高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件

这是一份高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件，共54页。PPT课件主要包含了3πB2，C2π，D3π，图6-1，答案C，答案A，内切球半径r＝，V棱锥S表，图D33，图D34等内容，欢迎下载使用。

简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力.此类问题实质是解决球的半径长或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键.
定义法一般用于解决旋转体、正棱锥以及正棱柱的切、接问题.球心一般在旋转体的轴或正棱锥的高所在的直线上，解题的关键是先作轴截面并大致作出球心，再用待定系数法把关键长度设为未知数，根据外接球的球心到球面上各点距离相同、内切球的球心到各切点距离相同，最后用勾股定理等几何方法求出球的半径.
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
[例 2]棱长为 1 的正四面体 ABCD 内有一个内切球 O，M 为CD 中点，N 为 BM 中点，连接 AN 交球 O 于 P，Q 两点，则 PQ
解析：如图6-2所示，设△BCD的中心为E，则AE⊥平面BCD.图 6-2因为正四面体 ABCD 的棱长为 1，
作出正四面体 ABCD 过 A，B，M 三点的截面，如图 6-3 所示.图 6-3
【题后反思】三棱锥的内切球半径可通过等体积法求得，即
.注意四棱锥不一定有内切球.
1.某圆台的上、下底面半径分别为 1 和 2，若该圆台的外接球
的表面积为 16π，则该圆台的高为__________.
解析：因为圆台上、下底面的圆心与球心在同一直线上，所以设球心到上底面的距离为 d1，到下底面的距离为 d2，圆台的轴截面如图 D33 所示.
因此球的半径 R 满足 R2＝r2＋d2＝12＋3＝15.所以外接球的表面积 S＝4πR2＝4π×15＝60π.答案：60π
若几何体可通过补形的方法变成常见的易求外接球的几何体(如长方体、圆柱、直棱柱等)，可通过求补形后的几何体的外接球半径来确定原几何体的外接球半径.
∴PA2＋PB2＋PC2＝8.
以 PA ，PB，PC 为过同一顶点的三条棱作
长方体，如图 6-4 所示.
[例 5]在三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝
BD＝3，则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为(
解析：如图6-5，把三棱锥 A-BCD补形为长方体AHDG-EBFC.
长方体的外接球为三棱锥 A-BCD 的外接球.
外接球，所得截面的面积是
[例 6](多选题)在《九章算术》中，四个面都为直角三角形的四面体被称为鳖臑.如图 6-6，在四面体 S-ABC 中，△ABC 是直角三角形，AB⊥BC，点 E，F 分别是 SB，BC 的中点，且 AE⊥SC，
SA＝AB＝2，SC＝2
　，BC＝4，则下列说法正确的是(
A.BC⊥平面 SABB.四面体 S-ABC 是鳖臑C.点 E 是四面体 S-ABC 外接球的球心D.过 A，E，F 三点的平面截四面体 S-ABC 的
解析：∵SA＝AB，SE＝EB，∴AE⊥SB.又 AE⊥SC，SB∩SC＝S，
∴AE⊥平面 SBC，则 AE⊥BC.又 AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB，故 A 正确.
由 BC⊥平面 SAB，得 BC⊥SA，∵AB＝2，BC＝4，
又 SA＝2，SC＝2
∴SA2＋AC2＝SC2，可得SA⊥AC.而 AC∩BC＝C，∴SA⊥平面 ABC.综上所述，四面体 S-ABC 的四个面都是直角三角形，四面体S-ABC 是鳖臑，故 B 正确.∵△SAC，△SBC 都是以 SC 为斜边的直角三角形，则 SC 的中点 G 为四面体 S-ABC 外接球球心，故 C 错误.
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN，其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱，点 H 为 PM 中点.
解析：如图 D35 所示，把正四面体 P-ABC 补全为正方体
AMPN-HBGC，其中正四面体的楞均为正方体表面的对角线.正四面体 P-ABC 外接球的球心为正方体的中心 O，F 为 AC 中点，连接 OF.
∵点 Q 是球面上任意一点，
4.(多选题)如图 6-8，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形，BF⊥底面 ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，点 G 为线
段 AF 上的动点.下列说法正确的是(
A.DF⊥平面 AECB.多面体 ABCDEF 的外接球的表面积为 3π
解析：如图 D36 所示建立空间直角坐标系.
D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
E(0，0，1)，F(1，1，1).
又 AC∩AE＝A，∴DF⊥平面 AEC，故 A 正确.
∵底面 ABCD 为正方形，BF⊥底面 ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，∴几何体 ABCDEF 可以补成一个棱长为1的正方体，如图 D37 所示.
取 DF 的中点 O，可得 O 为正方体外接球的球心，即 O 为几何体 ABCDEF 外接球的球心.
∴几何体 ABCDEF 的外接球的半径为 R＝
其表面积为S＝4πR2＝3π，故B正确.
如图 D38 所示，把△ADF 沿AF折成与△BAF共面，连接BD.
【题后反思】补形法的注意事项
(1)若几何体存在三条两两互相垂直的棱，可通过构造墙角模型把几何体补形为长方体(如图 6-9)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2 求出外接球的半径 R.
(2)若三棱锥的对棱两两等长，则可把六条棱看作是长方体六个面的对角线(如图 6-10)，通过列方程组的方式求出长方体的体对角线的长度，外接球的半径 R 为长方体的体对角线的一半.特别地，正四面体可补形成正方体，这也是正四面体常用的
(3)需要注意的是，原几何体的顶点必须是补形后几何体的顶点，否则不能通过补形法来求外接球.
题型三 利用三角形的外心探索外接球BD⊥CD.将其沿对角线 BD 折成四面体 A′BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD.若四面体 A′BCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为
解析：如图 6-11，设 BD，BC 的中点分别为 E，F，连接 A′E，EF.∵点 F 为底面 Rt△BCD 的外心，∴四面体 A′BCD 的外接球的球心必在过点F且与平面BCD垂直的直线l1上.又点E为Rt△A′BD
∴外接球的球心必在过点 E 且与平面 A′BD 垂直的直线 l2 上.∴球心为 l1 与 l2 的交点.又 FE∥CD，CD⊥BD，
∴FE⊥平面 A′BD.∴球心为点 F.又 A′B＝A′D＝CD＝1，
【题后反思】(1)三棱锥外接球的球心在三棱锥各个面上的正投影为各个面三角形的外心.(2)若三棱锥中有一条侧棱与底面垂直，则三棱锥外接球的半
，其中 r 是底面三角形外接圆的半径，h 是三棱
【互动探究】5.在边长为 3 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，将△ABD 绕直线 BD 旋转到△A′BD，使得四面体 A′BCD 外接球的表面积为 18π，
则此时二面角 A′-BD-C 的余弦值为(
解析：如图 D39 所示，取 BD 的中点 E，连接 A′E，CE，则BD⊥A′E，BD⊥CE.由题意可知△A′BD 和△BCD 都是边长为 3 的等边三角形，设 M，N 分别是△A′BD和△BCD的外心，过 M，N 分别作两平面的垂线，则垂线的交点就是四面体外接球的球心 O.
∴∠A′EC 为二面角 A′-BD-C 的平面角.设∠A′EO＝θ，则∠A′EC＝2θ.
∵四面体 A′BCD 外接球的表面积为 18π，
∴外接球的半径 R 满足 4πR2＝18π.