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新高考数学一轮复习导学案第69讲 圆锥曲线中的定点问题（微专题）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习导学案第69讲 圆锥曲线中的定点问题（微专题）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习导学案第69讲圆锥曲线中的定点问题微专题原卷版doc、新高考一轮复习导学案第69讲圆锥曲线中的定点问题微专题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】(1)根据双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 和焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 列出方程组，解之即可；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，再求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点所在的直线方程即可求解.
【详解】（1）由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取渐近线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
由焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点.
【解析】 (1)由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以，椭圆C的标准方程 SKIPIF 1 < 0
(2)
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入得
SKIPIF 1 < 0 ，化简得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)
所以直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0
变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 （不经过点 SKIPIF 1 < 0 ）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出该点的坐标．
【解析】 (1)由题设， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立直线与椭圆有 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 才满足题设，不符合；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，符合．
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于另一点D，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
（2）可设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 ，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，整理分析即可得出结论.
(1)
解：因为双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为零，
设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
题型二 圆锥曲线中的圆过定点问题
例2、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为3.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）根据题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和双曲线方程组，可得 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标均为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）方法一：设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点.
设以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左､右焦点，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆是否恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在该定点，请求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面积的最值求出 SKIPIF 1 < 0 ，即得椭圆的方程；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ；当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 .联立直线和圆的方程得到韦达定理，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解方程 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 即得解.
(1)
解：由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
由椭圆的性质可得： SKIPIF 1 < 0 .
于是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 .
将直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ①.
其中 SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ③.
②③代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ④.
式子④可变换为 SKIPIF 1 < 0 ⑤.
当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，⑤式成立，可解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0
变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点 SKIPIF 1 < 0 坐标含有未知数 SKIPIF 1 < 0 ，再由可列出，再由 SKIPIF 1 < 0 ，代入即可解得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出抛物线方程.
（2） 由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消 SKIPIF 1 < 0 ，得.直线OM的方程为，与 SKIPIF 1 < 0 联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
(1)
由题意可设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，､，
由.可得，即.解得 SKIPIF 1 < 0
抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
设直线l：，，，
由联立得，.
则.
直线OM的方程为，与 SKIPIF 1 < 0 联立可得：，同理可得.
以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令 SKIPIF 1 < 0 .则.
即，解得 SKIPIF 1 < 0 或.
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点， SKIPIF 1 < 0 .
题型三 、 圆锥曲线中的椭圆过定点问题
例3、（2021·河北石家庄市高三二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）证明椭圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将直线l与曲线C联立，根据韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 表达式，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 坐标，代入数量积公式，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得定点坐标，即可得答案.
（2）根据（1），利用弦长公式，可得 SKIPIF 1 < 0 表达式，由 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 范围，分析可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线与椭圆方程： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即椭圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
带入 SKIPIF 1 < 0 式有 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】(1)根据双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 和焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 列出方程组，解之即可；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，再求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点所在的直线方程即可求解.
【详解】（1）由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取渐近线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
由焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点.
【解析】 (1)由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以，椭圆C的标准方程 SKIPIF 1 < 0
(2)
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入得
SKIPIF 1 < 0 ，化简得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)
所以直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0
变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 （不经过点 SKIPIF 1 < 0 ）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出该点的坐标．
【解析】 (1)由题设， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立直线与椭圆有 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 才满足题设，不符合；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，符合．
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于另一点D，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
（2）可设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 ，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，整理分析即可得出结论.
(1)
解：因为双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为零，
设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
题型二 圆锥曲线中的圆过定点问题
例2、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为3.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）根据题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和双曲线方程组，可得 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标均为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）方法一：设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点.
设以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左､右焦点，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆是否恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在该定点，请求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面积的最值求出 SKIPIF 1 < 0 ，即得椭圆的方程；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ；当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 .联立直线和圆的方程得到韦达定理，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解方程 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 即得解.
(1)
解：由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
由椭圆的性质可得： SKIPIF 1 < 0 .
于是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 .
将直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ①.
其中 SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ③.
②③代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ④.
式子④可变换为 SKIPIF 1 < 0 ⑤.
当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，⑤式成立，可解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0
变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点 SKIPIF 1 < 0 坐标含有未知数 SKIPIF 1 < 0 ，再由可列出，再由 SKIPIF 1 < 0 ，代入即可解得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出抛物线方程.
（2） 由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消 SKIPIF 1 < 0 ，得.直线OM的方程为，与 SKIPIF 1 < 0 联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
(1)
由题意可设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，､，
由.可得，即.解得 SKIPIF 1 < 0
抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
设直线l：，，，
由联立得，.
则.
直线OM的方程为，与 SKIPIF 1 < 0 联立可得：，同理可得.
以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令 SKIPIF 1 < 0 .则.
即，解得 SKIPIF 1 < 0 或.
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点， SKIPIF 1 < 0 .
题型三 、 圆锥曲线中的椭圆过定点问题
例3、（2021·河北石家庄市高三二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）证明椭圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将直线l与曲线C联立，根据韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 表达式，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 坐标，代入数量积公式，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得定点坐标，即可得答案.
（2）根据（1），利用弦长公式，可得 SKIPIF 1 < 0 表达式，由 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 范围，分析可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线与椭圆方程： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即椭圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
带入 SKIPIF 1 < 0 式有 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0
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