模型51 旋转圆放缩圆磁聚焦模型-2024高考物理二轮复习80模型最新模拟题专项训练

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三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
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2024高考物理二轮复习80热点模型
最新高考题模拟题专项训练
模型51 旋转圆、放缩圆、磁聚焦模型
最新高考题
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， eq \x\t(ab) 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A． eq \f(7πm,6qB) B． eq \f(5πm,4qB)
C． eq \f(4πm,3qB) D． eq \f(3πm,2qB)
【参考答案】C
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m eq \f(v2,r) ，解得r＝ eq \f(mv,qB) ，运动时间t＝ eq \f(θr,v) ＝ eq \f(θm,qB) ，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R为 eq \x\t(ab) 的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R2．（10分）（2020年7月浙江选考）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
【名师解析】：（1）得
几何关系
（2）a、c束中的离子从同一点Q射出，
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量
最新模拟题
1. (2024湖北宜城一中质检)如图所示，在平板PQ上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。某时刻有a、b、c三个电子（不计重力）分别以大小相等、方向如图所示的初速度va、vb和vc经过平板PQ上的小孔O垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ上的位置到小孔O的距离分别是、和，电子在磁场中运动的时间分别为ta、tb和tc。整个装置放在真空中。则下列判断正确的是（ ）
A. =【参考答案】C
【名师解析】
三个电子的速度大小相等，轨迹如图所示
垂直进入同一匀强磁场中。由于初速度va和vc的方向与PQ的夹角相等，所以这两个电子的运动轨迹正好组合成一个完整的圆，则这两个电子打到平板PQ上的位置到小孔的距离是相等的。而初速度vb的电子方向与PQ垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以电子打到平板PQ上的位置到小孔的距离恰好是圆的直径。由于它们的速度大小相等，因此它们的运动轨迹的半径均相同。所以速度为vb的距离最大。故A错误，B错误；
CD．从图中可得，初速度va的电子偏转的角度最大，初速度vc的电子偏转的角度最小，根据粒子在磁场中运动的时间与偏转的角度之间的关系
可得偏转角度最大a运动的时间最长，偏转角度最小的c在磁场中运动的时间最短。故C正确，D错误。
2．（2023湖北荆门三校5月联考）（15分）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程y=x2，如图中虚线所示，电场强度大小E= 4V/m。第三象限内（包含x轴负半轴）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限内虚线右侧、纵坐标0 ≤ y ≤ 0.25m区域内有大量（速度相等）沿x轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量q=＋8×10－6C，质量m=1×10－6kg。已知从边界上横坐标为x= 0.1m以初速度v0处飞入的粒子从坐标原点飞出电场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。
【参考答案】．（1）4m/s；（2）0~45°；（3）0.25s
【名师解析】（1）从x=0.1m飞入的粒子,由类平抛运动的规律有
（1分）
（1分）
x=v0t（1分）
y=x2（1分）
联立解得
v0= 4m/s（1分）
（2）从范围内任意位置进入电场的粒子，设进入的位置横坐标为x，则由
x=v0t
解得
（1分）
可知，所有粒子均从坐标原点飞出电场。
设粒子飞离电场时沿电场方向的速度大小为v1，则
（1分）
（1分）
粒子在电场中运动时间越长，飞出电场时速度方向与x轴负方向的夹角越大，故
从y1= 0.25m处进人电场的粒子，飞离电场时与x轴负方向的夹角最大，θ1= 45°（1分）
从y2= 0飞人的粒子运动方向不变，θ2= 0（1分）
故粒子飞离电场时速度方向与x轴负方向的夹角范围为0~45°。
（3）与x轴负方向夹角最大的粒子在磁场中运动的时间最短，所有粒子从同一点离开磁场，由洛伦兹力提供向心力有
（1分）
解得
（1分），（1分）
磁场中运动最短时间（1分）出磁场的坐标为（1分）
3. 如图所示，有一粒子源，可以产生某种质量为m，电荷量为q的带正电离子，离子从静止开始经M和N两板间的电场加速后，从cd边的中点O沿纸面以与Od成30°角的方向射入边长为a的正方形abcd边界内的匀强磁场区域，已知匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计粒子的重力以及离子间的相互作用。求：
（1）若要离子全部从ab边射出，加速电场MN两板间的电压U满足的条件；
（2）若加速电场MN两板间的电压，离子在磁场中运动的时间t。
【参考答案】 （1）；（2）
【名师解析】
（1）当粒子不从ad边射出的临界轨迹是轨迹与ad边相切，如图中①所示，设此时粒子轨道半径为，几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad边相切时加速电压为
当粒子恰好从ab边射出的临界轨迹是轨迹与ab边相切，如图中②所示，设此时粒子轨道半径为，由几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad边相切时加速电压为
要使粒子全部从ad边射出，则粒子轨迹半径要小于，大于，则加速电压，即
（2）加速电场两板间的电压
粒子在电场中加速过程根据动能定理
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
以上各式联立代入数据解得
如图所示，当粒子轨迹与bc边界相切时，如图中③所示，设此时的轨道半径为，由几何关系得
解得
因为，则粒子从cd边射出
根据对称性得轨迹的圆心角为300°，运动时间为
4. 如图所示，在y>0的区域内存在垂直于xOy平面向里，大小为B的匀强磁场，y<0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场（图中未画出）。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子（不计重力）自y轴上的点P以初速度v0沿x轴正方向射出，经点M（L，0）进入磁场，且速度与x轴正方向的夹角为60°，经磁场偏转后从x正半轴上的点N离开磁场。
（1）求匀强电场的场强大小E以及点P的坐标；
（2）求MN两点间距d以及粒子在磁场中运动的时间t0；
（3）若粒子运动到点N瞬间，将y<0的区域的电场撤去，改为垂直于xOy平面向里，大小为λB（λ>0）的匀强磁场，结果使得粒子的轨迹在之后的运动中能够与y轴相切，试求λ的可能取值。
【参考答案】 （1），（0，）；（2），；
（3）或
【名师解析】
（1）粒子做类平抛运动
联立得
故点P的坐标为
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动
得
粒子运动的周期
粒子的圆心角为，故
（3）记粒子经点N后第一次返回x轴的点Q，由（2）知，间距为
经分析，粒子可能的轨迹如图所示
由几何关系有
解得
或
解得
5.（15 分）（2023江苏扬州考前质检）如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度分别为 l1=0.1m 和 l2=0.2m，两区 域分别分布着磁感应强度为 B1 和 B2 的磁场，磁场方向垂直于 xy 平面向外，磁感应强度 B2=0.1T．现有大量粒子从坐标原点 O 以恒定速度 v=2×106m/s 不断沿 x 轴正方向射入磁 场，由于 B1 的大小在 0~0.5T 范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电 粒子的电量 q=﹣2×10-8C，质量 m=4×10-16kg，不考虑带电粒子的重力．求：
