高考数学一轮复习第九章第四讲随机事件与概率课件

这是一份高考数学一轮复习第九章第四讲随机事件与概率课件，共53页。PPT课件主要包含了运算法则，频率与概率，事件的关系与运算，概率的基本性质，5对立事件的概率，PAn，常用结论，答案A，答案ABC，题后反思等内容，欢迎下载使用。
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随
机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，掌握随机事件概率的
3.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的
意义以及频率与概率的区别.
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率 P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率 P(∅)＝0.(4)互斥事件的概率
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B).(6)如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B).
(7)设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(A∩B).
【名师点睛】概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋
(1)当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B对立时，一定互斥.两事件互斥是对立的必要不充分条件.(2)随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件 A 发生的频率逐渐稳定于事件 A 发生的概率.
考点一 随机事件与样本空间1.在 5 张电话卡中，有 3 张 A 卡和 2 张 B 卡，从中任取 2 张，
A.至多有一张 A 卡C.都不是 A 卡
B.恰有一张 A 卡D.至少有一张 A 卡
解析：由题意知“2 张全是 A 卡”的对立事件是“至多有一
2.(多选题)袋中装有标号分别为 1，3，5，7 的四个相同的小
球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是(A.取出的两球标号为 3 和 7B.取出的两球标号的和为 4C.取出的两球的标号都大于 3D.取出的两球的标号的和为 8
解析：基本事件即只含有一个样本点的事件，选项 A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件；D 中包含取出标号为 1 和 7，3 和 5 两个样本点，所以 D 不是基本事件.
3.(一题两空)从 1，2，3，…，10 中任意选一个数，这个试验的样本空间为________________________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________.
解析：任选一个数，共有 10 种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有 5 个，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 5.
答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5
(1)判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件
(2)确定样本空间的方法
①必须明确事件发生的条件；
②根据题意，按一定的次序列出样本空间.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
考点二 事件的关系与运算1.盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件A＝{3 个球中有 1 个红球，2 个白球}，事件 B＝{3 个球中有 2 个红球，1 个白球}，事件 C＝{3 个球中至少有 1 个红球}，事件
E＝{3 个红球}，那么事件 C 与 A，B，E 的运算关系是(
A.C＝(A∩B)∪EC.C＝(A∪B)∩E
B.C＝A∪B∪ED.C＝A∩B∩E
解析：事件 C 要求抽出的 3 个球中至少有 1 个红球，共有 3种情况，即抽出了 1 个、2 个或者 3 个红球.而上述三种情况又分别对应事件 A、事件 B 和事件 E，因此 C＝A∪B∪E.故选 B.
2.(多选题)从有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个小球，
A.“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
解析：“至少一个红球”和“都是红球”的交事件为“都是红球”，因此“至少一个红球”和“都是红球”不互斥，故 A 错误.“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，两者互斥，故 B 正确.“至少一个黑球”的对立事件是“没抽出黑球”，即“都是红球”，因此“至少一个黑球”和“都是红球”互为对立事件，故 C 正确.除了“恰有一个红球”或“都是红球”以外，还有可能是“没抽出红球”，因此“恰有一个红球”和“都是红球”不互为对立事件，故 D 错误.故选 BC.
3.(一题两空)对气球连续射击两次，每次发射一枚弓箭，设 A＝{两次都击中气球}，B＝{两次都没击中气球}，C＝{恰有一次击中气球}，D＝{至少有一次击中气球}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________.解析：A∩B＝A∩C＝B∩C＝B∩D＝∅，因此 AB，AC，BC，BD 均为互斥事件.对于 BD 而言，除了 B 或 D 以外没有其他可能的情况，BD 互为对立事件.
答案：AB，AC，BC，BD　BD
(1)判断互斥、对立事件的两种方法
①定义法：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则称这两个事件互为对立事件；②集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集.
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用 Venn 图分析事件.
考点三 随机事件的频率与概率
[例 1]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的
(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获
得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取 1 部电影，求这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋
200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋
510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【题后反思】频率与概率的区别
某河流上有一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(毫米)有关.据统计，当 X＝70时，Y＝460；X 每增加 10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成下面的近 20 年六月份降雨量频率分布表.
(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率.
解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160
毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表如下.
考点四 互斥事件、对立事件的概率
[例 2](1)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C.求：
①P(A)，P(B)，P(C)；②1 张奖券的中奖概率；
③1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
次品)中，任意抽取 2 个，下列事件发生概率为 　 的是(
(2)(2021 年河南省模拟)从 5 个同类产品(其中 3 个正品，2 个
A.2 个都是正品B.恰有 1 个是正品C.至少有 1 个正品D.至多有 1 个正品
1－P(A)，即运用逆向思维“正难则反”.特别是“至多”“至少”
【题后反思】求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的
概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝
型题目，用间接求法更为简便.
提醒：(1)应用互斥事件概率的加法公式，一定要先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差).间接法体现了“正难则反”的思想方法.
(2)应用概率加法公式解决问题的关键在于理解两个事件 A，
B 的交事件 A∩B 的含义，准确求出其概率.
【变式训练】1.(2021 年抚州市月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件 B＝“抽到二等品”，事件 C＝“抽到三等品”，且已知 P(A)＝0.7，P(B)＝0.15，P(C)＝0.1，则事件
“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
解析：事件“抽到的不是一等品”与事件“抽到一等品”互
为对立事件，所以事件“抽到的不是一等品”的概率 P( )＝1－
P(A)＝1－0.7＝0.3.故选 D.
＝0.3，P(B)＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________.
2.(2021年黄山市期末)已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)
解析：三个事件 A，B，C 两两互斥，因为 P(　)＝0.6，所以
P(B)＝1－0.6＝0.4，则 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
⊙用“正难则反”的思想求对立事件的概率
[例 3](1)(2021 年湖州市期末改编)现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球不都相邻的概率是________.
(2)(2021 年洛阳市模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等
候的人数及相应的概率如下：
①至多 2 人排队等候的概率是多少？②至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥.
①记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件
G，所以 P(H)＝1－P(G)＝0.44.
【反思感悟】“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件 A 与事件 B 互为对立事件，在求 P(A)或 P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个.
1.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，数据如下表所示.
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以 x＝15，y＝ 20.则顾客一次购物的结算时间的平均值的
(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1 ，A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视为
2.一个盒子中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白
球，1 个绿球.从中随机取出 1 个球，求：
(1)取出的球是红球或黑球的概率；
(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.