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专题6.3 线段的长短比较【十大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题6.3 线段的长短比较【十大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题63线段的长短比较十大题型培优专题浙教版原卷版docx、专题63线段的长短比较十大题型培优专题浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11314" 【题型1 线段中点的有关计算】 PAGEREF _Tc11314 \h 1
\l "_Tc28618" 【题型2 线段的和差】 PAGEREF _Tc28618 \h 4
\l "_Tc6462" 【题型3 线段的数量关系】 PAGEREF _Tc6462 \h 8
\l "_Tc20378" 【题型4 简单线段的长短比较】 PAGEREF _Tc20378 \h 11
\l "_Tc9739" 【题型5 两点间的距离】 PAGEREF _Tc9739 \h 15
\l "_Tc16662" 【题型6 线段n等分点的有关计算】 PAGEREF _Tc16662 \h 18
\l "_Tc13323" 【题型7 与线段的长短比较有关的应用】 PAGEREF _Tc13323 \h 22
\l "_Tc29019" 【题型8 线段中的动点问题】 PAGEREF _Tc29019 \h 26
\l "_Tc3985" 【题型9 尺规作线段】 PAGEREF _Tc3985 \h 31
\l "_Tc10352" 【题型10 线段中的对折问题】 PAGEREF _Tc10352 \h 33
【知识点 比较线段的长短】
（1）两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
【题型1 线段中点的有关计算】
【例1】（2023春·山东烟台·七年级统考期中）已知线段AB=12cm，点C为直线AB上一点，且AC=4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm
【答案】D
【分析】分两种情况考虑：点C在线段AB上，点C以线段BA的延长线上；利用中点的意义及线段的和差关系即可求得线段AD的长．
【详解】①当点C在线段AB上时，如图
则BC=AB−AC=12−4=8cm
∵点D为线段BC的中点
∴CD=12BC=4cm
∴AD=AC+CD=4+4=8cm
②点C以线段BA的延长线上时，如图
则BC=AB+AC=12+4=16cm
∵点D为线段BC的中点
∴CD=12BC=8cm
∴AD=CD−AC=8−4=4cm
综上所述，AD的长为4cm或8cm
故选：D
【点睛】本题考查了中点的含义、线段的和差运算，注意分类讨论．
【变式1-1】（2023秋·福建三明·七年级统考期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，则CB的长为 ．
【答案】5
【分析】由线段和差关系可求DE，AB，由中点的性质可求解．
【详解】解：∵AD+BE+DE=AB，AE+BD−DE=AB，
∴8+DE=AB，12−DE=AB，
∴DE=2，AB=10，
∵C是AB的中点，
∴CB=12AB=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段和差与中点的性质和应用，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键．
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：
(1)求AD的长度；
(2)求DE的长度；
(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．
【答案】(1)6cm
(2)4cm
(3)26cm或14cm
【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案；
（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE−AD即为DE的长；
（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解：由线段中点的性质AD=12AC=12×12=6cm；
（2）由线段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20cm，
由线段中点的性质，得AE=12AB=12×20=10cm，
由线段的和差，得DE=AE−AD=10−6=4cm；
（3）当M在点B的右侧时，AM=AB+MB=20+6=26cm，
当M在点B的左侧时，AM=AB−MB=20−6=14cm，
∴AM的长度为26cm或14cm．
【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．
【变式1-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+⋅⋅⋅+M2023N2023=（ ）
A．10+522022B．10+522023C．10−522022D．10−522023
【答案】C
【分析】根据MN=10，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，找到MnNn的规律即可求出M1N1+M2N2+⋅⋅⋅+M2023N2023的值．
【详解】解：∵MN=10，M1、N1分别为AM、AN的中点，
∴M1N1=AM1−AN1=12AM−12AN=12AM−AN=12MN=12×10=5，
∵M2、N2分别为AM1、AN1的中点，
∴M2N2=AM2−AN2=12AM1−12AN1=12AM1−AN1=12M1N1=12×5=52，
∵M3、N3分别为AM2、AN2的中点，
∴M3N3=AM3−AN3=12AM2−12AN2=12AM2−AN2=12M2N2=12×52=522，
……
由此可得：MnNn=52n−1，
∴M1N1+M2N2+⋯+M2023N2023=5+52+522+⋯+522022=10×12+122+⋯+122023=10×1−122023=10−522022，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
【题型2 线段的和差】
【例2】（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC−BD=2MC−DN；④2MN=AB−CN．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM=MD=12AD，CN=BN=12BC，
∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴AD=12AD+BD，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD=3BD，即AB=3BD，故①符合题意；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴12AD=12BC，
∴AM=BN，故②符合题意；
∵AC−BD=AD−CD−BD=AD−CD+BD=AD−BC，
∴AC−BD=2MD−2CN=2MD−CN=2MC+CD−CD−DN=2MC−DN ，故③符合题意；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD−CD，
∴2MN=2MD−CD+2CN=2MD+CN−CD，
∵MD=12AD，CN=12BC，
∴2MN=212AD+12BC−CD
=AD−CD+BC−CD
=AC+BD
=AB−CD，故④不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．
【变式2-1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）两根木条，一根长10cm，另一根长8cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm．
【答案】1或9
【分析】设AC=8cm，AB=10cm，根据题意分两种情况：①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E是AC的中点，点D是AB的中点，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AE+AD即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E是AC的中点，点D是AB的中点，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AD−AE即可得出答案．
【详解】解：设AC=8cm，AB=10cm，根据题意，
①如图1，
∵点E是AC的中点，点D是AB的中点，
∴AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，
∴ED=AE+AD=4+5=9cm；
②如图2，
∵点E是AC的中点，点D是AB的中点，
∴AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，
∴ED=AD−AE=5−4=1cm．
综上所述，两根木条的中点之间的距离为1cm或9cm．
故答案为：1或9．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法．熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023秋·江苏南京·七年级校考期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=26cm，BC=6cm．
(1)图中共有 条线段？
(2)求AC的长．
(3)若点E在直线AD上，且EA=8cm，求BE的长．
【答案】(1)6
(2)14cm
(3)12cm或28cm
【分析】（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；
（2）先根据线段中点的定义求出CD=12cm，则AC=AD−CD=14cm；
（3）分当点E在线段AD上时，当点E在线段DA的延长线上时，两种情况求出CE的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有：AC，BC，BD，AB，CD，AD一共6条，
故答案为：6；
（2）解：∵BC=6cm，点B为CD的中点，
∴CD=2BC=12cm，
∵AD=26cm，
∴AC=AD−CD=14cm；
（3）解：如图1所示，当点E在线段AD上时，
∵AC=14cm，AE=8cm，
∴CE=AC−AE=6cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=12cm；
解：如图2所示，当点E在线段DA的延长线上时，
∵AC=14cm，AE=8cm，
∴CE=AC+AE=22cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=28cm；
综上所述，BE的长为12cm或28cm．
【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的线段计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）已知B、C在线段AD上．
(1)如图，图中共有 条线段，AD＝ ＋ － ；
(2)如图，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的长度．
【答案】(1)6；AC,BD,BC
(2)AD=35
【分析】（1）根据线段的定义可求出线段的数量；根据线段的和差可可解决与AD有关的数量关系；
（2）设AD=x，表示出AB、AC，根据BC=18列方程求解即可．
【详解】（1）图中线段有：AB,AC,AD,BC,BD,CD共6条；
AD=AC+BD−BC．
故答案为：6；AC,BD,BC．
（2）设AD=x
因为AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1
所以AB=25+2BD=27x，AC=44+1BD=45x
因为AC−AB=BC，BC=18
所以45x−27x=18
解得x=35
所以AD=35．
【点睛】本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
【题型3 线段的数量关系】
【例3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段AB上一点，若AM=14AB，点N是直线AB上的一动点，且AN−BN=MN，则MNAB= ．
【答案】1或12
【分析】分两种情况：当点N在线段AB上，当点N在线段AB的延长线上，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：当点N在线段AB上，如图：
∵AN−BN=MN，AN−AM=MN，
∴BN=AM，
∵AM=14AB，
∴BN=14AB，
∴MN=AB−AM−BN=12AB，
∴MNAB=12；
当点N在线段AB的延长线上，如图：
∵AN−BN=MN，AN−BN=AB，
∴AB=MN，
∴MNAB=1，
综上所述：MNAB的值为1或12，
故答案为：1或12．
【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·江苏·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD−2BC，则AC与BD的关系是（ ）
A．AC=BDB．2AC=BDC．3AC=2BDD．4AC=3BD
【答案】C
【分析】先分别表示出AC和BD，即可求出两者的关系．
【详解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，
BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，
∴ACBD=2BC−AD3BC−AD=23，
∴3AC=2BD，
故选：C．
【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣DBB．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣ABD．AB﹣CD＝AC﹣BD
【答案】D
【分析】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，
∴CD＝BC﹣BD＝12AB﹣BD＝AC﹣BD；
∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；
∵CD＝AD﹣AC，
∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；
∴选项A、B、C均正确．
而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；
∴答案D错误符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期中）如图1，
AB是一条拉直的细绳，C,D两点在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．则
（1）CD:AD= ；
（2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为 ．
【答案】 1∶3 2∶3∶5
【分析】（1）根据题意AC:BC=2:3，可得AC:AB=2:5，AC=25AB；根据AD:BD=3:7，可得AD:AB=3:10，AD=310AB；CD=AC−AD=110AB，CD:AD就是110AB:310AB，计算求出答案即可．
（2）设对折后点D关于C点对称处为D′，被剪断两处分别是点D和D′，剪开的三段细绳依次是AD、DD′、D′B，根据对折性质DD′=2DC，D′B=CB−CD′，把AD、DD′、D′B的长度写成关于AB的值，比较大小后代入计算即可．
【详解】解：（1）∵AC:BC=2:3，AC+CB=AB，
∴AC:AB=2:(2+3)=2:5，
∴AC=25AB；
∵AD:BD=3:7，AD+DB=AB，
∴AD:AB=3:(3+7)=3:10，
∴AD=310AB；
∵CD=AC−AD=25AB−310AB=110AB，
∴CD:AD=110AB:310AB=1:3．
（2）设对折后点D关于C点对称处为D′，
被剪断两处分别是点D和D′，剪开的三段细绳依次是AD、DD′、D′B，
∵根据上题，AD=310AB；
DD′=2DC=2×110AB=15AB；
D′B=CB−CD′=CB−CD=35AB−110AB=12AB；
∴DD′∴DD′:AD:D′B=15AB:310AB:12AB=2:3:5．
故答案为：（1）1∶3（2）2∶3∶5．
【点睛】本题考查了线段的和与差，根据比值，将每一段的长度表示成总长度的几分之几，用代数的方法代入计算是解题关键．
【题型4 简单线段的长短比较】
【例4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：①为折线段ABCDEFG，②为折线段AIG，③为折线段AJHG．三条路的长依次为a、b、c，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＝b＞cC．a＞c＞bD．a＝b＜c
【答案】B
【详解】观察图形,可知:①②相等,③最短,
a、b、c的大小关系是:a=b>c.故选B.
