专题5.2 一元一次方程的解法【十大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

这是一份专题5.2 一元一次方程的解法【十大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题52一元一次方程的解法十大题型培优专题浙教版原卷版docx、专题52一元一次方程的解法十大题型培优专题浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25768" 【题型1 同解问题】 PAGEREF _Tc25768 \h 1
\l "_Tc394" 【题型2 一元一次方程的整数解问题】 PAGEREF _Tc394 \h 3
\l "_Tc24360" 【题型3 一元一次方程的解与参数无关】 PAGEREF _Tc24360 \h 6
\l "_Tc18092" 【题型4 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc18092 \h 8
\l "_Tc30578" 【题型5 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 PAGEREF _Tc30578 \h 10
\l "_Tc13786" 【题型6 错看或错解一元一次方程问题】 PAGEREF _Tc13786 \h 13
\l "_Tc13412" 【题型7 探究一元一次方程解的情况】 PAGEREF _Tc13412 \h 16
\l "_Tc18356" 【题型8 一元一次方程的解法在新定义中的运用】 PAGEREF _Tc18356 \h 18
\l "_Tc27758" 【题型9 根据一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc27758 \h 22
\l "_Tc32749" 【题型10 含绝对值的一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc32749 \h 24
【知识点 一元一次方程的解法】
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【题型1 同解问题】
【例1】（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）已知关于x的一元一次方程2x+13−5x−16=1．
(1)求这个方程的解；
(2)若这个方程的解与关于x的方程3x+m=−x−1的解相同，求m的值．
【答案】(1)x=−3
(2)m=133
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）根据题意可知x=−3是方程3x+m=−x−1的解，把x=−3代入方程3x+m=−x−1中得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：2x+13−5x−16=1
去分母得：22x+1−5x−1=6，
去括号得：4x+2−5x+1=6，
移项得：4x−5x=6−1−2，
合并同类项得：−x=3，
系数化为1得：x=−3；
（2）解：由题意得x=−3是方程3x+m=−x−1的解，
∴3−3+m=−−3−1，
∴3m−9=4，
解得m=133．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·安徽亳州·七年级校考开学考试）当m＝ 时，方程5x+4=4x−3和方程2x+1−m=−2m−2的解相同．
【答案】16
【分析】先求出第一个方程的解，把x=−7代入第二个方程，再求出m的值即可．
【详解】解：解方程5x+4=4x−3得：x=−7，
∵方程5x+4=4x−3和方程2(x+1)−m=−2(m−2)的解相同，
∴方程2(x+1)−m=−2(m−2)的解也是x=−7，
把x=−7代入2(x+1)−m=−2(m−2)得：−12−m=−2(m−2)，
解得：m=16．
故答案为：m=16．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能求出关于m的方程−12−m=−2(m−2)是解此题的关键．
【变式1-2】（2023秋·宁夏银川·七年级校考期末）当m为何值时，方程−x+4+10x−3=−8的解，也是关于x的方程5x+3m3−mx−106=1的解．
【答案】m=−6
【分析】根据−x+4+10x−3=−8先求出x的值，然后把x的值代入5x+3m3−mx−106=1，求出m即可．
【详解】解：由方程−x+4+10x−3=−8可得
解得：x=2，
把x=2代入5x+3m3−mx−106=1得：10+3m3−2m−106=1
解得m=−6．
【点睛】本题考查了同解方程，掌握同解方程即为两个方程解相同的方程是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·江苏无锡·七年级校考期中）如果方程3x−42−7=2x+13−1 的解与关于x的方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求代数式a2＋a－1的值．
【答案】x=10；a=-4；11.
