专题5.9 一元一次方程章末八大题型总结（拔尖篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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\l "_Tc8882" 【题型1 解含参数的一元一次方程】 PAGEREF _Tc8882 \h 1
\l "_Tc24836" 【题型2 换元法、整体代入法解一元一次方程】 PAGEREF _Tc24836 \h 1
\l "_Tc6785" 【题型3 解含绝对值的一元一次方程】 PAGEREF _Tc6785 \h 2
\l "_Tc21405" 【题型4 利用一元一次方程解决规律问题】 PAGEREF _Tc21405 \h 2
\l "_Tc28349" 【题型5 一元一次方程中的动点问题】 PAGEREF _Tc28349 \h 4
\l "_Tc9330" 【题型6 一元一次方程中的数形结合问题】 PAGEREF _Tc9330 \h 5
\l "_Tc7879" 【题型7 一元一次方程的新定义问题】 PAGEREF _Tc7879 \h 7
\l "_Tc2910" 【题型8 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc2910 \h 8
【题型1 解含参数的一元一次方程】
【例1】已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A．b=−y−1,c=y+1B．b=1−y,c=y−1
C．b=y+1,c=−y−1D．b=y−1,c=1−y
【变式1-1】已知关于x的方程kx−2x=5的解为正整数，则整数k的值为 ．
【变式1-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x＝2，则ab= ．
【变式1-3】已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−23B．23C．−34D．34
【题型2 整体代入法解一元一次方程】
【例2】已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，那么关于的y一元一次方程12020(y−1)=2y+b−5解为 ．
【变式2-1】在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程32x−1−3(2x−1)+3=5时，把2x−1看作一个整体．
令a=2x−1，得：3a−(3a+3)=5，
去括号，得：3a−9a−9=5，
合并同类项，得：−6a=14，
系数化为1，得：a=−73，
故2x−1=−73，解得x=−23．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：42(x+2)−12(2x+4)+5=1.
【变式2-2】在解方程3x+1−13x−1=2x−1−12x+1时，可先将x+1，x−1分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程72x+1=73(x−1)，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：
(1)7x+3+4=24−3x+3；
(2)52x+3−34x−2=2x−2−122x+3．
【变式2-3】当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12+2bx−34=x4的解是 _____．
【题型3 解含绝对值的一元一次方程】
【例3】若关于x的方程x−2−1=a有三个整数解，则a的值是( )
A．0B．1C．2D．3
【变式3-1】方程x−3x+1=2的解为x= ．
【变式3-2】设y1=2+x，y2=2−x，当y1=y2时，x的取值范围是 ．
【变式3-3】解方程：|3x+1|−|1−x|=2．
【题型4 利用一元一次方程解决规律问题】
【例4】如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
(1)2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；
(2)根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）
(3)一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．
【变式4-1】观察下面有规律排列的三行数：

(1)第一行数中，第7个数是______，第8个数是______
(2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题：
①第二行数中，第7个数是______，第三行数中，第7个数是______；
②取每行数的第2022个数，计算这三个数的和是______；
③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为−5118，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由．
【变式4-2】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：
(1)将上表补充完整，
(2)按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；
(3)写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解．
【变式4-3】某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．

(1)第4个图案L4有白色地砖__________块地砖；第n个图案Ln有白色地砖__________块地砖（用含n的代数式表示）；
(2)已知L1的长度为3米，L2的长度为5米，…，Ln的长度为2023米，求图案Ln中白色正方形地砖有多少块．
【题型5 一元一次方程中的动点问题】
【例5】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．

(1)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
(2)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
(3)当点P在所有运动过程中，连接PC或PB，求当t为何值时，△BCP的面积为12？
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其2中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（ ）

A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒
【变式5-2】如图，在长方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，点P以每秒1cm的速度沿长方形的边运动，方向为A→B→C最终到达点C停止，设点P运动的时间为t秒；

(1)试用含t的式子表示线段BP的长；
(2)求出当t为何值时，三角形AEP的面积等于5cm2．
【变式5-3】如图，在长方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，当点P运动到点C时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间是ts．

(1)当点P在AB上运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度AP=_________ BQ=_________ PB= _________
(2)当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=BQ？
(3)点P能否追上点Q？如果能，求出t的值：如果不能，说明理由．
【题型6 一元一次方程中的数形结合问题】
【例6】如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是－20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止．（点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒）

(1)在点M到达B点前，
①经过______秒M、N之间间隔6个单位长度：
②经过______秒原点刚好位于M、N的最中间；
③经过______秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离（即BM=AN）；
(2)当动点M到达点B后，点N开始改变速度以a个单位长度/秒的速度继续运动，4秒后，M、N两点之间相距4个单位长度，求a的值．
【变式6-1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是________，当t=2s时，点P表示的数是________；
(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【变式6-2】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−8、3、9、13．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒1个単位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为tt>0秒．

(1)点A与原点O的距离是______．
(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是______（用含t的代数式表示）．
(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．
(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，直接写出t的值．
【变式6-3】将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示−10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．

(1)动点P从点A运动至点C需要 秒，动点Q从点C运动至点A需要 秒；
(2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
(3)是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型7 一元一次方程的新定义问题】
【例7】已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．
（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；
（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（12cd+32c2-d）的值；
（3）若|m-n|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x−92=9×2020﹣2020t+x，与4040x+4＝8×2021﹣2020t﹣x，是否为“差半点方程”，并说明理由．
【变式7-1】定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
(1)判断当k=1时是否为方程x+42+1=kx的“友好系数”，写出判断过程；
(2)方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．
【变式7-2】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①12x=−12；②−3x=94；③5x=−2．
(2)已知关于x的一元一次方程2x+2=−m是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和−3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5−4m+4n的值．
【变式7-3】在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x0=98，方程y+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1，x0+y0=99，所以y+1=2=2为一元一次方程3x−2x−98=0的“久久方程”．
(1)已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3x−1=2x+98的“久久方程”？请直接写出正确的序号________．
(2)若关于y的方程2y−2+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4=a+34的“久久方程”，请求出a的值．
(3)若关于y的方程ay−49+a+b=ay+650是关于x的一元一次方程ax+50b=55a的“久久方程”，求出a+bb的值．
【题型8 一元一次方程的应用】
【例8】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．
(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？
(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．
①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？
②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？
【变式8-1】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3ℎ，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A港和B港相距 km．
【变式8-2】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【变式8-3】小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定：
另外：每立方米收污水处理费1元．
(1)11月小真家用水10立方米，交费 ___________元；小善家用水26立方米，交费 ___________元．
(2)幸福小区某个家庭用水量记为x18≤x≤40立方米，请列式表示应交费___________元？
(3)已知小美家12月份缴水费204元，他家12月用水多少立方米？序号
方程
方程的解
①
2x−2−3x−1=1
x=−2
②
2x−2−3x−2=2
x=0
③
2x−2−3x−3=3
x=______
④
2x−2−3x−4=4
x=_____
…
…
…
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
用水量（立方米）
0～18
18～40的部分
40以上的部分
费用（元/立方米）
3
3.5
4.5