【点睛】本题考查线段长短的度量、比较, 根据平移的性质,两点间线段距离最短,认真观察图形,可知①②都是相当于走直角线,故①②相等,③走的是两点间的线段,最短.
【变式4-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知三角形ABC，下列比较线段AC和AB长短的方法中，可行的有（ ）
①用直尺度量出AB和AC的长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，若点B在线段AC上，ABAC；③沿点A折叠，使AB和AC重合，若点B在线段AC上，ABAC．
【详解】比较线段AC和AB长短的方法有：
①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；
②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置，若点B在线段AC上，ABAC；
③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置，若点B在线段AC上，ABAC．
共3个方法．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比较三角形两边长短的方法，熟练掌握度量法，叠合法，是解决问题的关键，其中叠合法包括叠放法，折叠法．
【变式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，B，C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，
(1)图中以C为端点的线段共有______条.
(2)若AB=CD，
①比较线段的长短：AC______BD；AN______DM（填：“>”、“=”或“<”）
②若AD=21，AB:BC=2:3，求MN的长度.
【答案】(1)5
(2)①=；=；②15
【分析】（1）除C点外还有5个端点，即以C为端点的线段有5条；
（2）①根据题意有AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，即有AB+BC=CD+BC，AM=MB=CN=ND，即有AC=BD，AD−ND=AD−AM，问题随之得解；②设AB=2x，BC=3x，则CD=2x，依题意，得2x+3x+2x=21，即可得AB=6，BC=9，CD=6，根据①：AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，即可求解．
【详解】（1）∵除C点外还有5个端点，
∴以C为端点的线段有5条，
故答案为：5；
（2）①∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，AM=MB=CN=ND，
∴AC=BD，AD−ND=AD−AM，
∴AN=DM，
故答案为：＝，＝；
②设AB=2x，BC=3x，则CD=2x，
依题意，得2x+3x+2x=21，
解得x=3，
故AB=6，BC=9，CD=6，
∵根据①：AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，
∴MN=BM+BC+CN=3+9+3=15．
【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，一元一次方程的应用等知识，理清各线段的关系，是解答本题的关键．
【变式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知直线AB，射线AC，线段BC．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：延长BC到点D，使CD=AC，连接AD．
(2)比较AB+AD与BC+AC的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB+AD>BC+AC，见解析
【分析】（1）根据题意，作出图形即可；
（2）利用两点之间线段最短以及线段的和差，求解即可．
【详解】（1）解：如图；
（2）解：根据两点之间线段最短可判断AB+AD>BD．
即AB+AD>BC+CD
∵CD=AC
∴AB+AD＞BC+AC
【点睛】此题考查了尺规作图－线段，以及两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
【题型5 两点间的距离】
【例5】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN
MP+PQ+QN+MQ+PN+MN
=MN+MN+PQ+MN
=3MN+PQ
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式5-1】（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
∵ AB=8，BC=3，CD=5，
∴AD=AB+BC−CD=8+3−5=6，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB+BC−CD=8+3+5=16，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
∴AD=AB−BC−CD=8−3−5=0，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB−BC+CD=8−3+5=10，点A、D重合，不合题意，
综上所述：AD的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度．
【变式5-2】（2023秋·福建福州·七年级统考期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，则这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题意得a≥0，若点A在B、C两点之间，则AB+AC=BC，此时无解，若点B在A、C两点之间，则BC+AB=AC，解得a=54，若点C在A、B两点之间，则BC+AC=AB，解得a=−72，综上，即可得．
【详解】解：∵AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，
∴a≥0，
A、若点A在B、C两点之间，
则AB+AC=BC，
2a+a+6=3a+1，
此时无解，
故选项A情况不存在；
B、若点B在A、C两点之间，
则BC+AB=AC，
3a+1+2a=a+6，
a=54，
故选项B情况存在；
C、若点C在A、B两点之间，
则BC+AC=AB，
3a+1+a+6=2a，
a=−72，
故C情况不存在；
故选：B．
【点睛】本题考查了两点间的距离，整式的加减，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论．
【变式5-3】（2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB=12cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点．
(1)求线段DE的长；
(2)若BC=4cm，点O在直线AB上，AO=5cm，求线段OE的长；
(3)若BC=mcm，点O在直线AB上，AO=ncm，请直接写出线段OE的长 cm．（用含m、n的式子表示）
【答案】(1)6cm
(2)5cm或15cm
(3)(n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm
【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；
（2）根据线段的和差关系即可得到结论；
（3）根据线段的和差关系即可得到结论．
【详解】（1）∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DC=AD=12AC，BE=CE=12BC，
∴DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB=12×12=6cm；
（2）∵E为BC的中点，
∴BE=CE=12BC=2cm，
当点O在点A的左边时，
OE=OA+AE=OA+AB−BE=5+12−2=15cm；
当点O在点A的右侧时，
OE=AE−OA=AB−BE−OA=12−2−5=5cm；
（3）∵BC=m cm，
∴BE=CE=12BC=m2，
当点O在点A的左边时，
OE=OA+AE=OA+AB−BE=(n+12−m2)cm；
当点O在点A的右侧在E的左侧时，OE=AE−OA=AB−BE−OA=(12−n−m2)cm，
当点O在E的右侧时，OE=BE−AB+OA=(n−12+m2)cm，
综上所述，线段OE的长为(n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm；
故答案为： (n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
【题型6 线段n等分点的有关计算】
【例6】（2023·全国·七年级假期作业）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm，则这条绳子的原长为 cm．
【答案】40或80或120或240．
【分析】分AP=13PB，PB=13AP这两种情况，结合图形就所得三段绳子其中一段长度为30cm，再分类讨论求解可得．
【详解】解：①如图1，当AP=13PB时，此时剪开的三段分别为AP、PP′、A′P′，
若AP=A′P′=30cm，则PB=P′B=3PA=90cm，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+180+30=240（cm）；
若PP′=30cm，则PB=P′B=15cm，AP=A′P′=13PB=5cm，此时AA′=5+30+5=40（cm）；
②如图2，当PB=13AP时，此时剪开的三段分别为AP、PP′、A′P′，
若AP=A′P′=30cm，则PB=P′B=13AP=10cm，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+20+30=80（cm）；
若PP′=30cm，则PB=P′B=15cm，AP=A′P′=3PB=45cm，此时AA′=AP+PP′+A′P′=45+30+45=120（cm）；
综上，这条绳子的原长为40或80或120或240cm，
故答案为：40或80或120或240．
【点睛】本题考查线段的和差．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图B、C两点把线段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长．
【答案】MC=1
【分析】设AB=2x，得CD=4x，BC=3x，AD=9x，再根据CD=8，求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD−CD即可得出结论．
【详解】解：设AB=2x，
∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴CD=4x，BC=3x，AD=2+3+4x=9x，
∵CD=8，
∴x=2，
∴AD=9x=18，
∵M是AD的中点，
∴MD=12AD，
∴MC=MD−CD
=12AD−CD
=12×18−8
=1．
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF:DE=5:2，BC−EF=3，AE=6，则AC的长为 ．
【答案】26
【分析】由图，可求CF−BE=3，由BE=AE=6，得DF=CF=3+BE=9，于是9−DB6−DB=52，得DB=4，进而求得AC=AB+CD−DB=26．
【详解】解：∵BC−EF=3，BC，EF有一段公共边BF，
∴CF−BE=3，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=AE=6，
∴DF=CF=3+BE=3+6=9，
∵BF=9−DB，DE=6−DB，BF:DE=5:2，
∴ 9−DB6−DB=52，
∴DB=4，
∴AC=AB+CD−DB=6×2+9×2−4=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查根据直线上线段间的数量关系计算线段长度，由直线上点之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长．
③若M，N分别是AC，BC的nn≥2等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN=______．
【答案】(1)3
(2)①12a；②23a；③n−1n a
【分析】（1）由AB=6，AC=2，得BC=AB−AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM= 12 AC=1，CN= 12 BC=2，故MN=CM+CN=3；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM= 12 AC，CN= 12 BC，即得MN= 12 AC+ 12 BC= 12 AB，故MN= 12 a；
②由AM= 13 AC，BN= 13 BC，知CM= 23 AC，CN= 23 BC，即得MN=CM+CN= 23 AC+ 23 BC= 23 AB，故MN= 23 a；