【分析】根据题意，可先求出方程3x−42−7=2x+13−1的解，再将x的值代入方程4x−3a＋1=6x＋2a−1中，解出a的值，代入代数式,求a2＋a−1的值即可．
【详解】由题意，先解方程3x−42−7=2x+13−1
33x−4−42=2（2x+1）−6
9x−12−42=4x+2−6
9x−4x=2−6+12+42
5x=50
x=10
因为两个方程的解相同，所以x=10满足方程4x−(3a＋1)=6x＋2a−1
将x=10代入方程4x−(3a＋1)=6x＋2a−1
得，4×10−(3a＋1)=6×10＋2a−1
40−3a−1=60＋2a−1
−3a−2a=60−1+1−40
−5a=20
a=−4
将a=−4代入a2＋a−1得，(−4)2+−4−1=11
【点睛】解题关键是根据同解方程求出a的值，再代入代数式求出代数式的值．需熟练掌握一元一次方程的解法．
【题型2 一元一次方程的整数解问题】
【例2】（2023秋·江西九江·七年级校考期中）已知关于x的方程x−5−ax6=x+46−1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8B．−8C．12D．−12
【答案】A
【分析】求得方程的解x=35+a，根据解是正整数，分类计算即可．
【详解】∵x−5−ax6=x+46−1，
∴6x−5+ax=x+4−6，
∴6x−x+ax=5+4−6，
∴x=35+a，
∵方程x−5−ax6=x+46−1的解是正整数，
∴5+a=1,5+a=3，
解得a=−4,a=−2
∴积为−4×−2=8，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）已知关于x的方程x−28−ax3=x2−1有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】−20
【分析】先根据等式的性质求出方程的解是x=502a+3，根据方程的解是负整数得出2a+3=−1或2a+3=−50或2a+3=−2或2a+3=−25或2a+3=−10或2a+3=−5，求出方程的解，再求出整数a，最后求出答案即可．
【详解】解：x−28−ax3=x2−1，
6x−228−ax=3x−6，
6x−3x+2ax=56−6，
2a+3x=50，
当2a+3≠0时，x=502a+3，
∵关于x的方程x−28−ax3=x2−1有负整数解，
∴2a+3=−1或2a+3=−50或2a+3=−2或2a+3=−25或2a+3=−10或2a+3=−5，
解得：a的值是−2，−532，−52，−14，−132，−4，
∵ a为整数，
∴a只能为−2，−14，−4，
∴整数a的值之和是−2+−14+−4=−20，
故答案为：−20．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
【变式2-2】（2023秋·福建三明·七年级统考期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−23B．23C．−34D．34
【答案】C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：x−2−ax6=x3−2
去分母，得6x−2−ax=2x−12
去括号，得6x−2+ax=2x−12
移项、合并同类项，得4+ax=−10
将系数化为1，得x=−104+a
∵ x=−104+a是非负整数解
∴a=−5或−6，−9，−14时，x的解都是非负整数
则−5+−6+−9+−14=−34
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·广东广州·七年级统考期末）已知代数式M=a−b−1x5−7x2+a+3bx−2是关于x的二次多项式．
(1)若关于y的方程3b−3ay=ky−5的解是y=1，求k的值．
(2)若关于y的方程3b−3ay=ky−5的解是正整数，求整数k的值．
【答案】(1)k=2
(2)k=−2或k=2
【分析】（1）根据代数式M为二次多项式，得到a−b−1=0，即b=a−1，把y=1与b=a−1代入方程，计算即可求出k的值；
（2）把b=a−1代入方程，表示出y，根据y为正整数，求出整数k的值即可．
【详解】（1）解：∵代数式M=a−b−1x5−7x2+a+3bx−2是关于x的二次多项式，
∴a−b−1=0，即b=a−1，
把y=1与b=a−1代入方程，得：3a−1−3a×1=k−5
解得：k=2；
（2）方程整理得：3b−3a−ky=−5，即y=−53b−3a−k=5k+3，
当k=−2时，y为正整数，当k=2时，y为正整数．
【点睛】此题考查了多项式的概念，一元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【题型3 一元一次方程的解与参数无关】
【例3】（2023秋·湖北十堰·七年级统考期中）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x＝2，则ab= ．
【答案】−4
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，b=−43，
∴ab=3×(−43)=−4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−3m2=2−4x−nk3的解总是x=3，则mn= ．
【答案】6
【分析】先去分母，把方程化为3x−2nk=12−8x+9m，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：kx−3m2=2−4x−nk3，
方程两边都乘6，去分母得
3(kx−3m)=12−2(4x−nk)，
整理得：3x−2nk=12−8x+9m，
∵无论k为何值，方程的解总是x=3，
∴9−2n=0，12−24+9m=0，
解得：n=92，m=43，
∴mn=92×43=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【变式3-2】（2023秋·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）如果a、b定值，且关于x的方程2kx+a3=2+x+bk6，无论k为何值时，它的解总是x=1，那么2a−b= ．
【答案】9.
