人教版八年级数学上册同步讲义专题14.2 乘法公式（学生版）

这是一份人教版八年级数学上册同步讲义专题14.2 乘法公式（学生版），共21页。试卷主要包含了掌握平方差公式，学会运用平方差公式等内容，欢迎下载使用。

1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
知识精讲
知识点01 平方差公式
知识点
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
【知识拓展1】平方差公式的几何背景
例1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练】
1．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽宣城·七年级期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：
(3)试利用这个公式计算：
【知识拓展2】平方差公式的基本运用
例2．（2022·安徽·合肥七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【即学即练】
3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算：____________．
4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）的结果是______．
知识点02 完全平方公式
知识点
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
【知识拓展1】完全平方公式的几何背景
例1．（2022·福建·三明一中七年级阶段练习）如图所示，请完成下列问题：
(1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______．
(2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．
【即学即练1】
1．（2022·苏州市平江中学校七年级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
【知识拓展2】完全平方公式的基本运用
例2．（2022·陕西八年级开学考试）若，则的值为（ ）
A．2B．5C．8D．10
【即学即练2】
3．（2022·福建月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·沭阳县修远中学）先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1
【知识拓展3】完全平方公式的含参问题
例3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A．8B．C．24D．
【即学即练3】
3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）当__________时，是完全平方公式．
【知识拓展4】完全平方公式的知二求二
例4．（2022·湖南双峰·七年级期中）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求和的值．
【即学即练4】
4．（2022·重庆七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．
5．（2022·辽宁·丹东七年级期末）若，则的值为 _______．
知识点03 乘法公式拓展
知识点
==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc
同样，a、b、c可以通过换元。如令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc
立方和与立方差公式：；
完全立方和与完全立方差：=
【知识拓展1】三个数的完全平方公式
例1．（2022·山东威海·八年级期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个正方形的面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______（只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足，，求的值；
②若三个实数x，y，z满足，，求的值．
【即学即练1】
1．（2022·福建）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：
就可以用如图所示的面积关系来说明．
(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：
(2)若求的值；
(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?
【知识拓展2】立方公式
例2．（2022·广东·佛山市七年级阶段练习）（1）用两种不同方法计算同图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式 ．
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ．
（3）利用上面所得的结论解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值．
②已知|a+b﹣5|+（ab﹣6）2＝0，求a3+b3的值．
【即学即练2】
2．（2022·四川·金堂七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到、、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．
利用上面所得的结论解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；
（2）已知，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
3．（2022·无锡市天一实验学校七年级期中）（知识生成）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．
（1）如图1，根据图中阴影部分（4个完全相同的小长方形）的面积可以得到的等式是： ．
（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为： ．
（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值．
能力拓展
考法01 整式乘法的归纳猜想问题
【典例1】（2022·河南南阳·八年级阶段练习）我国宋朝数学家杨辉年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·四川·宣汉县峰城中学七年级期中）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
变式2．（2022·福建宁德·七年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：
①；
②；
③；…
你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①；
②；
③；…
(1)由此我们可以得到：
①_______；
②_______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：
．
考法02 配方的运用
【典例2】（2022·河南·镇平九年级阶段练习）阅读材料
例：求代数式的最小值．
解：，可知x=-1时，有最小值，最小值是-8，
根据上面的方法解决下列问题：
(1)当x为何值时，取得最大值？最大值是多少？
(2)直接写出多项式最小值是 ．
变式1．（2022·贵州遵义八年级阶段练习）阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；
(3)已知，，则 ．
变式2．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子x + 的最小值为 ；(2)当，代数式最大值为多少？并求出此时x的值；
(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·汕头市八年级期末）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．（2022·隆昌市知行中学月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
3．（2022·绵阳市初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（ ）
A．2；4B．5；-25C．-2；25D．-5；25
4．（2022·杭州市七年级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．
5．（2022·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．
6．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）计算：_______________________
7．（2022·山东·滨州市八年级期末）若代数式是一个完全平方式，则__．
8．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______；
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）．
9．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知，．求：(1)的值； (2)的值．
10．（2022·杭州市七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）
（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
11．（2022·福建·漳州市七年级阶段练习）运用整式乘法公式简便计算：．
题组B 能力提升练
1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·湖南岳阳·初一期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（ ）.
A．B．
C． D．
4．（2022·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数B．C．正数D．负数
5．（2022·广西兴业·月考）代数式的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
6．（2022·山东威海·七年级期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
7．（2022·内蒙古七年级阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则 ________________.
9．（2022·湖南永州·七年级期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．
10．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）探究应用：
(1)计算：
①；
②；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
(4)直接用公式写出计算结果：______．
11．（2022·四川射洪中学月考）已知，求代数式的值．
12．（2022·扬州七年级期中）阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
13.（2022·陕西咸阳·七年级期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积；
方法1：______； 方法2：______；
(2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求．
14．（2022·江苏·七年级期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·江苏·扬州市七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．2022B．C．D．4042
2．（2022·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·郑州七年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136B．86C．36D．50
4．（2022·湖南·岳阳八年级阶段练习）已知，则的值是___________．
5．（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式．
6．（2022·湖北·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
7．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________
A． B． C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
8．（2022·广东汕头·八年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;
(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则________；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
9．（2022·河南·南阳市实验学校八年级阶段练习）若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值为______；
(2)若满足，则______；
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．
10．（2022·重庆初一课时练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
11．（2022·河南·郑州市七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．