（1）要使粒子能进入 B2的磁场，B1 应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间 t．
（3）粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标 y；
【名师解析】
（1）当带电粒子在 B1 磁场中圆周运动的半径大于 l1时粒子能进入磁感应强度 B2的磁场。
qvB 1=m （1 分）
当 r = l1 时 （1 分）
代入数据得 B1 = 0.4T （1 分）
因此 B 满足的条件为 0  B1  0.4T （1 分）
（2）当 B1=0 时，粒子进入 B2 磁场，
解得： r 2= 0.4m （1 分）
粒子从右边界 MN 飞出。
由几何关系可知
2 = 30° （1 分）
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着 B1 的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的 运动时间先增大后减小，当 B1 达到最大值 0.5T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为

所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t 2=1.26 ×10-7 s
（3）设 A1 为粒子从 MN 射出的最高点，则 A1 为轨迹与边界 MN 的切点，如图 O1 为粒子 在 B1 磁场中运动的圆心，O2 为粒子在 B2 磁场中运动的圆心，由几何知识可得
， 1 = 30° （2 分）
由几何知识知此时
A1 的纵坐标
粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标
6. （2022湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
A. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
B. 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b点到c点的过程中，半径越老越大，则由可知，速度越来越大，所以从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率。又因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，弦切角最小，因为Ob长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为，所以圆心角为
所以最短运动时间为
即从M点射出粒子在磁场中运动时间与从N点射出粒子所用时间大小不能确定。
故选AD。
7. (2023云南昆明一中第9次质检)如图所示，空闻有半径为R的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O为处有一粒子源，时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为，则（ ）
A. 粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B. 粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C. 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D. 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【参考答案】AD
【名师解析】如图1所示，当粒子的轨迹以AB为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆心角为，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为，A正确B错误。
．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为，故C错误，D正确。
8..（2023山东滕州质检） 8．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在磁场边界上的M点放置一个放射源，能在纸面内以速率v向各个方向发射大量的同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m（不计粒子的重力），所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为。下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．将磁感应强度大小改为时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若粒子入射速率为时，有粒子射出的边界弧长变为
【参考答案】．C
【名师解析】．由题意，如图所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出点N离M最远，此时对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律有 解得 故A错误；
粒子在磁场中运动的周期为
当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1个周期，故B错误；
将磁感应强度大小改为时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长变为故C正确；
若粒子入射速率为时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为，所以有粒子射出的边界弧长变为故D错误。
9.（2022山东泰安三模）如图所示为一圆形区域，O为圆心，半径为R，P为边界上的一点，区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b（不计重力）从P点先后以大小相等的速率射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角，已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =R
B. θ=60°
C. θ=30°
D. a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
【参考答案】AC
【名师解析】
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =，代入速度，得r = R，故A正确；
BC．因a正对圆心射入，又r = R，故a粒子在磁场中的运动时间为，运动圆弧的圆心角为90°，两粒子在磁场中运动的周期相等，即T =，故b粒子在磁场中的运动时间为，即运动圆弧的圆心角为120°，运动圆弧对应的圆心与O、P三点的连线构成等边三角形，故θ=30°，故B错误，C正确；
作图可知a、b粒子离开磁场时平行，是“磁发散”模型，故D错误。
故选AC。
10．（2023四川宜宾重点高中二诊）（20分）如图所示，在平面内，三个半径为的四分之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场（含边界上）。一群质量为电荷量为的带正电的粒子同时从坐标原点O以相同的速率、不同的方向射入第一象限内（含沿轴、轴方向），它们在磁场中运动的轨道半径也为，在的区域，存在场强为、沿方向的匀强电场。整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。求：
（1）粒子从O点射入磁场时的速率；
（2）这群粒子从O点射入磁场至运动到轴的最长时间；
（3）这群粒子到达轴上的区域范围。
【名师解析】：
（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
又可得
（2）如图所示，这些粒子中，从O沿轴方向射入磁场的粒子，从O到C用时最长。
由可得
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变为与轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，经过Ⅱ区域偏转又都通过C点；从C点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，所有粒子都变成与轴平行（即垂直进入电场）。
对于从进入电场的粒子，在方向的分运动有
解得
则该粒子运动到轴上的坐标为
对于从进入电场的粒子，在方向的分运动有
解得
则该粒子运动到y轴的坐标为
这群粒子运动到轴上的区间为