【分析】根据解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可.
【详解】将x=1代入2kx+a3=2+x+bk6，
∴2k+a3=2+1+bk6，
∴4k+2a=12+1+bk，
∴4k−bk=13−2a，
∴k(4−b)=13−2a，
由题意可知：b−4=0，13−2a=0，
∴a=132，b=4，
∴2a−b=13−4=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，活用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键.
【变式3-3】（2023·湖北武汉·七年级统考期末）如果a，b为常数，关于x的方程kx−a2−1=2x−bk4不论k取何值时，它的解总是﹣1，则ab= ．
【答案】1
【分析】根据方程的解的定义，把x=-1代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值．
【详解】把x=−1代入kx−a2−1=2x−bk4得：
−k−a2−1=−2−bk4
整理，得
(b−2)k−2a−2=0，
∵无论k取何值时，它的根总是−1，
∴b−2=0，−2a−2=0，
解得：b=2，a=−1.
∴ab=(−1)2=1
故答案为1.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的运算法则.
【题型4 一元一次方程的遮挡问题】
【例4】（2023秋·山西运城·七年级统考期末）小聪解方程3x−12=2x+★时，发现★处一个常数被墨水污染了，答案显示此方程的解是x=−2，则这个常数是（ ）
A．2B．−2C．52D．−52
【答案】D
【分析】设这个常数为a，把x=2代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：设这个常数为a，即3x−12=2x+a，
把x=−2代入方程得−6−12=−4+a，
解得：a=−52，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式4-1】（2023秋·七年级课时练习）马小哈在解一元一次方程“☉x-3=2x+9”时,一不小心将墨水泼在作业本上了,其中有一个未知数x的系数看不清了,他便问邻桌,邻桌不愿意告诉他,并用手遮住解题过程,但邻桌的最后一步“所以原方程的解为x=-2”(邻桌的答案是正确的)露在手外被马小哈看到了,马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数,请你帮马小哈算一算,被墨水遮住的系数是多少?
【答案】-4
【详解】试题分析：
把x=2代入到原方程中，即可以求解.
试题解析：
设被墨水遮住的系数是m,
则方程为mx-3=2x+9,
将x=-2代入方程中,解得m=-4.
所以被墨水遮住的系数是-4.