③由AM= 1n AC，BN= 1n BC，知CM= n−1n AC，CN= n−1n BC，即得MN=CM+CN= n−1n AC+ n−1n BC= n−1n AB，故MN= n−1n a．
【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，
∴BC=AB−AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= 12 AC=1，CN= 12 BC=2，
∴MN=CM+CN=3；
故答案为：3；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= 12 AC，CN= 12 BC，
∴MN= 12 AC+ 12 BC= 12 AB，
∵AB=a，
∴MN= 12 a；
故答案为：12 a；
②∵AM= 13 AC，BN= 13 BC，
∴CM= 23 AC，CN= 23 BC，
∴MN=CM+CN= 23 AC+ 23 BC= 23 AB，
∵AB=a，
∴MN= 23 a；
③∵AM= 1n AC，BN= 1n BC，
∴CM= n−1n AC，CN= n−1n BC，
∴MN=CM+CN= n−1n AC+ n−1n BC= n−1n AB，
∵AB=a，
∴MN= n−1n a，
故答案为：n−1n a．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【题型7 与线段的长短比较有关的应用】
【例7】（2023春·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，⋯，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述
①车站的位置设在C点好于B点；
②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；
③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．
其中，正确的是 ．
【答案】①③
【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．
【详解】解；如图，
因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关．
故答案为：①③．
【点睛】此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力．
【变式7-1】（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点AB．点BC．A，B之间D．B，C之间
【答案】A
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选A．
【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．
【变式7-2】（2023春·浙江宁波·七年级校考开学考试）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼 米处．
【答案】150
【详解】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．
解：假设车站距离1号楼x米，
则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，
①当0≤x≤50时，S=2000-13x，最小值为1350；
②当50≤x≤100时，S=1800-9x，最小值为900；
②当100≤x≤150时，S=1200-3x，最小值为750（此时x=150）；
当150≤x≤200时，S=5x，最小值为750（此时x=150）．
∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．
故答案为150．
【变式7-3】（2023秋·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）在一条直线上有依次排列的nn>1台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：
如果直线上只有2台机床A1，A2时，很明显供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，距离之和等于A1到A2的距离；
如果直线上有3台机床A1、A2、A3，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，距离之和恰好为A1到A3的距离；
如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；
如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方；
(1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P应设在（ ）处．
A．第3台 B．第3台和第4台之间 C．第4台 D．第4台和第5台之间
(2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？
(3)问题转化：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x．当x=_______时，代数式x−1+x−2+x−3+⋯+x−99取到最小值，此时最小值为___________．
【答案】(1)C
(2)当n为奇数时，供应站P应设在第n+12台的位置；当n为偶数时，供应站P应设在第n2台第n2+1台之间的任何位置
(3)50，2450
【分析】（1）从所给材料中找出规律即可求解；
（2）分n为奇数和n为偶数两种情况，找出规律即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义和连续整数的和的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知：
直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，
直线上有5台机床，供应站P应设在中间一台机床A3处最合适，
以此类推，如果在直线上有7台机床，供应站P应设在中间一台机床A4处最合适，
故选C；
（2）解：由题意知：
当n为奇数时，供应站P应设在第n+12台的位置；
当n为偶数时，供应站P应设在第n2台和第n2+1台之间的任何位置；
（3）解：1到99最中间的数为：1+99÷2=50，
应用（2）中结论可知，当x=50时，代数式x−1+x−2+x−3+⋯+x−99取到最小值，
50−1+50−2+50−3+⋯+50−99
=49+48+47+⋯+2+1+0+1+2+⋯+48+49
=1+49×49
=2450，
即当x=50时，代数式x−1+x−2+x−3+⋯+x−99取到最小值，最小值为2450．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握从特殊到一般和分类讨论的方法．
【题型8 线段中的动点问题】
【例8】．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=14厘米，点C在线段AB上，且BC=3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为6厘米．
【答案】3或9或1
【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可．
【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时，
(6−3)÷(2−1)
=3÷1
=3（秒）；
（2）点P、Q都向左运动时，
(6+3)÷(2−1)
=9÷1
=9（秒）；
（3）点P向左运动，点Q向右运动时，
(6−3)÷(2+1)
=3÷3
=1（秒）；
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，
(6+3)÷(2+1)
=9÷3
=3（秒）．
∴经过3或9或1秒时线段PQ的长为6厘米．
故答案为：3或9或1．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
【变式8-1】（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C，D两点分别从点M，B出发，以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动．
(1)若AB=10cm，当点C，D运动了2s时，点C，D的位置如图①所示，求AC+MD的值；
(2)若点C，D在没有运动到点A和点M时，总有MD=3AC，试说明此时有AM=14AB；
(3)如图②，若AM=14AB，点N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
【答案】(1)2cm
(2)见解析
(3)12或1
【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据图形即可直接解答；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【详解】（1）解：当点C，D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cm．
∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm，
∴AC+MD=AB−CM−BD=10−2−6=2（cm）
（2）解：∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3cm/s，
∴当运动时间为ts时，BD=3tcm，CM=tcm．
又∵MD=3AC，
∴BD+MD=3t+3AC=3（t+AC）cm，
即BM=3AM，
∴AM=14AB
（3）解：当点N在线段AB上时，如图所示：
∵AN−BN=MN，且AN−AM=MN，
∴BN=AM=14AB，
∴MN=12AB，
即MNAB=12
当点N在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AN−BN=MN，AN−BN=AB，
∴MN=AB，即MNAB=1．
综上所述，MNAB的值为12或1
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，解题的关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
【变式8-2】（2023·全国·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD=_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP:PB=_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求AP的长
【答案】(1)①12；②1:2
(2)92cm
【分析】（1）①先分别求出PC=2cm,BD=4cm，再根据AC+PD=AB−PC−BD即可得；
②设运动时间为ts，则PC=tcm,BD=2tcm，再根据线段中点的定义可得AP=2PC=2tcm,BP=2BD=4tcm，由此即可得；
（2）设运动时间为xs，则PC=xcm,BD=3xcm，从而可得BD=3PC，再根据PD=3AC可得PB=3AP，从而可得AP=14AB，由此即可得．
【详解】（1）解：①依题意得：PC=1×2=2cm,BD=2×2=4cm，
∵AB=18cm，点D仍在线段PB上，
∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12cm，
故答案为：12；
②设运动时间为ts，则PC=tcm,BD=2tcm，
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴AP=2PC=2tcm,BP=2BD=4tcm，
∴AP:PB=1:2，
故答案为：1:2．
（2）解：设运动时间为xs，则PC=xcm,BD=3xcm，
∴BD=3PC，
∵PD=3AC，
∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC=3AP，
∵PB+AP=AB，
∴3AP+AP=AB，
∴AP=14AB=14×18=92cm．
【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
（1）当t=3时，求线段MB的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好是MB的中点？
（3）当t为何值时，AM=2PB？
【答案】（1）当t=3时，MB=21；（2）当t=8；点P恰好是MB的中点；（3）t=485或t=16，AM=2PB．
【分析】（1）如图：当t=3时，先求出AP,然后再求出AM,最后根据MB=AB-AM求解即可；
（2）先求出AM=MP=t，再说明MP=PB=t，然后由AB=3AM=3t=24即可求得t；
（3）分P在线段AB上和P在线段AB延长线上两种情况解答即可．
【详解】解：（1）当t=3时，AP=3×2=6.
