新高考数学一轮复习导学案第17讲指、对、幂的大小比较（微专题）（2份打包，原卷版+解析版）

2024精品成套高中数学一轮复习资料 2021-2024年高考数学一轮复习知识练习（含答案解析）

2024-08-04 17:26
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新高考一轮复习导学案第17讲指、对、幂的大小比较（微专题）（原卷版）.doc
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1. 求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
2. 利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg223. 利用函数单调性比较大小．
题型一、求同存异(化为同底或同指数)
例1 (1) (2022·怀化一模)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
【答案】D
【解析】由指数函数的性质可知，a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))∈(0,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))∈(0,1)，c＝ln3>1，且a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \r(3,\f(1,4))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))＝eq \r(3,\f(1,3))，所以b>a，故c>b>a.
(2) (2022·唐山期末)设a＝lg23，b＝lg34，c＝lg48，则( )
A. bC. a【答案】A
【解析】 lg34＝lg2764＝eq \f(1,lg6427)，lg48＝lg1664＝eq \f(1,lg6416)，函数y＝lg64x在(0，＋∞)上单调递增，所以lg6427>lg6416>0，所以eq \f(1,lg6427)lg48，所以cc>b.
变式1、 (2022·湛江二模)若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则( )
A. c>b>a B. b>c>a
C. c>a>b D. a>b>c
【答案】A
【解析】因为a＝lg 0.2＝lgeq \f(2,10)＝lg2－1<0，c＝lg64＝lgeq \r(,6)2>lg32＝b>0，所以c>b>a.
题型二、利用特殊值作“中间量”
例1、（2020年天津卷）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C . SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝，b＝lg660，c＝ln6，则（）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性判断．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
A.，，，，故A不正确；
B.,,，故B正确；
C.要判断，即判定，即判定，
即，即，即成立，故C正确；
D.，，，且，
，，故D正确.
故选：BCD
题型三、利用函数的单调性比较大小
例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设，则（）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】
因为，可得函数均是减函数，
可得，，所以CD不正确；
又由函数是增函数，是减函数，可得，且，
所以，所以故A正确；
因为，可得，所以函数是增函数，可得，所以B正确.
故选：AB.
变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 则下列说法正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称可知， SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则有 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
就是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D

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