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    新高考数学一轮复习导学案第65讲 双曲线的标准方程与性质(2份打包,原卷版+解析版)

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    一、 双曲线的定义
    平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
    集合P={Meq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))))-\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))))=2a},eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.
    (1)当a<c时,点P的轨迹是双曲线;
    (2)当a=c时,点P的轨迹是两条射线;
    (3)当a>c时,点P不存在.
    二 、双曲线的标准方程和几何性质
    常用结论
    1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a),也叫通径.
    2、与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=t(t≠0).
    3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
    4、若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
    1、设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点,下列四个点中,可为线段 SKIPIF 1 < 0 中点的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    2、点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    3、双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 作其中一条渐近线的垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,则双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    4、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
    5、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ,则该双曲线的渐近线方程为 .
    6、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 .
    7、双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 .
    8、设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点, SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B.3C. SKIPIF 1 < 0 D.2
    9、设双曲线C: SKIPIF 1 < 0 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 SKIPIF 1 < 0 .P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
    A.1B.2C.4D.8
    1、双曲线 eq \f(x2,3)- eq \f(y2,2)=1的焦距为( )
    A. 5 B. eq \r(5)
    C. 2 eq \r(5) D. 1
    2、已知双曲线C: eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的焦距为 2 eq \r(5),点P(2,1)在双曲线C的一条渐近线上,则双曲线C的方程为( )
    A. x2- eq \f(y2,4)=1 B. eq \f(x2,4)-y2=1
    C. eq \f(3x2,20)- eq \f(3y2,5)=1 D. eq \f(x2,16)- eq \f(y2,4)=1
    3、设P是双曲线eq \f(x2,16)-eq \f(y2,20)=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )
    A.1 B.17
    C.1或17 D.以上均不对
    4、已知方程eq \f(x2,1+k)-eq \f(y2,1-k)=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    5、 中心在坐标原点,离心率为eq \f(5,3)的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    6、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1与双曲线C2共焦点,双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分,两曲线的交点与两焦点共圆,则双曲线C2的离心率为________.
    考向一 双曲线的定义
    例1 (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )
    A.椭圆 B.双曲线
    C.抛物线 D.圆
    (2)eq \r(x2+(y-3)2)-eq \r(x2+(y+3)2)=4表示的曲线方程为( )
    A.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,5)=1(x≤-2) B.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,5)=1(x≥2)
    C.eq \f(y2,4)-eq \f(x2,5)=1(y≤-2) D.eq \f(y2,4)-eq \f(x2,5)=1(y≥2)
    变式、已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
    方法总结:(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.
    (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立为|PF1|·|PF2|的关系.
    (3)在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支.
    考向二 双曲线的标准方程
    例2、根据下列条件,求双曲线的标准方程:
    (1) 虚轴长为12,离心率为 eq \f(5,4);
    (2) 焦距为26,且经过点M(0,12);
    (3) 经过点P(-3,2 eq \r(7))和点Q(-6 eq \r(2),-7);
    (4) 焦点在x轴上,焦距为10,与双曲线 eq \f(y2,4)-x2=1有相同的渐近线.
    变式、(1)已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为eq \r(2).若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为____.
    (2)与双曲线eq \f(x2,9)-eq \f(y2,16)=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2eq \r(3))的双曲线的标准方程为___.
    方法总结:求双曲线标准方程的一般方法
    (1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0).
    (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
    考向三 双曲线的性质
    例3、已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,一条渐近线方程是y= eq \f(2,3)x,两准线间的距离为18,求双曲线的方程.
    变式1、(1)双曲线(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在双曲线C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|,则双曲线C的渐近线方程为 ▲ .
    (2)从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为
    A.eq \r(,2) B.eq \f(\r(,6),2) C.eq \f(3\r(,5),5) D.eq \f(4\r(,7),7)
    A
    D
    C
    O
    B
    图1 图2
    变式2、(1)已知F1,F2是双曲线 eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是________.
    (2)已知点P为双曲线C:EQ \F(x\S(2),a\S(2))-\F(y\S(2),b\S(2))=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为C的左,右焦点,直线PF1与C的一条渐近线垂直,垂足为H,若PF1=4HF1,则该双曲线的离心率为
    A.EQ \F(\R(,15),3) B.EQ \F(\R(,21),3) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
    (3)若双曲线eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线的斜率大于eq \f(2\r(3),3),则双曲线离心率的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),3),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(21),3)))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2),+∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(7),2)))
    (4)已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则双曲线的离心率e的最大值为________.
    方法总结:求双曲线离心率或其取值范围的方法:
    (1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.
    (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.
    1、双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,双曲线上一点P到 SKIPIF 1 < 0 的距离为11,则点P到 SKIPIF 1 < 0 的距离为( )
    A.1B.21C.1或21D.2或21
    2、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的中心为坐标原点,一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,则 SKIPIF 1 < 0 的方程为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    3、设双曲线eq E:x\s\up6(2)-\f(y\s\up6(2),3)=1的左右焦点为F1,F2,左顶点为A,点M是双曲线E在第一象限内的一点,直线MF1交双曲线E的左支于点N,若NA∥MF2,则|MF2|=
    A.eq \f(7,4) B.eq \f(5,2) C.eq \f(8,3) D.eq \f(11,4)
    4、已知eq F\s\d(1),F\s\d(2)是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且eq ∠F\s\d(1)PF\s\d(2)=60°,eq |PF\s\d(1)|=3|PF\s\d(2)|,则C的离心率为
    A.eq \f(\r(,7),2) B.eq \f(\r(,13),2) C.eq \r(,7) D.eq \r(,13)
    5、在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))-\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于x轴的直线与C交于P,Q两点,F1Q与y轴的交点为R,F1Q⊥PR,则C的离心率为
    A.eq \r(,2) B.eq \r(,3) C.2 D.eq \r(,5)
    6、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上存在点P使得 SKIPIF 1 < 0 到左焦点的距离等于 SKIPIF 1 < 0 到右准线的距离的6倍,则双曲线的离心率的取值范围是 .
    标准方程
    eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)
    eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)
    图形
    性质
    范围
    x≥a或x≤-a,y∈R
    y≤-a或y≥a,x∈R
    对称性
    对称轴:坐标轴,对称中心:原点
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0)
    A1(0,-a),A2(0,a)
    渐近线
    y=±eq \f(b,a)x
    y=±eq \f(a,b)x
    离心率
    e= eq \f(c,a) ,e∈(1,+∞)
    a,b,c的关系
    c2=a2+b2
    实虚轴
    线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(A1A2))=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(B1B2))=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长

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