∵点M为AP的中点，
∴AM=12AP=12×6=3，
∴MB=AB−AM=24−3=21.
（2）∵点M为AP的中点，
∴AM=MP=12AP=12×2t=t.
∵点P是MB的中点，
∴MP=PB=t，
∴AB=3AM=3t=24，
∴t=8；
（3）当点P在线段AB上时，AM=t，
PB=AB−AP=24−2t，
∴t=224−2t，
解得t=485.
当P在线段AB的延长线上时，AM=t，
PB=AP−AB=2t−24，
∴t=22t−24，
解得t=16.
∴t=485或t=16．
【点睛】本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
【题型9 尺规作线段】
【例9】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AB=6．
(1)尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得BD+BC=AB；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若CM=2AC，求线段AD的长度．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）延长线段AB，在延长线上截取BD=AC即可；
（2）根据中点的定义求出AM=3，再根据CM=2AC求出AC=1，结合BD=AC即可求解．
【详解】（1）解：∵ AC+BC=AB，
∴若BD+BC=AB，则BD=AC，
以点B为圆心，AC长为半径作弧，与线段AB的延长线的交点即为点D，如下图所示：
；
（2）解：∵点M是线段AB的中点，AB=6，
∴ AM=12AB=12×6=3，
∵ CM=2AC，
∴ AC=11+2AM=13×3=1，
由（1）知BD=AC，
∴ AD=AB+BD=AB+AC=6+1=7．
【点睛】本题考查尺规作图——作一线段等于已知线段，中点的定义，线段的和差关系等，难度一般，解题的关键是熟练掌握上述知识点．
【变式9-1】（2023春·福建·七年级校考开学考试）如图，已知线段a，b，利用尺规作线段AB，使得AB=2a−b．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】首先作射线，再截取AC=CD=a，进而截取BD=b，即可得出AB=2a−b．
【详解】解：如图所示，AB即为所求，
．
【点睛】本题考查了复杂作图，正确作出射线进而截取得出是解题的关键．
【变式9-2】（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）如图,B,C两点在射线AM上，AC>BC，用圆规在射线BM上作一点D,使得BD=AC−BC．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】详见解析
【分析】先以点B为圆心，AC长为半径画弧与BM交于一点；再以该点为圆心，BC长为半径画弧与BM交于D点．
【详解】解：如图所示，点D即为所作：
【点睛】本题考查尺规作线段．理解题意即可作图．
【变式9-3】（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知线段a，b，c，求作：线段m，使m=a+c−b．
【答案】见解析
【分析】画出射线OP，以点O为圆心，a的长度为半径画弧，交射线OP于点A，再以点A为圆心，c的长度为半径画弧，在点A坐边交射线OP于点B，最后以点B为圆心，b的长度为半径画弧，在点B右边交射线OP于点C，OC即为所求．
【详解】解：如图所示：画出射线OP，以点O为圆心，a的长度为半径画弧，交射线OP于点A，再以点A为圆心，c的长度为半径画弧，在点A坐边交射线OP于点B，最后以点B为圆心，b的长度为半径画弧，在点B右边交射线OP于点C，OC即为所求．
∵OA=a,AB=b,BC=c，
∴OC=a+c−b=m．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题的关键是掌握画一条线段等于已知线段的方法和步骤，以及线段间的和差关系．
【题型10 线段中的对折问题】
【例10】（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图，将一段长为30厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′，B′处.
(1)如图2，若A′，B′恰好重合于点O处，展开拉直后如图3，求MN的长；
(2)若点A′落在B′的左侧，且A′B′=10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度；
(3)若点A′落在B′的右侧，且A′B′=10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度.
【答案】(1)15厘米
(2)20厘米
(3)10厘米
【分析】（1）根据线段中点的性质得出AM=MO=12AO，ON=BN=12OB，进而根据MN=MO+ON即可求解；
（2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出AM=12AA′，BN=12BB′，根据MN=AB−AM+BN即可求解；
（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′、B′处，A′、B′恰好重合于点O处，
∴AM=MO=12AO，ON=BN=12OB，
∴MN=MO+ON=12AO+OB=12AB=15cm；
（2）
∵AB=30cm，A′B′=10cm，
∴AA′+BB′=AB−A′B′=30−10=20cm.
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∵AM=12AA′，BN=12BB′，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12AA′+BB′=12×20=10cm，
∴MN=AB−AM+BN=30−10=20cm；
（3）当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′=AB+A′B′=40cm，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12AA′+BB′=20cm.
∴MN=AB−AM+BN=30−20=10cm.
【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．
（1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；
（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得CD=0，即可确定答案；
（2）分两种情况：点D在线段AC上与点D在线段BC上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．
【详解】（1）解：由折中点含义得：AD=CD+BC，
而AC=BC，AD=AC−CD，
∴AC−CD=CD+AC，
∴CD=0，
即点D与点C重合；
故选：C；
（2）解：当点D在线段AC上时，
则CD+BC=AD=AC−CD，
∴BC=AC−2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC−2CD=10−2×2=6(cm)；
当点D在线段BC上时，如图，
则CD+AC=BD=BC−CD，
∴BC=AC+2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC+2CD=10+2×2=14(cm)；
综上，BC的长为6cm或14cm；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键．
【变式10-2】（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的绳子，A，B两点在线段OP上，OP=a，OA:AP=3:7，B为OA的中点．固定点A，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上（如图2所示）．
（1）若a=10．
①绳子折叠前，AB的长为 ；
②绳子折叠后，OP的长为 ；
（2）若从如图2所示的点B及与点B重叠处一起剪开，使得绳子分成三段，三段绳子由小到大的长度比为 ．
【答案】 32 4 3：6：11
【分析】（1）①根据题意可得OA=3，根据线段中点的性质即可求解；
②根据线段差的关系即可求解；
（2）根据OA，AP，OB，BP的比例关系，绳子长为a，结合（1）求出对应的线段长度即可解得．
【详解】（1）①∵OA:AP=3:7，B为OA的中点．OP=10，
∴OA=3，AB=12OA=32，
故答案为：32．
②∵折叠，则OP=10−2OA=10−6=4，
故答案为：4．
（2）根据（1）可得图2中的AB=32×a10=3a20，OP=4×a10=2a5，
剪开后的三段分别长为OB,2AB,BP，
∴OB=320a，2AB=3a10，BP=BO+OP=320a+2a5=1120a
∴三段绳子由小到大的长度比为320a:310a:1120a=3:6:11
故答案为：3:6:11．
【点睛】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键．
【变式10-3】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）学校举行叠被子比赛，最后成品要求如图1所示．图2是被子的平面图（长方形ABCD），被子的长度AD=200cm，宽度AB=150cm，具体折法如下：首先把被子平铺分成五份（图2），将长方形NBCK向上翻折作为中间层，再将长方形AEHD向下翻折作为上层，折叠时需要考虑被子的厚度和平整性（AE=FM=NB+12MN），接着按照如图3方式折叠，最终折成如图1所示．折完后被子高度是24cm，假设被子的厚度是均匀的，且不考虑折叠中间缝隙，则未折叠时被子的厚度为 cm，图3中长方形FMQP的面积为 cm2．
【答案】 2 49703
【分析】由题图2折了三层，题图3折了四层，折完共3×4=12层，由此24÷12=2cm，所以未折时被子厚2cm，在图3中，AB相当于折完后被子高，即AB=24cm，所以PC=DE=12AB=12cm，且AC=BD，EG=PF，可得AC+BD+EG+PF=2AC+2PF=200−AB−PC−DE=152，所以AC+PF=76，由折叠可知AC=PF+6，建立方程可得PF的长，在题图2中，MN是两层被子厚度，所以MN=4cm，同理EF=6cm，利用AE+EF+MF+MN+BN=150，求得MF的值，即可得出矩形面积．
【详解】解：∵题图2折了三层，题图3折了四层，折完共3×4=12层，
∴24÷12=2cm，
∴未折时被子厚2cm，
如图，AB相当于折完后被子高，即AB=24cm，
∴PC=DE=12AB=12cm，且AC=BD，EG=PF，
∴AC+BD+EG+PF=2AC+2PF=200−AB−PC−DE=152，
∴AC=PF+6，
折叠后可知AC=PF+6，
∴2PF+6=76，即PF=35，
在题图2中，MN是两层被子厚度，
∴MN=4cm，同理EF=6cm，
∴AE+EF+MF+MN+BN=MF+6+MF+4+MF−12MN=3MF+8=150，
∴MF=1423，
∴S=1423×35=49703cm2．
故答案为：2；49703．
【点睛】本题主要考查线段的和差问题，将图2与图3放在一起理解题意是解题关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11314" 【题型1 线段中点的有关计算】 PAGEREF _Tc11314 \h 1
\l "_Tc28618" 【题型2 线段的和差】 PAGEREF _Tc28618 \h 4
\l "_Tc6462" 【题型3 线段的数量关系】 PAGEREF _Tc6462 \h 8
\l "_Tc20378" 【题型4 简单线段的长短比较】 PAGEREF _Tc20378 \h 11
\l "_Tc9739" 【题型5 两点间的距离】 PAGEREF _Tc9739 \h 15
\l "_Tc16662" 【题型6 线段n等分点的有关计算】 PAGEREF _Tc16662 \h 18
\l "_Tc13323" 【题型7 与线段的长短比较有关的应用】 PAGEREF _Tc13323 \h 22
\l "_Tc29019" 【题型8 线段中的动点问题】 PAGEREF _Tc29019 \h 26
\l "_Tc3985" 【题型9 尺规作线段】 PAGEREF _Tc3985 \h 31
\l "_Tc10352" 【题型10 线段中的对折问题】 PAGEREF _Tc10352 \h 33
【知识点 比较线段的长短】
（1）两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
【题型1 线段中点的有关计算】
【例1】（2023春·山东烟台·七年级统考期中）已知线段AB=12cm，点C为直线AB上一点，且AC=4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm
【答案】D
【分析】分两种情况考虑：点C在线段AB上，点C以线段BA的延长线上；利用中点的意义及线段的和差关系即可求得线段AD的长．
【详解】①当点C在线段AB上时，如图
则BC=AB−AC=12−4=8cm
∵点D为线段BC的中点
∴CD=12BC=4cm
∴AD=AC+CD=4+4=8cm
②点C以线段BA的延长线上时，如图
则BC=AB+AC=12+4=16cm
∵点D为线段BC的中点
∴CD=12BC=8cm
∴AD=CD−AC=8−4=4cm
综上所述，AD的长为4cm或8cm
故选：D
【点睛】本题考查了中点的含义、线段的和差运算，注意分类讨论．
【变式1-1】（2023秋·福建三明·七年级统考期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，则CB的长为 ．
【答案】5
【分析】由线段和差关系可求DE，AB，由中点的性质可求解．
【详解】解：∵AD+BE+DE=AB，AE+BD−DE=AB，
∴8+DE=AB，12−DE=AB，
∴DE=2，AB=10，
∵C是AB的中点，
