．
【变式7-2】（2023·浙江·七年级假期作业）已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是13的整数部分，求a+2b−c的平方根．
【变式7-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）（1）采用夹逼法，利用2的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为12=1,22=4，
所以1<2<2,
因为1.42=1.96，1.52=2.25，
所以1.4<2<1.5,
因为1.412=1.9881,1.422=2.0164，
所以1.41<2<1.42
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225，
所以1.414<2<1.415,
因此2≈1.41(精确到百分位)，
使用夹逼法，求出5的近似值(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号x表示数x的整数部分，例如34=0,2.4=2,
①按此规定10+2= ；
②如果3的整数部分是a,5的小数部分是b,求a−b的值．
【题型8 有关算术平方根的探究规律题】
【例8】（2023春·四川达州·七年级四川省渠县中学校考阶段练习）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
规律：
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
①已知10≈3.16，则1000≈ ；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a= ．
【变式8-1】（2023春·河南郑州·七年级郑州市第八中学校考期中）观察下列有规律的一组等式：
2−25=85=4×25=225，即2−25=225；3−310=2710=9×310=3310，即3−310=3310．
(1)猜想：4−417=______，5−526=______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含n（n为正整数）的式子表示这一规律．
【变式8-2】（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）一组实数按下列规律排列：
1；2；3；2；5；6；7 第1行
8；3；10；11；12；13；14 第2行
15；4；17；18；19； 20；21 第3行
……
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______；
（2）实数2021排在第几行第几列？并说明理由．
【变式8-3】（2023春·广东佛山·七年级佛山市实验学校校考阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于−1，所以−1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2=−1，那么(±i)2=−1，因此−1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为(±2i)2=−4，所以−4的平方根是±2i；因为(±3i)2=−9，所以−9的平方根就是±3i．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求−16，−25的平方根；
（2）求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；
（3）求i+i2+i3+i4+⋅⋅⋅+i2022的值．a
．．．
0.0001
0.01
1
100
10000
．．．
a
．．．
0.01
x
1
y
100
．．．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17478" 【题型1 平方根的性质与数轴的综合】 PAGEREF _Tc17478 \h 1
\l "_Tc2873" 【题型2 根据平方根的性质求字母的值】 PAGEREF _Tc2873 \h 2
\l "_Tc14120" 【题型3 根据非负性的性质求值】 PAGEREF _Tc14120 \h 2
\l "_Tc21370" 【题型4 利用平方根的概念解方程】 PAGEREF _Tc21370 \h 3
\l "_Tc30424" 【题型5 根据平方根和算术平方根的概念求值】 PAGEREF _Tc30424 \h 3
\l "_Tc22959" 【题型6 估算算术平方根的取值范围】 PAGEREF _Tc22959 \h 4
\l "_Tc26756" 【题型7 求算术平方根的整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc26756 \h 4
\l "_Tc31591" 【题型8 有关算术平方根的探究规律题】 PAGEREF _Tc31591 \h 5
【知识点1 平方根和算术平方根】
平方根：
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型1 平方根的性质与数轴的综合】
【例1】（2023春·七年级单元测试）已知a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：a2+b2+(a−b)2+(b−1)2−(a−1)2．
【变式1-1】（2023春·湖北武汉·七年级校联考期中）如图，已知x2＝3，那么在数轴上与x对应的点可能是（ ）
A．P1B．P4
C．P2或P3D．P1或P4
【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）已知a，b在数轴上位置如图，化简(a−b)2−a2=_____．
【变式1-3】（2023春·辽宁辽阳·七年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（ ）
A．−7B．7−1C．1−7D．−2+7
【题型2 根据平方根的性质求字母的值】
【例2】（2023春·广东云浮·七年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为m+3和2m−15．
(1)这个正数是多少？
(2)m+21的算术平方根是多少？
【变式2-1】（2023春·河北廊坊·七年级校联考期中）如果实数m没有平方根，那么m可以是（ ）
A．−32B．−3C．−32D．−−3
【变式2-2】（2023春·上海虹口·七年级校联考期末）已知2023−n是正整数，则n的最大值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【变式2-3】（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）已知x=1−2a，y=3a−4．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【题型3 根据非负性的性质求值】
【例3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）已知3x−y−1 和2x+y−4 互为相反数，求x+4y的平方根.
