高考数学一轮复习第二章专题一第一课时导数方法证明不等式课件

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函数与导数的综合问题一般是高考大题中的重难题型，一般两问.第一问考查求曲线的切线方程、求函数的单调区间、由函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数等，属于基础问题；第二问一般为利用导数证明不等式、不等式恒成立求参数的取值范围、求函数的零点等问题，重点考查函数的思想、转化的思想及分类讨论的思想.
第1课时　导数方法证明不等式
利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再根据单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合问题中的一个难点，也是近几年高考的热点.
解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是解题的关键.
题型一 单变量不等式的证明
考向1 利用移项构造法证明不等式
[例 1](2023 年全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论 f(x)的单调性；
【反思感悟】单变量不等式的证明方法
(1)移项法：将证明不等式 f(x)＞g(x)[或 f(x)＜g(x)]的问题转化为证明 f(x)－g(x)＞0[或 f(x)－g(x)＜0]，进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x).
(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.
(3)最值法：欲证f(x)＜a(a为常数)，可以证明fmax(x)＜a.
考向 2 转化为两个函数的最值进行比较[例 2]已知 f(x)＝x ln x.
(1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
由 m′(x)＜0 得 x＞1 时，m(x)单调递减，由 m′(x)＞0 得 0＜x＜1 时，m(x)单调递增，
在需要证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，则可以借助两个函数的最值进行证明.
题型二 双变量不等式的证明考向 1 利用换元法证明双变量不等式问题
故函数 g(x)在 x∈(e，＋∞)上单调递减.又 a＜b，且 a，b∈(e，＋∞)，所以 g(a)＞g(b)，
结合所证问题，巧妙引入变量c＝　，从而构造相应的函数.其解题
换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数 a，再
3.已知函数 f(x)＝ln x－ax(x＞0)，a 为常数，若函数 f(x)有两个
零点x1，x2(x1≠x2).求证：x1x2＞e2.
考向 2 极值点偏移问题
[例 4](2021 年全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝x(1－ln x).(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)设 a，b 为两个不相等的正数，且 b ln a－a ln b＝a－b，证
(1)解：由函数的解析式可得 f′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，∴x∈(0，1)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
令h(x)＝f(x)－f(2－x)，则h′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－ln x－ln (2－x)＝－ln [x(2－x)]在(0，1)上单调递减，∴h′(x)＞h′(1)＝0，故函数h(x)在(0，1)上单调递增，∴h(x1)＜h(1)＝0.∴f(x1)＜f(2－x1)，∴2＜x1＋x2，得证.同理，要证x1＋x2＜e，
(方法一)即证1＜x2＜e－x1，根据(1)中f(x)的单调性，即证f(x2)＝f(x1)＞f(e－x1)，令φ(x)＝f(x)－f(e－x)，x∈(0，1)，则φ′(x)＝－ln [x(e－x)]，令φ′(x0)＝0，x∈(0，x0)，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，x∈(x0，1)，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，又0＜x＜e时，f(x)＞0，且f(e)＝0，
故当x→0＋时，φ(x)→0，∴φ(1)＝f(1)－f(e－1)＞0，∴φ(x)＞0恒成立，∴x1＋x2＜e得证.(方法二)f(x1)＝f(x2)，x1(1－ln x1)＝x2(1－ln x2)，　又x1∈(0，1)，故1－ln x1＞1，x1(1－ln x1)＞x1，∴x1＋x2＜x1(1－ln x1)＋x2＝x2(1－ln x2)＋x2，x2∈(1，e)，令g(x)＝x(1－ln x)＋x，
g′(x)＝1－ln x，x∈(1，e)，
在(1，e)上，g′(x)＞0，g(x)单调递增，∴g(x)＜g(e)＝e，
即x2(1－ln x2)＋x2＜e，∴x1＋x2＜e，得证.
当某一函数在其定义域上存在极值时，若极值点左右增减速度相同，则该函数图象为对称图形.若极值点左右增减速度不同，则会出现对称性消失，函数图象偏移，这种情况称为极值点偏移.近几年导数中双参问题经常出现，难度较大.破解含双参问题的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
4.(2022年南通市模拟)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2.证明：x1＋x2>2.
因为x0，2－x>x，所以e2-x>ex，即e2-x－ex>0，所以H′(x)>0，所以H(x)在(－∞，1)上单调递增.所以H(x1)