∴CB=12AB=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段和差与中点的性质和应用，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键．
【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：
(1)求AD的长度；
(2)求DE的长度；
(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．
【答案】(1)6cm
(2)4cm
(3)26cm或14cm
【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案；
（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE−AD即为DE的长；
（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解：由线段中点的性质AD=12AC=12×12=6cm；
（2）由线段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20cm，
由线段中点的性质，得AE=12AB=12×20=10cm，
由线段的和差，得DE=AE−AD=10−6=4cm；
（3）当M在点B的右侧时，AM=AB+MB=20+6=26cm，
当M在点B的左侧时，AM=AB−MB=20−6=14cm，
∴AM的长度为26cm或14cm．
【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．
【变式1-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+⋅⋅⋅+M2023N2023=（ ）
A．10+522022B．10+522023C．10−522022D．10−522023
【答案】C
【分析】根据MN=10，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，找到MnNn的规律即可求出M1N1+M2N2+⋅⋅⋅+M2023N2023的值．
【详解】解：∵MN=10，M1、N1分别为AM、AN的中点，
∴M1N1=AM1−AN1=12AM−12AN=12AM−AN=12MN=12×10=5，
∵M2、N2分别为AM1、AN1的中点，
∴M2N2=AM2−AN2=12AM1−12AN1=12AM1−AN1=12M1N1=12×5=52，
∵M3、N3分别为AM2、AN2的中点，
∴M3N3=AM3−AN3=12AM2−12AN2=12AM2−AN2=12M2N2=12×52=522，
……
由此可得：MnNn=52n−1，
∴M1N1+M2N2+⋯+M2023N2023=5+52+522+⋯+522022=10×12+122+⋯+122023=10×1−122023=10−522022，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
【题型2 线段的和差】
【例2】（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC−BD=2MC−DN；④2MN=AB−CN．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM=MD=12AD，CN=BN=12BC，
∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴AD=12AD+BD，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD=3BD，即AB=3BD，故①符合题意；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴12AD=12BC，
∴AM=BN，故②符合题意；
∵AC−BD=AD−CD−BD=AD−CD+BD=AD−BC，
∴AC−BD=2MD−2CN=2MD−CN=2MC+CD−CD−DN=2MC−DN ，故③符合题意；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD−CD，
∴2MN=2MD−CD+2CN=2MD+CN−CD，
∵MD=12AD，CN=12BC，
∴2MN=212AD+12BC−CD
=AD−CD+BC−CD
=AC+BD
=AB−CD，故④不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．
【变式2-1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）两根木条，一根长10cm，另一根长8cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm．
【答案】1或9
【分析】设AC=8cm，AB=10cm，根据题意分两种情况：①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E是AC的中点，点D是AB的中点，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AE+AD即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E是AC的中点，点D是AB的中点，可得AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，再由ED=AD−AE即可得出答案．
【详解】解：设AC=8cm，AB=10cm，根据题意，
①如图1，
∵点E是AC的中点，点D是AB的中点，
∴AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，
∴ED=AE+AD=4+5=9cm；
②如图2，
∵点E是AC的中点，点D是AB的中点，
∴AE=12AC=12×8=4，AD=12AB=12×10=5，
∴ED=AD−AE=5−4=1cm．
综上所述，两根木条的中点之间的距离为1cm或9cm．
故答案为：1或9．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法．熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023秋·江苏南京·七年级校考期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=26cm，BC=6cm．
(1)图中共有 条线段？
(2)求AC的长．
(3)若点E在直线AD上，且EA=8cm，求BE的长．
【答案】(1)6
(2)14cm
(3)12cm或28cm
【分析】（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；
（2）先根据线段中点的定义求出CD=12cm，则AC=AD−CD=14cm；
（3）分当点E在线段AD上时，当点E在线段DA的延长线上时，两种情况求出CE的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有：AC，BC，BD，AB，CD，AD一共6条，
故答案为：6；
（2）解：∵BC=6cm，点B为CD的中点，
∴CD=2BC=12cm，
∵AD=26cm，
∴AC=AD−CD=14cm；
（3）解：如图1所示，当点E在线段AD上时，
∵AC=14cm，AE=8cm，
∴CE=AC−AE=6cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=12cm；
解：如图2所示，当点E在线段DA的延长线上时，
∵AC=14cm，AE=8cm，
∴CE=AC+AE=22cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=28cm；
综上所述，BE的长为12cm或28cm．
【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的线段计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）已知B、C在线段AD上．
(1)如图，图中共有 条线段，AD＝ ＋ － ；
(2)如图，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的长度．
【答案】(1)6；AC,BD,BC
(2)AD=35
【分析】（1）根据线段的定义可求出线段的数量；根据线段的和差可可解决与AD有关的数量关系；
（2）设AD=x，表示出AB、AC，根据BC=18列方程求解即可．
【详解】（1）图中线段有：AB,AC,AD,BC,BD,CD共6条；
AD=AC+BD−BC．
故答案为：6；AC,BD,BC．
（2）设AD=x
因为AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1
所以AB=25+2BD=27x，AC=44+1BD=45x
因为AC−AB=BC，BC=18
所以45x−27x=18
解得x=35
所以AD=35．
【点睛】本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
【题型3 线段的数量关系】
【例3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段AB上一点，若AM=14AB，点N是直线AB上的一动点，且AN−BN=MN，则MNAB= ．
【答案】1或12
【分析】分两种情况：当点N在线段AB上，当点N在线段AB的延长线上，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：当点N在线段AB上，如图：
∵AN−BN=MN，AN−AM=MN，
∴BN=AM，
∵AM=14AB，
∴BN=14AB，
∴MN=AB−AM−BN=12AB，
∴MNAB=12；
当点N在线段AB的延长线上，如图：
∵AN−BN=MN，AN−BN=AB，
∴AB=MN，
∴MNAB=1，
综上所述：MNAB的值为1或12，
故答案为：1或12．
【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·江苏·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD−2BC，则AC与BD的关系是（ ）
A．AC=BDB．2AC=BDC．3AC=2BDD．4AC=3BD
【答案】C
【分析】先分别表示出AC和BD，即可求出两者的关系．
【详解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，
BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，
∴ACBD=2BC−AD3BC−AD=23，
∴3AC=2BD，
故选：C．
【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣DBB．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣ABD．AB﹣CD＝AC﹣BD
【答案】D
【分析】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，
∴CD＝BC﹣BD＝12AB﹣BD＝AC﹣BD；
∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；
∵CD＝AD﹣AC，
∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；
∴选项A、B、C均正确．
而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；
∴答案D错误符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期中）如图1，
AB是一条拉直的细绳，C,D两点在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．则
（1）CD:AD= ；
（2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为 ．
【答案】 1∶3 2∶3∶5
【分析】（1）根据题意AC:BC=2:3，可得AC:AB=2:5，AC=25AB；根据AD:BD=3:7，可得AD:AB=3:10，AD=310AB；CD=AC−AD=110AB，CD:AD就是110AB:310AB，计算求出答案即可．
（2）设对折后点D关于C点对称处为D′，被剪断两处分别是点D和D′，剪开的三段细绳依次是AD、DD′、D′B，根据对折性质DD′=2DC，D′B=CB−CD′，把AD、DD′、D′B的长度写成关于AB的值，比较大小后代入计算即可．
【详解】解：（1）∵AC:BC=2:3，AC+CB=AB，
∴AC:AB=2:(2+3)=2:5，
∴AC=25AB；
∵AD:BD=3:7，AD+DB=AB，
∴AD:AB=3:(3+7)=3:10，
∴AD=310AB；
∵CD=AC−AD=25AB−310AB=110AB，
∴CD:AD=110AB:310AB=1:3．
（2）设对折后点D关于C点对称处为D′，
被剪断两处分别是点D和D′，剪开的三段细绳依次是AD、DD′、D′B，
∵根据上题，AD=310AB；
DD′=2DC=2×110AB=15AB；
D′B=CB−CD′=CB−CD=35AB−110AB=12AB；
∴DD′
故答案为：（1）1∶3（2）2∶3∶5．
【点睛】本题考查了线段的和与差，根据比值，将每一段的长度表示成总长度的几分之几，用代数的方法代入计算是解题关键．
【题型4 简单线段的长短比较】
【例4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：①为折线段ABCDEFG，②为折线段AIG，③为折线段AJHG．三条路的长依次为a、b、c，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＝b＞cC．a＞c＞bD．a＝b＜c
【答案】B
【详解】观察图形,可知:①②相等,③最短,
a、b、c的大小关系是:a=b>c.故选B.