【变式4-2】（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：6×12−■+2．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是43，请计算6×12−43+2．
(2)如果计算结果等于14，求被污染的数字．
【答案】(1)−3
(2)−32
【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，再根据有理数的乘法和加减法运算法则求解即可；
（2）列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：6×12−43+2
=6×12−6×43+2
=3−8+2
=−3；
（2）解：设■=x
根据题意，得6×12−x+2=14，
去括号，得3−6x+2=14，
移项、合并同类项，得−6x=9，
化系数为1，得x=−32，
即被污染的数字为−32．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元一次方程时解法步骤是解答的关键．
【变式4-3】（2023秋·江苏·七年级专题练习）小明同学在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−43，请帮他推算被染了的数字“■”应该是
【答案】5
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=−43代入方程得：
321−a+433=−43−13，
解得a=5，
即“■”表示的数为a=5，
故答案为：a=5．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
【题型5 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】
【例5】（2023秋·陕西渭南·七年级校考期中）已知方程92x+6=5+4x的解比关于x的方程7x−3a=0的解小1，则a的值为 ．
【答案】−73
【分析】先求92x+6=5+4x的解，得到方程7x−3a=0的解，代入计算即可．
【详解】解方程92x+6=5+4x，
解得x=−2，
∵方程92x+6=5+4x的解比关于x的方程7x−3a=0的解小1，
∴方程7x−3a=0的解为x=−1，
∴7×−1−3a=0，
解得a=−73，
故答案为：−73．
【点睛】本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键．
【变式5-1】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【答案】k=−1
【分析】先解方程2−3x+1=0得到x=−13，进而得到关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解为x=13，把x=13代入方程k+x2−3k−2=2x中求出k的值即可．
【详解】解：2−3x+1=0
去括号得：2−3x−3=0，
移项得：−3x=3−2，
合并同类项得，−3x=1，
系数化为1得：x=−13，
∵方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，
∴关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解为x=13
∴k+132−3k−2=23，
解得k=−1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）当x=3时，多项式6x−3a的值比4x−12的值大3，那么a的值为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【分析】先根据多项式6x−3a的值比4x−12的值大3，列出方程6x−3a=4x−12+3，然后把x=3代入，得到关于a的方程，再解方程即可求解．
【详解】解：由题意得6x−3a=4x−12+3，
把x=3代入，得18−3a=12−12+3，
解得：a=5，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
【变式5-3】（2023秋·广东广州·七年级统考期末）（1）已知|x﹣3|+（y+1）2＝0，代数式2y−x+t2的值比y﹣x+t多1，求t的值．
（2）m为何值时，关于x的一元一次方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍．
【答案】（1）t=1；（2）m=-14．
【分析】（1）先根据|x-3|+（y+1）2=0，求出x，y的值，再根据代数式2y−x+t2的值比y-x+t多1列出方程，把x，y的值代入解出x的值；
（2）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出m的值即可．
【详解】解：（1）∵|x-3|+（y+1）2=0，而|x-3|≥0，（y+1）2≥0，
∴x-3=0，y+1=0，
∴x=3，y=-1，
∵代数式2y−x+t2的值比y-x+t多1，
∴2y−x+t2-( y-x+t) =1，
即−2−3+t2+1+3-t=1，
解得：t=1；
（2）方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
由题意得：2m-1=6m，
解得：m=-14．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型6 错看或错解一元一次方程问题】
【例6】（2023秋·福建·七年级统考阶段练习）小明在解关于x的方程2−x−43=3a−2x时，误将“−2x”看作“+2x”，得到方程的解为x=1，则此方程正确的解为（ ）．
A．x=−75B．x=−57C．x=−95D．x=−59
【答案】A
【分析】把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值，把a的值代入方程，求出解即可．
