新高考数学一轮复习导学案第37讲 平面向量的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1、 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(4)求夹角问题：利用夹角公式csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝
eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(5)用向量方法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2、向量在解析几何中的应用
(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝eq \f(a2,a1)；如果已知直线的斜率为k＝eq \f(a2,a1)，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．
(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝eq \f(a2,a1)(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－eq \f(a1,a2)(x－x0)．
1、设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
2、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为________．
1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λ(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
2、在△ABC中，(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是________三角形．( )

A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角
3、 若O为△ABC所在平面内的任意一点，且满足（ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))）·（ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))－2 eq \(OA,\s\up6(→))）＝0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
4、 已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BF,\s\up6(→))＝－9，则λ的值为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
考向一 平面向量在平面几何中的应用
例1、（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心．
（2）等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
（3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝________.
变式1、如图，正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，动点 SKIPIF 1 < 0 从顶点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．9B．10C．11D．12
变式2、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数
考向二 平面向量与三角综合
例2、已知a＝(cs x，2cs x)，b＝(2cs x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1) 将函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调增区间；
(2) 当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．
变式1、本题中，求|a－b|的最大值．
变式2、 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
考向三 平面向量与解析几何
例3 (1)已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k