【点睛】本题考查线段长短的度量、比较, 根据平移的性质,两点间线段距离最短,认真观察图形,可知①②都是相当于走直角线,故①②相等,③走的是两点间的线段,最短.
【变式4-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知三角形ABC，下列比较线段AC和AB长短的方法中，可行的有（ ）
①用直尺度量出AB和AC的长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，若点B在线段AC上，AB
【详解】比较线段AC和AB长短的方法有：
①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；
②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置，若点B在线段AC上，AB
③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置，若点B在线段AC上，AB
共3个方法．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比较三角形两边长短的方法，熟练掌握度量法，叠合法，是解决问题的关键，其中叠合法包括叠放法，折叠法．
【变式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，B，C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，
(1)图中以C为端点的线段共有______条.
(2)若AB=CD，
①比较线段的长短：AC______BD；AN______DM（填：“>”、“=”或“<”）
②若AD=21，AB:BC=2:3，求MN的长度.
【答案】(1)5
(2)①=；=；②15
【分析】（1）除C点外还有5个端点，即以C为端点的线段有5条；
（2）①根据题意有AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，即有AB+BC=CD+BC，AM=MB=CN=ND，即有AC=BD，AD−ND=AD−AM，问题随之得解；②设AB=2x，BC=3x，则CD=2x，依题意，得2x+3x+2x=21，即可得AB=6，BC=9，CD=6，根据①：AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，即可求解．
【详解】（1）∵除C点外还有5个端点，
∴以C为端点的线段有5条，
故答案为：5；
（2）①∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，AM=MB=CN=ND，
∴AC=BD，AD−ND=AD−AM，
∴AN=DM，
故答案为：＝，＝；
②设AB=2x，BC=3x，则CD=2x，
依题意，得2x+3x+2x=21，
解得x=3，
故AB=6，BC=9，CD=6，
∵根据①：AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，
∴MN=BM+BC+CN=3+9+3=15．
【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，一元一次方程的应用等知识，理清各线段的关系，是解答本题的关键．
【变式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知直线AB，射线AC，线段BC．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：延长BC到点D，使CD=AC，连接AD．
(2)比较AB+AD与BC+AC的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB+AD>BC+AC，见解析
【分析】（1）根据题意，作出图形即可；
（2）利用两点之间线段最短以及线段的和差，求解即可．
【详解】（1）解：如图；
（2）解：根据两点之间线段最短可判断AB+AD>BD．
即AB+AD>BC+CD
∵CD=AC
∴AB+AD＞BC+AC
【点睛】此题考查了尺规作图－线段，以及两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
【题型5 两点间的距离】
【例5】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN
MP+PQ+QN+MQ+PN+MN
=MN+MN+PQ+MN
=3MN+PQ
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式5-1】（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
∵ AB=8，BC=3，CD=5，
∴AD=AB+BC−CD=8+3−5=6，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB+BC−CD=8+3+5=16，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
∴AD=AB−BC−CD=8−3−5=0，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB−BC+CD=8−3+5=10，点A、D重合，不合题意，
综上所述：AD的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度．
【变式5-2】（2023秋·福建福州·七年级统考期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，则这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题意得a≥0，若点A在B、C两点之间，则AB+AC=BC，此时无解，若点B在A、C两点之间，则BC+AB=AC，解得a=54，若点C在A、B两点之间，则BC+AC=AB，解得a=−72，综上，即可得．
【详解】解：∵AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，
∴a≥0，
A、若点A在B、C两点之间，
则AB+AC=BC，
2a+a+6=3a+1，
此时无解，
故选项A情况不存在；
B、若点B在A、C两点之间，
则BC+AB=AC，
3a+1+2a=a+6，
a=54，
故选项B情况存在；
C、若点C在A、B两点之间，
则BC+AC=AB，
3a+1+a+6=2a，
a=−72，
故C情况不存在；
故选：B．
【点睛】本题考查了两点间的距离，整式的加减，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论．
【变式5-3】（2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB=12cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点．
(1)求线段DE的长；
(2)若BC=4cm，点O在直线AB上，AO=5cm，求线段OE的长；
(3)若BC=mcm，点O在直线AB上，AO=ncm，请直接写出线段OE的长 cm．（用含m、n的式子表示）
【答案】(1)6cm
(2)5cm或15cm
(3)(n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm
【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；
（2）根据线段的和差关系即可得到结论；
（3）根据线段的和差关系即可得到结论．
【详解】（1）∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DC=AD=12AC，BE=CE=12BC，
∴DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB=12×12=6cm；
（2）∵E为BC的中点，
∴BE=CE=12BC=2cm，
当点O在点A的左边时，
OE=OA+AE=OA+AB−BE=5+12−2=15cm；
当点O在点A的右侧时，
OE=AE−OA=AB−BE−OA=12−2−5=5cm；
（3）∵BC=m cm，
∴BE=CE=12BC=m2，
当点O在点A的左边时，
OE=OA+AE=OA+AB−BE=(n+12−m2)cm；
当点O在点A的右侧在E的左侧时，OE=AE−OA=AB−BE−OA=(12−n−m2)cm，
当点O在E的右侧时，OE=BE−AB+OA=(n−12+m2)cm，
综上所述，线段OE的长为(n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm；
故答案为： (n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
【题型6 线段n等分点的有关计算】
【例6】（2023·全国·七年级假期作业）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm，则这条绳子的原长为 cm．
【答案】40或80或120或240．
【分析】分AP=13PB，PB=13AP这两种情况，结合图形就所得三段绳子其中一段长度为30cm，再分类讨论求解可得．
【详解】解：①如图1，当AP=13PB时，此时剪开的三段分别为AP、PP′、A′P′，
若AP=A′P′=30cm，则PB=P′B=3PA=90cm，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+180+30=240（cm）；
若PP′=30cm，则PB=P′B=15cm，AP=A′P′=13PB=5cm，此时AA′=5+30+5=40（cm）；
②如图2，当PB=13AP时，此时剪开的三段分别为AP、PP′、A′P′，
若AP=A′P′=30cm，则PB=P′B=13AP=10cm，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+20+30=80（cm）；
若PP′=30cm，则PB=P′B=15cm，AP=A′P′=3PB=45cm，此时AA′=AP+PP′+A′P′=45+30+45=120（cm）；
综上，这条绳子的原长为40或80或120或240cm，
故答案为：40或80或120或240．
【点睛】本题考查线段的和差．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图B、C两点把线段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长．
【答案】MC=1
【分析】设AB=2x，得CD=4x，BC=3x，AD=9x，再根据CD=8，求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD−CD即可得出结论．
【详解】解：设AB=2x，
∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴CD=4x，BC=3x，AD=2+3+4x=9x，
∵CD=8，
∴x=2，
∴AD=9x=18，
∵M是AD的中点，
∴MD=12AD，
∴MC=MD−CD
=12AD−CD
=12×18−8
=1．
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF:DE=5:2，BC−EF=3，AE=6，则AC的长为 ．
【答案】26
【分析】由图，可求CF−BE=3，由BE=AE=6，得DF=CF=3+BE=9，于是9−DB6−DB=52，得DB=4，进而求得AC=AB+CD−DB=26．
【详解】解：∵BC−EF=3，BC，EF有一段公共边BF，
∴CF−BE=3，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=AE=6，
∴DF=CF=3+BE=3+6=9，
∵BF=9−DB，DE=6−DB，BF:DE=5:2，
∴ 9−DB6−DB=52，
∴DB=4，
∴AC=AB+CD−DB=6×2+9×2−4=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查根据直线上线段间的数量关系计算线段长度，由直线上点之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长．
③若M，N分别是AC，BC的nn≥2等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN=______．
【答案】(1)3
(2)①12a；②23a；③n−1n a
【分析】（1）由AB=6，AC=2，得BC=AB−AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM= 12 AC=1，CN= 12 BC=2，故MN=CM+CN=3；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM= 12 AC，CN= 12 BC，即得MN= 12 AC+ 12 BC= 12 AB，故MN= 12 a；
②由AM= 13 AC，BN= 13 BC，知CM= 23 AC，CN= 23 BC，即得MN=CM+CN= 23 AC+ 23 BC= 23 AB，故MN= 23 a；