【详解】解：把x=1代入2−x−43=3a+2x得：2+1=3a+2，
解得：a=13；
把a=13代入原方程得：2−x−43=3×13−2x，
去分母得：6-（x-4）=3-6x，
去括号得：6-x+4=3-6x，
移项得：-x+6x=3-6-4，
合并同类项得：5x=-7，
解得：x=−75，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【变式6-1】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读解题过程，解答后续问题
解方程3(x−2)+1=2x−(3x−4)
解：原方程的两边分别去括号，得
3x−6+1=2x−3x−4 ①
即3x−5=−x−4 ②
移项，得3x−x=5−4 ③
即2x=1 ④
两边都除以2，得x=12 ⑤
(1)指出以上解答过程哪一步出错，并给出正确解答；
(2)结合平时自身实际，请给出一些解一元一次方程的注意事项．
【答案】(1)第①步和第③步出错，正确解答见解析
(2)解方程时应该注意解方程的一般步骤：移项时注意变号，去括号时也注意遵循去括号的法则（答案不唯一）
【分析】（1）根据解方程的步骤可知第①步和第③步出错，第①步去括号没有变号，第③步移项没有变号；
（2）根据解一元一次方程时去括号、移项的步骤的注意点解答．
【详解】（1）第①步和第③步出错，正确解答如下：
原方程的两边分别去括号，得：3x−6+1=2x−3x+4，
即3x−5=−x+4，
移项，得3x+x=5+4，
即4x=9，
两边都除以4，得x=94；
（2）解方程时应该注意解方程的一般步骤：移项时注意变号，去括号时也注意遵循去括号的法则(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
【变式6-2】（2023秋·四川广元·七年级校考阶段练习）亮亮在解关于x的方程ax−12+6=2+x3时，把6错写成1，解得x=1，并且亮亮的解题过程没有错误，则此方程正确的解为 ．
【答案】x=-29
【分析】将x=1代入方程ax−12+6=2+x3求得a的值，然后解方程即可．
【详解】∵解关于x的方程ax−12+6=2+x3时，把6错写成1，解得x=1，
∴把x=1代入ax−12+1=2+x3，
解得：a=1，
所以原方程变为x−12+6=2+x3，
解得：x=﹣29．
故答案为：x=﹣29．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是通过错写的值求a的值．
【变式6-3】（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）下面是明明解方程2x−14=−1−3−x8的过程：
解：去分母得：22x−1=−8−3−x（第一步），
去括号得：4x−2=−11+x（第二步），
移项得：4x+x=−11−2（第三步），
合并同类项得：5x=−13（第四步），
系数化为1得：x=−135（第五步），
根据解答过程完成下列任务．
任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是_________；②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；
任务二：请你写出解方程的正确过程；
任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_________．
【答案】任务一：等式的性质，三，移项没有变号；任务二：见解析；任务三：去分母注意不要漏乘，去括号要注意符号，养成口头检验的习惯等
【分析】任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果；
任务二：根据解一元一次方程的步骤解答即可；
任务三：答案不唯一，建议只要合理即可．
【详解】解：任务一：第一步的变形依据是：等式的性质；②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号；
任务二：2x−14=−1−3−x8，
去分母得：22x−1=−8−3−x，
去括号得：4x−2=−11+x，
移项得：4x−x=−11+2，
合并同类项得：3x=−9，
系数化为1得：x=−3；
任务三：去分母注意不要漏乘，去括号要注意符号，养成口头检验的习惯等．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键．
【题型7 探究一元一次方程解的情况】
【例7】（2023秋·七年级课时练习）求关于x的方程2x﹣5+a=bx+1，
（1）有唯一解的条件；
（2）有无数解的条件；
（3）无解的条件．
【答案】答案见解析.
【详解】试题分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论．
试题解析：解：将原方程移项得2x﹣bx=1﹣a+5
合并同类项得：（2﹣b）x=﹣a+6．
（1）当2﹣b≠0，即b≠2时，方程有唯一解：x=a−6b−2；
（2）当2﹣b=0且﹣a+6=0时，即b=2且a=6时，方程有无数个解；
（3）当2﹣b=0且﹣a+6≠0时，即b=2且a≠6时，方程无解．
点睛：本题主要考查了解一元一次方程，需要注意的是该题采用逆向思维，解答时需要认真思考所给条件．
【变式7-1】（2023春·上海杨浦·七年级校考期中）已知关于x的方程2ax−1−5−ax=3b有无数多个解，求常数a、b的值．
【答案】a=53，b=−109
【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得a的值，进而得出b的值．
【详解】解：化简得：2ax−2a−5x+ax=3b，
即：3a−5x=2a+3b，
根据题意得：3a−5=0
解得：a=53，
∴2a+3b=0
∴b=−109．
