新高考数学一轮复习导学案第83讲 变量间的相关关系、统计案例（2份打包，原卷版+解析版）

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1. 变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．eq \x(体现的不一定是因果关系.)
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2. 两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为y^＝b^x＋a^_，其中其中a^，b^是待定参数
(3)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3. 独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
(2)独立性检验
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋
c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
常用结论
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点 (x－，y－)．
(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
1、（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 相关系数 SKIPIF 1 < 0 ，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
SKIPIF 1 < 0 花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2、（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3、【2020年山东卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 浓度不超过 SKIPIF 1 < 0 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
4、【2020年海南卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
1、(2022·济宁二模)为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点(x，y)：
若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ＝－1.8x＋ SKIPIF 1 < 0 ，则据此计算残差为0的样本点是( )
A. (5，9) B. (6.5，8)
C. (7，6) D. (8，4)
【答案】 C
【解析】 由题意可知， eq \x\t(x)＝ eq \f(5＋6.5＋7＋8＋8.5,5)＝7， eq \x\t(y)＝ eq \f(9＋8＋6＋4＋3,5)＝6，所以回归方程的样本中心点为(7，6)，所以6＝－1.8×7＋ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ＝18.6，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝－1.8x＋18.6，在收集的5个样本点中，(7，6)一点在 SKIPIF 1 < 0 ＝－1.8x＋18.6上，故计算残差为0的样本点是(7，6).
2、(2022·聊城一模)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据α＝0.01的独立性检验(P(χ2)≥6.635＝0.01)，结论为( )
A. 变量x与y不独立
B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
C. 变量x与y独立
D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
【答案】 C
【解析】 按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立．故排除选项A，B；因为6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论．故C正确，D错误．
3、某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如表：
y与x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，当广告支出6万元时，随机误差的残差为( )
A．－5 B．－5.5 C．－6 D．－6.5
【答案】 D
【解析】 由题意结合线性回归方程的预测作用可得，当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝6.5×6＋17.5＝56.5，则随机误差的残差为50－56.5＝－6.5.
4、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025. 根据表中数据，得到K2的观测值k＝eq \f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为
【答案】 5%
【解析】 K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
考向一 相关关系的判断
例1、两个变量的相关关系有①正相关；②负相关；③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )

A. ①②③ B. ②③①
C. ②①③ D. ①③②
【答案】 D
【解析】 第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.
变式1、 (1) 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，则下列结论中正确的是( )
A. x与y正相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
【答案】 C
【解析】 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，所以x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝ SKIPIF 1 < 0 y＋ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＞0，则z＝ SKIPIF 1 < 0 y＋ SKIPIF 1 < 0 ＝－0.1 SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ，故x与z负相关．
(2) 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )

① ②

③ ④
A. r2B. r4C. r4D. r2【答案】 A
【解析】 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2方法总结： (1)根据散点图确定．(2)用相关系数判断线性相关性的强弱;用残差平方和与相关指数判断拟合效果
方法总结： (1)根据散点图确定．(2)用相关系数判断线性相关性的强弱;用残差平方和与相关指数判断拟合效果
考向二 线性回归方程
例2、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表2：
表2
(1) 求z关于t的线性回归方程；
(2) 通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3) 用所求回归方程预测到2023年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：对于线性回归方程 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ＝， SKIPIF 1 < 0 ＝ eq \x\t(y)－ SKIPIF 1 < 0 eq \x\t(x).
【解析】 (1) 由已知，得 eq \x\t(t)＝3， eq \x\t(z)＝2.2，
SKIPIF 1 < 0 ＝ eq \f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2， SKIPIF 1 < 0 ＝ eq \x\t(z)－ SKIPIF 1 < 0 eq \x\t(t)＝2.2－1.2×3＝－1.4，所以＝1.2t－1.4.
(2) 将t＝x－2 012，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即 SKIPIF 1 < 0 ＝1.2x－2 410.8.
(3) 因为 SKIPIF 1 < 0 ＝1.2×2 023－2 410.8＝16.8，
所以预测到2023年年底，该地储蓄存款额可达16.8千亿元．
变式1、（2022江苏常州市·高三期末）某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价(单位：万元/吨)对月销售量(单位：吨)有影响.对不同定价和月销售量数据作了初步处理，
表中.经过分析发现可以用来拟合与的关系.
（1）求关于的回归方程；
（2）若生产吨产品的成本为万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线线的的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【解析】
（1）令，则，然后利用表中数据结合公式，分别求得即可.
（2）根据生产吨产品的成本为万元，建立月利润函数，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）令，则，
则，
，
∴,
（2）月利润
(当且仅当即时取等号)
答：（1）关于的回归方程为；
（2）预计价格定位万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为万元.
变式2、（2022·肇庆市第一中学高三月考）大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的（3）产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．
【分析】
分析：（1）先求均值，代入公式求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据回归直线方程过（ SKIPIF 1 < 0 ）求 SKIPIF 1 < 0 ，（2）计算 SKIPIF 1 < 0 ，并与2比较进行判断，（3）先建立利润函数，根据二次函数性质求最大值.
详解：
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的回归直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
（3）令销售利润为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值.
所以该产品的销售单价定为 SKIPIF 1 < 0 元/件时，获得的利润最大
方法总结：数据处理，要求结合散点图，初步建立线性回归的直观感知；
(1)依托数据，结合公式准确计算线性回归方程的相关系数值；
(2)根据线性回归方程，正确使用回归方程进行估计．
考向三 独立性检验
例3、在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的 SKIPIF 1 < 0 列联表：
根据表中数据，得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以我们至少有（ ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．99%B．95%C．1%D．5%
【答案】B
【解析】结合题意和独立性检验的结论，由
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故这种判断出错的可能性至多为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系.
故选：B
变式1、某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表
（参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .）
附表：
则下列选项正确的是（ ）
A.有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为使用智能手机对学习无影响
【答案】A
【解析】根据卡方公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该研究小组有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.
（2022年江苏省连云港市高三模拟试卷）在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．
【解析】
【分析】由卡方的计算结果即可判断.
【详解】由表中数据可知：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有90%把握认为该种血清对感冒有作用．
方法总结：(1)根据题意完善2×2列联表，再计算观测值K2，对照临界值表即可得出结论；
(2)理解K2的运算过程以及在实际问题中的统计学意义．
考向四 统计案例与线性回归分析的综合
例4、（2022年广东省深圳市莆田区高三模拟试卷） 为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各 SKIPIF 1 < 0 名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．
（1）根据题意完善下列 SKIPIF 1 < 0 列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为智力游戏水平高低与性别有关联 SKIPIF 1 < 0
（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取 SKIPIF 1 < 0 人，从这 SKIPIF 1 < 0 人中抽取 SKIPIF 1 < 0 人作为游戏参赛选手；
(ⅰ)若甲入选了 SKIPIF 1 < 0 人名单，求甲成为参赛选手的概率；
(ⅱ)设抽取的 SKIPIF 1 < 0 名选手中女生的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望．
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）表格见解析，可以认为H0成立，认为“智力游戏水平高低与性别无关”
（2）(ⅰ) SKIPIF 1 < 0 (ⅱ)分布列见解析， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据卡方计算值与临界值比较即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，进而得分布列以及期望，
【小问1详解】
由题意得到如下的列联表：
零假设：H0:智力游戏水平高低与性别无关.
由于．
故依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，认为“智力游戏水平高低与性别无关”
【小问2详解】
(ⅰ)甲成为参赛选手的概率 SKIPIF 1 < 0
(ⅱ) 根据分层抽样的特征 SKIPIF 1 < 0 人中男女各 SKIPIF 1 < 0 人，女生的人数 SKIPIF 1 < 0 的所有取值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列：
．
变式1、（2023·安徽·校联考三模）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：
(1)根据所给数据完成上表，试根据小概率值 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，女生进球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)表格见解析，该校学生喜欢篮球与性别有关；
(2)分布列见解析，数学期望为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为随机抽取了男、女同学各100名进行调查，
男生不喜欢篮球的有50人，女生喜欢篮球的有25人，
所以男生喜欢篮球的有50人，女生不喜欢篮球的有75人.
SKIPIF 1 < 0 列联表如下：
零假设为 SKIPIF 1 < 0 ：该校学生喜欢篮球与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴根据小概率值 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，我们推断 SKIPIF 1 < 0 不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．
（2）3人进球总次数 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为0，1，2，3．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的分布列如下：
∴ SKIPIF 1 < 0 的数学期望： SKIPIF 1 < 0