③由AM= 1n AC，BN= 1n BC，知CM= n−1n AC，CN= n−1n BC，即得MN=CM+CN= n−1n AC+ n−1n BC= n−1n AB，故MN= n−1n a．
【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，
∴BC=AB−AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= 12 AC=1，CN= 12 BC=2，
∴MN=CM+CN=3；
故答案为：3；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= 12 AC，CN= 12 BC，
∴MN= 12 AC+ 12 BC= 12 AB，
∵AB=a，
∴MN= 12 a；
故答案为：12 a；
②∵AM= 13 AC，BN= 13 BC，
∴CM= 23 AC，CN= 23 BC，
∴MN=CM+CN= 23 AC+ 23 BC= 23 AB，
∵AB=a，
∴MN= 23 a；
③∵AM= 1n AC，BN= 1n BC，
∴CM= n−1n AC，CN= n−1n BC，
∴MN=CM+CN= n−1n AC+ n−1n BC= n−1n AB，
∵AB=a，
∴MN= n−1n a，
故答案为：n−1n a．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【题型7 与线段的长短比较有关的应用】
【例7】（2023春·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，⋯，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述
①车站的位置设在C点好于B点；
②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；
③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．
其中，正确的是 ．
【答案】①③
【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．
【详解】解；如图，
因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关．
故答案为：①③．
【点睛】此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力．
【变式7-1】（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点AB．点BC．A，B之间D．B，C之间
【答案】A
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选A．
【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．
【变式7-2】（2023春·浙江宁波·七年级校考开学考试）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼 米处．
【答案】150
【详解】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．
解：假设车站距离1号楼x米，
则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，
①当0≤x≤50时，S=2000-13x，最小值为1350；
②当50≤x≤100时，S=1800-9x，最小值为900；
②当100≤x≤150时，S=1200-3x，最小值为750（此时x=150）；
当150≤x≤200时，S=5x，最小值为750（此时x=150）．
∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．
故答案为150．
【变式7-3】（2023秋·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）在一条直线上有依次排列的nn>1台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：
如果直线上只有2台机床A1，A2时，很明显供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，距离之和等于A1到A2的距离；
如果直线上有3台机床A1、A2、A3，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，距离之和恰好为A1到A3的距离；
如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；
如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方；
(1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P应设在（ ）处．
A．第3台 B．第3台和第4台之间 C．第4台 D．第4台和第5台之间
(2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？
(3)问题转化：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x．当x=_______时，代数式x−1+x−2+x−3+⋯+x−99取到最小值，此时最小值为___________．
【答案】(1)C
(2)当n为奇数时，供应站P应设在第n+12台的位置；当n为偶数时，供应站P应设在第n2台第n2+1台之间的任何位置
(3)50，2450
【分析】（1）从所给材料中找出规律即可求解；
（2）分n为奇数和n为偶数两种情况，找出规律即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义和连续整数的和的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知：
直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，
直线上有5台机床，供应站P应设在中间一台机床A3处最合适，
以此类推，如果在直线上有7台机床，供应站P应设在中间一台机床A4处最合适，
故选C；
（2）解：由题意知：
当n为奇数时，供应站P应设在第n+12台的位置；
当n为偶数时，供应站P应设在第n2台和第n2+1台之间的任何位置；
（3）解：1到99最中间的数为：1+99÷2=50，
应用（2）中结论可知，当x=50时，代数式x−1+x−2+x−3+⋯+x−99取到最小值，
50−1+50−2+50−3+⋯+50−99
=49+48+47+⋯+2+1+0+1+2+⋯+48+49
=1+49×49
=2450，
即当x=50时，代数式x−1+x−2+x−3+⋯+x−99取到最小值，最小值为2450．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握从特殊到一般和分类讨论的方法．
【题型8 线段中的动点问题】
【例8】．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=14厘米，点C在线段AB上，且BC=3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为6厘米．
【答案】3或9或1
【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可．
【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时，
(6−3)÷(2−1)
=3÷1
=3（秒）；
（2）点P、Q都向左运动时，
(6+3)÷(2−1)
=9÷1
=9（秒）；
（3）点P向左运动，点Q向右运动时，
(6−3)÷(2+1)
=3÷3
=1（秒）；
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，
(6+3)÷(2+1)
=9÷3
=3（秒）．
∴经过3或9或1秒时线段PQ的长为6厘米．
故答案为：3或9或1．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
【变式8-1】（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C，D两点分别从点M，B出发，以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动．
(1)若AB=10cm，当点C，D运动了2s时，点C，D的位置如图①所示，求AC+MD的值；
(2)若点C，D在没有运动到点A和点M时，总有MD=3AC，试说明此时有AM=14AB；
(3)如图②，若AM=14AB，点N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
【答案】(1)2cm
(2)见解析
(3)12或1
【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据图形即可直接解答；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【详解】（1）解：当点C，D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cm．
∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm，
∴AC+MD=AB−CM−BD=10−2−6=2（cm）
（2）解：∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3cm/s，
∴当运动时间为ts时，BD=3tcm，CM=tcm．
又∵MD=3AC，
∴BD+MD=3t+3AC=3（t+AC）cm，
即BM=3AM，
∴AM=14AB
（3）解：当点N在线段AB上时，如图所示：
∵AN−BN=MN，且AN−AM=MN，
∴BN=AM=14AB，
∴MN=12AB，
即MNAB=12
当点N在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AN−BN=MN，AN−BN=AB，
∴MN=AB，即MNAB=1．
综上所述，MNAB的值为12或1
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，解题的关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
【变式8-2】（2023·全国·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD=_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP:PB=_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求AP的长
【答案】(1)①12；②1:2
(2)92cm
【分析】（1）①先分别求出PC=2cm,BD=4cm，再根据AC+PD=AB−PC−BD即可得；
②设运动时间为ts，则PC=tcm,BD=2tcm，再根据线段中点的定义可得AP=2PC=2tcm,BP=2BD=4tcm，由此即可得；
（2）设运动时间为xs，则PC=xcm,BD=3xcm，从而可得BD=3PC，再根据PD=3AC可得PB=3AP，从而可得AP=14AB，由此即可得．
【详解】（1）解：①依题意得：PC=1×2=2cm,BD=2×2=4cm，
∵AB=18cm，点D仍在线段PB上，
∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12cm，
故答案为：12；
②设运动时间为ts，则PC=tcm,BD=2tcm，
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴AP=2PC=2tcm,BP=2BD=4tcm，
∴AP:PB=1:2，
故答案为：1:2．
（2）解：设运动时间为xs，则PC=xcm,BD=3xcm，
∴BD=3PC，
∵PD=3AC，
∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC=3AP，
∵PB+AP=AB，
∴3AP+AP=AB，
∴AP=14AB=14×18=92cm．
【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
（1）当t=3时，求线段MB的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好是MB的中点？
（3）当t为何值时，AM=2PB？
【答案】（1）当t=3时，MB=21；（2）当t=8；点P恰好是MB的中点；（3）t=485或t=16，AM=2PB．
【分析】（1）如图：当t=3时，先求出AP,然后再求出AM,最后根据MB=AB-AM求解即可；
（2）先求出AM=MP=t，再说明MP=PB=t，然后由AB=3AM=3t=24即可求得t；
（3）分P在线段AB上和P在线段AB延长线上两种情况解答即可．
【详解】解：（1）当t=3时，AP=3×2=6.
