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    新高考数学一轮复习导学案第38讲 复数(2份打包,原卷版+解析版)

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    新高考数学一轮复习导学案第38讲 复数(2份打包,原卷版+解析版)

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    这是一份新高考数学一轮复习导学案第38讲 复数(2份打包,原卷版+解析版),文件包含新高考一轮复习导学案第38讲复数原卷版doc、新高考一轮复习导学案第38讲复数解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。
    1、复数的有关概念
    (1)复数的意义:形如z=a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1,a叫做实部,b叫做虚部,复数集记作C,数集N、Z、Q、R、C的关系
    (2)复数的模:z=a+bi,|z|=eq \r(a2+b2).
    (3)复数相等:z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z1=z2,则a1=a2,b1=b2.
    (4)共轭复数:z=a+bi,z-=a-bi;z与z-互为共轭复数.
    2、 复数的四则运算
    (1)复数的加、减、乘、除运算法则.
    设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
    ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
    ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
    ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
    ④除法:eq \f(z1,z2)=eq \f(a+bi,c+di)=eq \f((a+bi)(c-di),(c+di)(c-di))
    =eq \f((ac+bd)+(bc-ad)i,c2+d2)(c+di≠0).
    3、复数的几何意义
    (1)复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
    (2)实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.
    4、 复数的几何表示
    复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.
    1、【2022年全国甲卷】若.则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,所以,所以.
    故选:D.
    2、【2022年全国甲卷】若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】
    故选 :C
    3、【2022年全国乙卷】设,其中为实数,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为R,,所以,解得:.
    故选:A.
    4、【2022年全国乙卷】已知,且,其中a,b为实数,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】
    由,得,即
    故选:
    5、【2022年新高考1卷】若,则( )
    A.B.C.1D.2
    【答案】D
    【解析】由题设有,故,故,
    故选:D
    6、【2022年新高考2卷】( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】,
    故选:D.
    7、(2021·全国高三专题练习(理))已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位,且 SKIPIF 1 < 0 ,复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则复数 SKIPIF 1 < 0 对应点的轨迹方程为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,由题意知 SKIPIF 1 < 0 ,则复数 SKIPIF 1 < 0 对应点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:C.
    8、(2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国Ⅰ卷))
    已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 0D. 1
    【答案】A
    【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    9、(2023年全国新高考Ⅱ卷)在复平面内, SKIPIF 1 < 0 对应的点位于( ).
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】A
    【解析】
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则所求复数对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ,位于第一象限.
    故选:A.
    1、(2022·河北深州市中学高三期末)已知复数 SKIPIF 1 < 0 (其中i为虚数单位, SKIPIF 1 < 0 )在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ,则实数a的值为( )
    A.1B.2C. SKIPIF 1 < 0 D.0
    【答案】A
    【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为复数在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0
    故选:A
    2、(2022·河北张家口·高三期末)已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:A.
    3、(2022·山东枣庄·高三期末)已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位,则 SKIPIF 1 < 0 ( ).
    A.1B. SKIPIF 1 < 0 C.ID. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【解析】
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    4、(2022·山东德州·高三期末)已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为虛数单位,则复数z在复平面内所对应的点在( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】A
    【解析】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    则复数z在复平面内所对应的点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,在第一象限.
    故选:A
    5、(2022·山东临沂·高三期末)已知复数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为虚数单位,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 .
    故选:C
    考向一 复数的有关概念
    例1、已知复数z=eq \f(m2-7m+6,m2-1)+(m2-5m-6)i(m∈R),试求实数m分别取什么值时,z分别为:
    (1) 实数;
    (2) 虚数;
    (3) 纯虚数.
    【解析】:(1) 当z为实数时,
    则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2-5m-6=0,,m2-1≠0.)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m=-1或m=6,,m≠±1,))
    所以m=6,即m=6时,z为实数.
    (2) 当z为虚数时,则有m2-5m-6≠0且eq \f(m2-7m+6,m2-1)有意义,所以m≠-1且m≠6且m≠1.
    ∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.
    (3) 当z为纯虚数时,则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2-5m-6≠0,,\f(m2-7m+6,m2-1)=0,))
    所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠-1且m≠6,,m=6且m≠±1.))故不存在实数m使z为纯虚数.
    变式1、(1)(2022·广东潮州·高三期末)已知i为虚数单位,复数 SKIPIF 1 < 0 ,则z的虚部为( )
    A.0B.-1C.-iD.1
    【答案】B
    【解析】
    SKIPIF 1 < 0 .则z的虚部为-1.
    故选:B.
    (2)(2022·山东淄博·高三期末)已知复数z是纯虚数, SKIPIF 1 < 0 是实数,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A.- SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.-2 SKIPIF 1 < 0 D.2 SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【解析】
    由题意设 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 是实数,所以 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:B
    (3)(2022·江苏常州·高三期末) SKIPIF 1 < 0 是虚数单位,已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足等式 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 ________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【解析】
    由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0
    则有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,故有 SKIPIF 1 < 0
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    变式2、(2022·河北唐山·高三期末)(多选题)已知复数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ), SKIPIF 1 < 0 是z的共扼复数,则下列命题中的真命题是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】AC
    【解析】
    解:对于A选项, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故正确;
    对于B选项, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故错误;
    对于C选项, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故正确;
    对于D选项, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,故错误.
    故选:AC
    方法总结: (1)解决复数问题,首先要看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)对于复数的分类问题,可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组.特别要注意:纯虚数的充要条件是:a=0且b≠0.
    考向二 复数的运算
    例2、(1)已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位,若复数 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【解析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:B.
    (2) SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    (3)已知i是虚数单位,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【解析】由题可知: SKIPIF 1 < 0
    所以 SKIPIF 1 < 0
    故选:D
    变式1、(1)(2022·河北保定·高三期末) SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B
    (2)(2022·山东省淄博实验中学高三期末)设复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.1D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【解析】因复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:C
    (3)(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末)若 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A.2iB.2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B
    方法总结: (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则.
    (2)遇到复数的运算与复数概念的综合题,先设z=a+bi,再通过四则运算,计算出a,b的值.
    考向三 复数的几何意义
    例3、(1)已知复数z=x+yi,且|z-2|=eq \r(3),则eq \f(y,x)的最大值为____
    【答案】eq \r(3)
    【解析】∵|z-2|=
    eq \r((x-2)2+y2)=eq \r(3),
    ∴(x-2)2+y2=3.由图可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\d7(max)=eq \f(\r(3),1)=eq \r(3).
    变式1、设复数z=lg2(m2-3m-3)+ilg2(m-2),m∈R对应的向量为 eq \(OZ,\s\up6(→)).
    (1) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上,求实数m及| eq \(OZ,\s\up6(→))|的值;
    (2) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内,求实数m的取值范围.
    【解析】 (1) 由题意,得lg2(m2-3m-3)=0,
    所以m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.
    因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2-3m-3>0,,m-2>0,))
    所以m=4,此时z=i, eq \(OZ,\s\up6(→))=(0,1),| eq \(OZ,\s\up6(→))|=1.
    (2) 由题意,得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2(m2-3m-3)0,,m2-3m-3>0,,m-2>0,))
    解得 eq \f(3+\r(21),2)

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