变式2、（2023·安徽马鞍山·统考三模）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．
(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标 SKIPIF 1 < 0 和分析判断力测试指标 SKIPIF 1 < 0 进行统计分析，得到下表数据：
请用线性相关系数判断该组数据中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
参考公式：线性相关系数： SKIPIF 1 < 0 ．一般地， SKIPIF 1 < 0 时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合．
（2）通过甲高校的考试科目数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设通过乙高校的考试科目数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
方法总结：统计案例与线性回归分析的综合往往涉及到直方图、概率等综合性问题，对于此类问题可以从以下两个方面入手：1、理解直方图具体时间频率与概率的对应关系，独立事件的概率计算过程；理解列联表的数据生成，以及使用公式进行基本运算，学会利用运算结果进行简单的数据分析；2、数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则．
1、（2022年湖南省长沙市高三模拟试卷）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 SKIPIF 1 < 0 （每分钟鸣叫的次数）与气温 SKIPIF 1 < 0 （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性回归方程 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的值是20
B. 变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 呈正相关关系
C. 若 SKIPIF 1 < 0 的值增加1，则 SKIPIF 1 < 0 的值约增加0.25
D. 当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
【答案】D
【解析】
【详解】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
由线性回归方程可知， SKIPIF 1 < 0 ，变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 呈正相关关系，故B正确；
若 SKIPIF 1 < 0 的值增加1，则 SKIPIF 1 < 0 的值约增加0.25，故C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：D.
2、（2022年福建省福州第十一中学高三模拟试卷）（多选题）尽管2022年上半年新能源汽车产销受疫情影响，但各企业高度重视新能源汽车产品，供应链资源优先向新能源汽车集中，从目前态势来看，整体产销量完成情况超出预期.下表是2022年我国某地新能源汽车前 SKIPIF 1 < 0 个月的销量 SKIPIF 1 < 0 和月份 SKIPIF 1 < 0 的统计表，根据表中的数据可得经验回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 变量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 正相关 B. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的样本相关系数 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. 2022年 SKIPIF 1 < 0 月该地新能源汽车的销量一定是 SKIPIF 1 < 0 万辆
【答案】AC
【解析】
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 变大而变大，所以变量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 正相关，选项A正确，选项B错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为回归直线过样本中心 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
由回归直线可知，2022年 SKIPIF 1 < 0 月该地新能源汽车的销量的估计值是 SKIPIF 1 < 0 万辆，而不一定是 SKIPIF 1 < 0 万辆，故选项D错误；
故选：AC.
3、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）研究变量 SKIPIF 1 < 0 得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是（ ）
A. 残差平方和越大的模型，拟合的效果越好
B. 用决定系数 SKIPIF 1 < 0 来刻画回归效果， SKIPIF 1 < 0 越大说明拟合效果越好
C. 在经验回归方程 SKIPIF 1 < 0 中，当解释变量 SKIPIF 1 < 0 每增加1个单位时，相应观测值 SKIPIF 1 < 0 增加0.2个单位
D. 经验回归直线一定经过样本中心点 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【详解】对于A，残差平方和越大的模型，拟合的效果越差，故选项A错误；
对于B，用决定系数 SKIPIF 1 < 0 来刻画回归效果， SKIPIF 1 < 0 越大说明拟合效果越好，故选项B正确；
对于C，在经验回归方程 SKIPIF 1 < 0 中，当解释变量 SKIPIF 1 < 0 每增加1个单位时，预测值 SKIPIF 1 < 0 平均增加0.2个单位，观测值 SKIPIF 1 < 0 无法确定，故选项C错误；
对于D，经验回归直线一定经过样本点的中心 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
故选：BD.
4、（2022年江苏省连云港市高三模拟试卷）在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．
【解析】
【分析】由卡方的计算结果即可判断.
【详解】由表中数据可知：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有90%把握认为该种血清对感冒有作用．
5、（2022年重庆市高三模拟试卷） 现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：
（1）根据表中调查数据，并依据 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，能否认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关？
（2）若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男性人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与期望．
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
参考数据：
【答案】（1）依据 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，可以认为因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.
（2）分布列见解析；期望为 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）计算 SKIPIF 1 < 0 的值，从而作出判断.
（2）先求得抽取的 SKIPIF 1 < 0 人中，男性、女性的人数，然后按照超几何分布的分布列的计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，依据 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，可以认为因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.
【小问2详解】
男性与女性人数的比例为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抽取的 SKIPIF 1 < 0 人中，男性有 SKIPIF 1 < 0 人，女性有 SKIPIF 1 < 0 人.
SKIPIF 1 < 0 可取0，1，2，3，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
6、（2022年江苏省高三模拟试卷）某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
参考数据： SKIPIF 1 < 0 xiyi＝110， SKIPIF 1 < 0 ＝55， SKIPIF 1 < 0 ＝224， SKIPIF 1 < 0 ≈10.5.
注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.
【答案】（1）线性回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ，每日的播放量和开播天数线性相关性较强；
（2）133万元.
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法原理求出线性回归方程，再利用相关系数判断相关性强弱；
（2）利用利润公式直接求解.
【小问1详解】
解：由题得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以线性回归方程为 SKIPIF 1 < 0 .
相关系数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以每日的播放量和开播天数线性相关性较强.
【小问2详解】
解：设利润为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为 SKIPIF 1 < 0 万元..
答：估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为 SKIPIF 1 < 0 万元.
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d