【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·全国·七年级开学考试）已知关于x的方程ax=b，当a≠0，b取任意实数时，方程有唯一解；当a=0，b=0时，方程有无数解；当a=0，b≠0时，方程无解．若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为（ ）
A．1B．−1C．0D．±1
【答案】A
【分析】将a3x=x2−x−66进行去分母、移项、合并同类项得2a−2x=6，根据该方程无解并结合题意即可求解．
【详解】解：a3x=x2−x−66
2ax=3x−x+6
2ax=2x+6
2ax−2x=6
2a−2x=6，
∵方程无解，
∴2a−2=0，
解得a=1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的无解问题，理解题意是解决本题的关键．
【变式7-3】（2023·全国·七年级假期作业）一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数）的方程，称为一元一次方程的最简形式．
关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：
当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x=ba；
当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；
当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．
讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．
【答案】当a≠4 时，有唯一解x=2a−4，当a＝4 时，无解．
【分析】分a-4＝0即a＝4和a-4≠0即a≠4两种情况分别求解可得．
【详解】根据题意，当a-4≠0时，即a≠4，有唯一解x=2a−4，
当a-4＝0时，即a＝4，此时无解．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
【题型8 一元一次方程的解法在新定义中的运用】
【例8】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）已知x0是关于x的方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程cy+d=0c≠0的解，若x0，y0是满足x0−y0≤1，则称方程ax+b=0a≠0与方程cy+d=0c≠0互为“阳光方程”；例如：方程4x+2x−6=0的解是x0=1，方程3y−y=3的解是y0=1.5，因为x0−y0=0.51
根据阳光方程的定义可得：方程3x−3+4x−1=0与方程−2y−y=3不是互为阳光方程；
（2）由12022x−m=2x−5可得x−2022m=4044x−10110
解得x=10110−2022m4043，
由y+7×2022−1=4044y+2022m可得，y=7×2022−1−2022m4043
x−y=10110−2022m4043−7×2022−1−2022m4043=2×2022−14043=1≤1
根据阳光方程的定义可得：关于x的方程12022x−m=2x−5与关于y的方程y+7×2022−1= 4044y+2022m是互为阳光方程；
（3）由3x−3+4x−1=0可得x=1，
由3y+k2−y=2k+1可得y=3k+2
由题意可得：x−y≤1，即3k+1≤1，即−1≤3k+1≤1
解得−23≤k≤0，
k的最大值为0，最小值为−23．
【点睛】此题是新定义题，考查了一元一次方程的求解，绝对值不等式的求解，解题的关键是准确理解题意，正确求出各方程的解以及不等式的解集．
【变式8-1】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）对于任意实数a、b定义一种新运算“⊗”如下： a⊗b=2a+b2，例如2⊗3=2×2+32=13
(1)求4⊗−2的值；
(2)若x⊗4=2x⊗1，求x．
【答案】(1)12
(2)x=152
【分析】（1）按照新定义运算公式将数据代入即可计算；
（2）将x⊗4=2x⊗1等号两边的数据代入新运算公式中，形成关于x的一元一次方程，解方程，即可求出x的值．
【详解】（1）解：∵a⊗b=2a+b2，
∴ 4⊗−2=2×4+−22=12．
故答案为：12．
（2）解：∵a⊗b=2a+b2，
∴x⊗4=2x+16，2x⊗1=4x+1，
∵x⊗4=2x⊗1，
∴2x+16=4x+1，
∴−2x=−15，
∴x=152．
故答案为：x=152．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，解题的关键在于理解新运算公式以及解方程的重要步骤．
【变式8-2】（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=2a−ab，如1⊕−3=2×1−1×−3=5
(1)求−2⊕3的值；
(2)若−3⊕x=x+1⊕5，求x的值；
【答案】(1)2
(2)x=12
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程2×−3−−3x=2x+1−5x+1，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，−2⊕3=2×−2−−2×3=−4−−6=2；
（2）解：∵−3⊕x=x+1⊕5，
∴2×−3−−3x=2x+1−5x+1，
∴−6+3x=2x+2−5x−5，
解得x=12．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．
例如：2x=2的解为x=1；x+2=1的解为x=−1，所以这两个方程为“友好方程”．
(1)若关于x的一元一次方程x+2m=0与3x−2=−x是“友好方程”，则m= ．
(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为x=k，求k的值．
(3)若关于x的一元一次方程12023x−1=0和12023x−5=2x+a是“友好方程”，则关于y的一元一次方程12023y−1−5=2y+a−2的解为 ．
