专题5.1 一元一次方程与等式的基本性质【十大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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\l "_Tc17147" 【题型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc17147 \h 1
\l "_Tc21728" 【题型2 列方程】 PAGEREF _Tc21728 \h 3
\l "_Tc4361" 【题型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc4361 \h 5
\l "_Tc2293" 【题型4 根据方程的解求值】 PAGEREF _Tc2293 \h 7
\l "_Tc22054" 【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 PAGEREF _Tc22054 \h 8
\l "_Tc24866" 【题型6 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Tc24866 \h 10
\l "_Tc29745" 【题型7 利用等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc29745 \h 13
\l "_Tc15340" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Tc15340 \h 17
\l "_Tc19250" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Tc19250 \h 19
【知识点1 方程的定义】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
【题型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2−5x−1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）
A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（ ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：x−1+2=3，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【题型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）
A．1−52%x=150B．x=150−52%x
C．(1+52%)x=150D．(1−52%)x=150
【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）
A．一个数的13是6B．x与1的差的14
C．甲数的2倍与乙数的13D．a与b的和的60%
【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 ．
【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x−5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【知识点2 一元一次方程的定义】
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x−3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是 ．
【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n= ．
【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．−7
【知识点3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型4 根据方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b= ．
【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m= ．
【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023x+1−1=b的解x= ．
【知识点4 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质判断变形正误】
【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2
C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8
【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3a+1=2b+1
【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号） ．
①a−2=b−2，②13a=12b，③−34a=−34b，④5a−1=5b−1．
【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（ ）
A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10
C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10
【题型6 利用等式的性质解方程】
【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)4x−2=2；
解：方程两边同时加上 ，得： ；
方程两边同时 ，得： ．
(2)12x+2=6．
【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程
（1）2x-5=x-5
（2）−13x−5=8
【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4
解：根据等式性质1，两边同时 ，
可得3−13x−3=4_________，
于是−13x=_________．
根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．
【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程
(1)4x−4=3(x+1)
(2)2y+13=7−y
【题型7 利用等式的性质比较大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【题型8 等式的性质在天平中的运用】
【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“△”按质量大小的顺序排列为（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．
【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）

A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】
（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．
理由：
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？记录
天平左边
天平右边
天平状态
乒乓球总质量
一次性纸杯的总质量
记录一
5个乒乓球，1个10克的砝码
15个一次性纸杯
平衡
5x
______
记录二
3个乒乓球
1个一次性纸杯
1个10克的砝码
平衡
3x
______
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
mx−n
9
6
3
0
−3
−9