【变式3-1】（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知x 、y，满足x−1+|y+2|=0，则x2−4y的平方根为________．
【变式3-2】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知y＝x−7+14−2x+9,则y+x的平方根是（ ）
A．3B．±3C．4D．±4
【变式3-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）已知(3−x)2−5与y−2+5互为相反数，则x+3y−1的值是（ ）
A．6B．5C．52D．2
【题型4 利用平方根的概念解方程】
【例4】（2023春·河南鹤壁·七年级校考期中）若x2−a2=x+2x−2，则a的值为（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【变式4-1】（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如果x−12=4，那么x的值是（ ）
A．4B．3或−1C．−1D．3
【变式4-2】（2023春·广西梧州·七年级统考期中）在公式y=(−1)2−8中，当y=1时，x的值为_______．
【变式4-3】（2023春·江西萍乡·七年级校考期中）求下列各式中x的值：
(1)9x2−25=0；
(2)42x−12=36
【题型5 根据平方根和算术平方根的概念求值】
【例5】（2023春·四川资阳·七年级校考期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【变式5-1】（2023春·广东江门·七年级校考期中）已知a+3=2，则a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式5-2】（2023春·福建莆田·七年级统考期末）已知x＝1-a，y＝2a-5．
（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；
（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．
【变式5-3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）已知正数x的平方根是m和m+n.
(1)当n=6时，求m的值；
(2)若m2x+(m+n)2x=32，求x-1的值.
【题型6 估算算术平方根的取值范围】
【例6】（2023春·七年级课时练习）估计56的大小应在（ ）
A．7.1～7.3之间B．7.3～7.5之间C．7.5～7.7之间D．7.7～7.9之间
【变式6-1】（2023春·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上表示数17的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式6-2】（2023春·贵州六盘水·七年级统考期末）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（ ）
A．−3B．7
C．11D．13
【变式6-3】（2023春·北京东城·七年级北京一七一中校考期中）请写出2与10间的一个整数________．
【题型7 求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例7】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式7-1】（2023春·全国·七年级专题练习）11的整数部分是______．小数部分是_______．
【变式7-2】（2023·浙江·七年级假期作业）已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是13的整数部分，求a+2b−c的平方根．
【变式7-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）（1）采用夹逼法，利用2的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为12=1,22=4，
所以1<2<2,
因为1.42=1.96，1.52=2.25，
所以1.4<2<1.5,
因为1.412=1.9881,1.422=2.0164，
所以1.41<2<1.42
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225，
所以1.414<2<1.415,
因此2≈1.41(精确到百分位)，
使用夹逼法，求出5的近似值(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号x表示数x的整数部分，例如34=0,2.4=2,
①按此规定10+2= ；
②如果3的整数部分是a,5的小数部分是b,求a−b的值．
【题型8 有关算术平方根的探究规律题】
【例8】（2023春·四川达州·七年级四川省渠县中学校考阶段练习）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
规律：
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
①已知10≈3.16，则1000≈ ；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a= ．
【变式8-1】（2023春·河南郑州·七年级郑州市第八中学校考期中）观察下列有规律的一组等式：
2−25=85=4×25=225，即2−25=225；3−310=2710=9×310=3310，即3−310=3310．
(1)猜想：4−417=______，5−526=______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含n（n为正整数）的式子表示这一规律．
【变式8-2】（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）一组实数按下列规律排列：
1；2；3；2；5；6；7 第1行
8；3；10；11；12；13；14 第2行
15；4；17；18；19； 20；21 第3行
……
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______；
（2）实数2021排在第几行第几列？并说明理由．
【变式8-3】（2023春·广东佛山·七年级佛山市实验学校校考阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于−1，所以−1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2=−1，那么(±i)2=−1，因此−1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为(±2i)2=−4，所以−4的平方根是±2i；因为(±3i)2=−9，所以−9的平方根就是±3i．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求−16，−25的平方根；
（2）求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；
（3）求i+i2+i3+i4+⋅⋅⋅+i2022的值．a
．．．
0.0001
0.01
1
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10000
．．．
a
．．．
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x
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