【答案】(1)14；
(2)32或−32；
(3)−2022
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为x=k，x=−k，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；
（3）求得方程12023x−1=0的解，利用“友好方程”的定义得到方程12023x−5=2x+a的解，将关于y的一元一次方程12023y−1−5=2y+a−2变形，利用同解方程的定义即可得到y−1的值，从而求得方程的解；
【详解】（1）解：∵方程x+2m=0的解为x=−2m，
方程3x−2=−x的解为x=12，
而方程x+2m=0与3x−2=−x是“友好方程”，
∴−2m+12=0，
∴m=14；
故答案为：14；
（2）解：∵“友好方程”的一个解为x=k，则另一个解为−k，
依题意得k+k=3或−k−k=3，
解得k=32或k=−32，
故k的值为32或−32；
（3）解：方程12023x−1=0的解为x=2023，
∵关于x的一元一次方程12023x−1=0和12023x−5=2x+a是“友好方程”，
∴关于x的方程12023x−5=2x+a的解为x=−2023，
∵关于y的一元一次方程12023y−1−5=2y+a−2变形得12023y−1−5=2（y−1）+a，
∴y−1=x=−2023，
∴y=−2022，
∴关于y的一元一次方程12023y−1−5=2y+a−2的解为：y=−2022，
故答案为：−2022．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
【题型9 根据一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】
【例9】（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程2022x+a2023+2023=x+b的解是x=2023，则关于y的一元一次方程y−2024=2022y+a−20222023−b的解为y=（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得b=2022+a2023，关于y的方程化简为y−2=2022y−20222023，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程2022x+a2023+2023=x+b的解是x=2023，
即x−2023=2022x+a2023−b的解是x=2023，
∴b=2022+a2023
∴y−2024=2022y+a−20222023−(2022+a2023)，
∴y−2=2022y−20222023，
即2023y−4046=2022y−2022
解得：y=2023，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）已知k≠0，关于x的方程kx+b=0的解为x=4，则关于y的方程k(3y+2)+b=0的解为 ．
【答案】y=23
【分析】将3y+2看作一个整体，根据kx+b=0的解为x=4可得3y+2=4，然后即可求出y．
【详解】解：∵关于x的方程kx+b=0的解为x=4，
∴关于y的方程k(3y+2)+b=0中可得3y+2=4，
解得：y=23，
故答案为：y=23．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根据方程的解得出3y+2=4是解题的关键．
【变式9-2】（2023秋·福建福州·七年级校考期末）关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，现给出另一个关于x的方程2a(x−1)=(a+1)(x−1)+6，则它的解是 ．
【答案】2
【分析】根据方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，求得a，把a的值代入，转化为新的一元一次方程，求解即可
【详解】∵方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，
∴2a=a+1+6，
解得a=7，
∴方程2a(x−1)=(a+1)(x−1)+6变形为：14（x-1）=8（x-1）+6，
∴6（x-1）=6，
∴x-1=1，
∴x=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，灵活运用方程的解代入求值，转化为新方程求解是解题的关键．
【变式9-3】（2023秋·江苏盐城·七年级校联考期中）已知以x为未知数的一元一次方程x2019+2020m=2021x的解为x=2，那么以y为未知数的一元一次方程2020−y2019−2020m=20212020−y的解为 ．
【答案】2022．
【分析】根据方程x2019+2020m=2021x的解为x=2，求得ｍ的值，代入2020−y2019−2020m=20212020−y中计算即可．
【详解】∵一元一次方程x2019+2020m=2021x的解为x=2，
∴22019+2020m=2021×2，
∴2020m=2021×2-22019，
∵2020−y2019−2020m=20212020−y，
∴2020−y2019−2021×2+22019=20212020−y，
整理，得
(2019×2021-1)y=2022×(2019×2021-1)，
∴y=2022，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，熟练掌握方程解的定义，运用整体变形代入是解题的关键．
【题型10 含绝对值的一元一次方程的解法】
【例10】（2023秋·江西宜春·七年级校考期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：x+3=2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=−1；
当x+3