∵点M为AP的中点，
∴AM=12AP=12×6=3，
∴MB=AB−AM=24−3=21.
（2）∵点M为AP的中点，
∴AM=MP=12AP=12×2t=t.
∵点P是MB的中点，
∴MP=PB=t，
∴AB=3AM=3t=24，
∴t=8；
（3）当点P在线段AB上时，AM=t，
PB=AB−AP=24−2t，
∴t=224−2t，
解得t=485.
当P在线段AB的延长线上时，AM=t，
PB=AP−AB=2t−24，
∴t=22t−24，
解得t=16.
∴t=485或t=16．
【点睛】本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
【题型9 尺规作线段】
【例9】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AB=6．
(1)尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得BD+BC=AB；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若CM=2AC，求线段AD的长度．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）延长线段AB，在延长线上截取BD=AC即可；
（2）根据中点的定义求出AM=3，再根据CM=2AC求出AC=1，结合BD=AC即可求解．
【详解】（1）解：∵ AC+BC=AB，
∴若BD+BC=AB，则BD=AC，
以点B为圆心，AC长为半径作弧，与线段AB的延长线的交点即为点D，如下图所示：
；
（2）解：∵点M是线段AB的中点，AB=6，
∴ AM=12AB=12×6=3，
∵ CM=2AC，
∴ AC=11+2AM=13×3=1，
由（1）知BD=AC，
∴ AD=AB+BD=AB+AC=6+1=7．
【点睛】本题考查尺规作图——作一线段等于已知线段，中点的定义，线段的和差关系等，难度一般，解题的关键是熟练掌握上述知识点．
【变式9-1】（2023春·福建·七年级校考开学考试）如图，已知线段a，b，利用尺规作线段AB，使得AB=2a−b．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】首先作射线，再截取AC=CD=a，进而截取BD=b，即可得出AB=2a−b．
【详解】解：如图所示，AB即为所求，
．
【点睛】本题考查了复杂作图，正确作出射线进而截取得出是解题的关键．
【变式9-2】（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）如图,B,C两点在射线AM上，AC>BC，用圆规在射线BM上作一点D,使得BD=AC−BC．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】详见解析
【分析】先以点B为圆心，AC长为半径画弧与BM交于一点；再以该点为圆心，BC长为半径画弧与BM交于D点．
【详解】解：如图所示，点D即为所作：
【点睛】本题考查尺规作线段．理解题意即可作图．
【变式9-3】（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知线段a，b，c，求作：线段m，使m=a+c−b．
【答案】见解析
【分析】画出射线OP，以点O为圆心，a的长度为半径画弧，交射线OP于点A，再以点A为圆心，c的长度为半径画弧，在点A坐边交射线OP于点B，最后以点B为圆心，b的长度为半径画弧，在点B右边交射线OP于点C，OC即为所求．
【详解】解：如图所示：画出射线OP，以点O为圆心，a的长度为半径画弧，交射线OP于点A，再以点A为圆心，c的长度为半径画弧，在点A坐边交射线OP于点B，最后以点B为圆心，b的长度为半径画弧，在点B右边交射线OP于点C，OC即为所求．
∵OA=a,AB=b,BC=c，
∴OC=a+c−b=m．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题的关键是掌握画一条线段等于已知线段的方法和步骤，以及线段间的和差关系．
【题型10 线段中的对折问题】
【例10】（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图，将一段长为30厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′，B′处.
(1)如图2，若A′，B′恰好重合于点O处，展开拉直后如图3，求MN的长；
(2)若点A′落在B′的左侧，且A′B′=10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度；
(3)若点A′落在B′的右侧，且A′B′=10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度.
【答案】(1)15厘米
(2)20厘米
(3)10厘米
【分析】（1）根据线段中点的性质得出AM=MO=12AO，ON=BN=12OB，进而根据MN=MO+ON即可求解；
（2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出AM=12AA′，BN=12BB′，根据MN=AB−AM+BN即可求解；
（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′、B′处，A′、B′恰好重合于点O处，
∴AM=MO=12AO，ON=BN=12OB，
∴MN=MO+ON=12AO+OB=12AB=15cm；
（2）
∵AB=30cm，A′B′=10cm，
∴AA′+BB′=AB−A′B′=30−10=20cm.
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∵AM=12AA′，BN=12BB′，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12AA′+BB′=12×20=10cm，
∴MN=AB−AM+BN=30−10=20cm；
（3）当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′=AB+A′B′=40cm，
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12AA′+BB′=20cm.
∴MN=AB−AM+BN=30−20=10cm.
【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．
（1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；
（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得CD=0，即可确定答案；
（2）分两种情况：点D在线段AC上与点D在线段BC上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．
【详解】（1）解：由折中点含义得：AD=CD+BC，
而AC=BC，AD=AC−CD，
∴AC−CD=CD+AC，
∴CD=0，
即点D与点C重合；
故选：C；
（2）解：当点D在线段AC上时，
则CD+BC=AD=AC−CD，
∴BC=AC−2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC−2CD=10−2×2=6(cm)；
当点D在线段BC上时，如图，
则CD+AC=BD=BC−CD，
∴BC=AC+2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC+2CD=10+2×2=14(cm)；
综上，BC的长为6cm或14cm；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键．
【变式10-2】（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的绳子，A，B两点在线段OP上，OP=a，OA:AP=3:7，B为OA的中点．固定点A，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上（如图2所示）．
（1）若a=10．
①绳子折叠前，AB的长为 ；
②绳子折叠后，OP的长为 ；
（2）若从如图2所示的点B及与点B重叠处一起剪开，使得绳子分成三段，三段绳子由小到大的长度比为 ．
【答案】 32 4 3：6：11
【分析】（1）①根据题意可得OA=3，根据线段中点的性质即可求解；
②根据线段差的关系即可求解；
（2）根据OA，AP，OB，BP的比例关系，绳子长为a，结合（1）求出对应的线段长度即可解得．
【详解】（1）①∵OA:AP=3:7，B为OA的中点．OP=10，
∴OA=3，AB=12OA=32，
故答案为：32．
②∵折叠，则OP=10−2OA=10−6=4，
故答案为：4．
（2）根据（1）可得图2中的AB=32×a10=3a20，OP=4×a10=2a5，
剪开后的三段分别长为OB,2AB,BP，
∴OB=320a，2AB=3a10，BP=BO+OP=320a+2a5=1120a
∴三段绳子由小到大的长度比为320a:310a:1120a=3:6:11
故答案为：3:6:11．
【点睛】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键．
【变式10-3】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）学校举行叠被子比赛，最后成品要求如图1所示．图2是被子的平面图（长方形ABCD），被子的长度AD=200cm，宽度AB=150cm，具体折法如下：首先把被子平铺分成五份（图2），将长方形NBCK向上翻折作为中间层，再将长方形AEHD向下翻折作为上层，折叠时需要考虑被子的厚度和平整性（AE=FM=NB+12MN），接着按照如图3方式折叠，最终折成如图1所示．折完后被子高度是24cm，假设被子的厚度是均匀的，且不考虑折叠中间缝隙，则未折叠时被子的厚度为 cm，图3中长方形FMQP的面积为 cm2．
【答案】 2 49703
【分析】由题图2折了三层，题图3折了四层，折完共3×4=12层，由此24÷12=2cm，所以未折时被子厚2cm，在图3中，AB相当于折完后被子高，即AB=24cm，所以PC=DE=12AB=12cm，且AC=BD，EG=PF，可得AC+BD+EG+PF=2AC+2PF=200−AB−PC−DE=152，所以AC+PF=76，由折叠可知AC=PF+6，建立方程可得PF的长，在题图2中，MN是两层被子厚度，所以MN=4cm，同理EF=6cm，利用AE+EF+MF+MN+BN=150，求得MF的值，即可得出矩形面积．
【详解】解：∵题图2折了三层，题图3折了四层，折完共3×4=12层，
∴24÷12=2cm，
∴未折时被子厚2cm，
如图，AB相当于折完后被子高，即AB=24cm，
∴PC=DE=12AB=12cm，且AC=BD，EG=PF，
∴AC+BD+EG+PF=2AC+2PF=200−AB−PC−DE=152，
∴AC=PF+6，
折叠后可知AC=PF+6，
∴2PF+6=76，即PF=35，
在题图2中，MN是两层被子厚度，
∴MN=4cm，同理EF=6cm，
∴AE+EF+MF+MN+BN=MF+6+MF+4+MF−12MN=3MF+8=150，
∴MF=1423，
∴S=1423×35=49703cm2．
故答案为：2；49703．
【点睛】本题主要考查线段的和差问题，将图2与图3放在一起理解题意是解题关键．
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