32
18
4
6
8
12
3
7
10
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100

32
18
4
6
8
12
3
7
10

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
x
5
6.5
7
8
8.5
y
9
8
6
4
3
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
理科
文科
男
13
10
女
7
20
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
0.24
43
9
0.164
820
68
3956
月份i
7
8
9
10
11
12
销售单价xi（元）
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量yi（件）
11
10
8
6
5
14
看书
运动
合计
男
8
20
28
女
16
12
28
合计
24
32
56
SKIPIF 1 < 0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
未感冒
感冒
使用血清
130
70
未使用血清
110
90
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.010
0.001
k
2.706
6.635
10.828
高级
非高级
合计
女
SKIPIF 1 < 0
男
SKIPIF 1 < 0
合计
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
高级
非高级
合计
女
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
男
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
50
女生
25
合计
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
3.841
6.635
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
50
50
100
女生
25
75
100
合计
75
125
200
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
7
9
10
11
13
SKIPIF 1 < 0
3
4
5
6
7
SKIPIF 1 < 0 （次数/分钟）
20
30
40
50
60
SKIPIF 1 < 0 （℃）
25
27.5
29
32.5
36
月份 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
销量 SKIPIF 1 < 0 （万辆）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
未感冒
感冒
使用血清
130
70
未使用血清
110
90
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.010
0.001
k
2.706
6.635
10.828
喜欢
其他
合计
男
10
20
30
女
40
30
70
合计
50
50
100
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
10.828
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
开播天数x
（单位：天）
1
2
3
4
5
当天播放量y
（单位：百万次）
3
3
5
9
10