新高考数学一轮复习导学案第78讲 随机变量及其概率分布、均值与方差（2份打包，原卷版+解析版）

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1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) （xi－E（X））2pi)为随机变量X的方差，并称eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
1、盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______， SKIPIF 1 < 0 _______．
2、设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A． SKIPIF 1 < 0 增大B． SKIPIF 1 < 0 减小
C． SKIPIF 1 < 0 先增大后减小D． SKIPIF 1 < 0 先减小后增大
3、某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 SKIPIF 1 < 0 ，各成员的支付方式相互独立，设 SKIPIF 1 < 0 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A．0.7B．0.6
C．0.4D．0.3
4、甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
5、某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 SKIPIF 1 < 0 为小明的累计得分，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
1、若随机变量X的概率分布为
则当P(XA. (－∞，2] B. [1，2]
C. (1，2] D. (1，2)
2、 设随机变量X的概率分布列为
则P(|X－3|＝1)的值为( )
A. eq \f(7,12) B. eq \f(5,12) C. eq \f(1,4) D. eq \f(1,6)
3. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，则摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．
4、已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为
考向一 分布列的性质
例1、设随机变量X的分布列P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1) 求常数a的值；
(2) 求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))；
(3) 求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)变式1、(1) 已知随机变量X的分布列如下表：
则实数x的值为________，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)(2) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q＝________．
变式2、(1)随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
(2)设离散型随机变量X的分布列为
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝|X－1|的分布列.
方法总结：分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考向二 离散型随机变量的均值与方差
例2、一机床生产了 SKIPIF 1 < 0 个汽车零件，其中有 SKIPIF 1 < 0 个一等品、 SKIPIF 1 < 0 个合格品、 SKIPIF 1 < 0 个次品，从中随机地抽出 SKIPIF 1 < 0 个零件作为样本.用 SKIPIF 1 < 0 表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的值；
②求误差不超过 SKIPIF 1 < 0 的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
变式1、某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1) 设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
变式2、 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下列两种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布．
(1) 每次取出的产品不再放回；
(2) 每次取出的产品仍放回．
变式3、已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10．现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？
(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望．
方法总结： 求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤：
①判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值；
②探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率；
③写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确；
④求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度．
1、一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.
2、袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．
3、中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.
(1)若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；
(2)若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望.
4、由文化和旅游部会同国家体育总局共同编制的《滑雪旅游度假地等级划分》（以下简称《标准》）日前发布实施．《标准》的发布得到旅游业界的广泛关注，将有力推动我国冰雪旅游高质量发展，助力北京2022年冬奥会举办．为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．促销期间滑雪场的收费标准是：
不足1小时的部分按1小时计算．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付的滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X，求N的分布列和期望（结果用分数表示）．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,15)
eq \f(2,15)
x
eq \f(4,15)
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
P
eq \f(5,9)
1－2q
q2
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
滑雪时间x小时
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
收费标准
免费
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120元/人