中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）4.3.1 直线与平面平行精品课时练习

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基础巩固
一、单选题
1．如果直线平面，直线平面，且，则a与b（ ）
A．共面B．平行
C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.
【详解】，说明a与b无公共点，
与b可能平行也可能是异面直线．
故选：D．
2．已知直线a和平面α，那么a//α的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线b，a//b且b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β且α//β
D．存在一个平面β，a//β且α//β
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定方法，结合选项可得答案.
【详解】在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；
在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面.
故选：C．
3．对于平面和两条直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若与所成的角相等，则
C．若，，则D．若，，n在平面α外，则
【答案】D
【分析】根据空间线、面的位置关系即可判断A,B,C,利用线面平行的判定定理可判断D.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若与所成的角相等，则相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若，，则相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，n在平面α外，则由线面平行的判定定理得，
故D正确.
故选:D.
4．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.
【详解】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；
对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；
对C，能推出与平行；
对D，当直线在平面内时，与不平行.
故选：C.
5．如图，正方体中，若，，分别是棱，，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面平面
【答案】C
【分析】根据线面位置关系分别判断.
【详解】由为正方体，且，分别是棱，的中点，则，则平面即为平面，
A选项，如图连接，由正方体可知，又不成立，所以不成立，即A选项错误；
B选项，由平面，故与平面不平行，B选项错误；
C选项，连接，则，又平面，，所以平面，C选项正确；
D选项，平面与平面有公共点，故D选项错误；
故选：C.
6．若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线面平行可得线线平行，从而可求.
【详解】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故选：B.
7．若直线平面，则过作一组平面与相交，记所得的交线分别为，，，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A．都平行B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点
【答案】A
【分析】根据线面平行的性质，过平行于平面的直线作平面与相交，则交线与平行，即可知正确选项.
【详解】由直线平面，过作平面且，则，同理有，，…，
∴，即交线均平行.
故选：A
8．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行或相交或异面
【答案】B
【解析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论．
【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点
∵，，∴直线，没有公共点
∴直线，的位置关系是平行或异面，
故选：B.
9．下列命题正确的是
A．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行
B．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行
C．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行
D．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面
【答案】C
【解析】根据直线与平面平行的性质逐一判断即可.
【详解】一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行或异面，故A不正确；
一直线与平面平行，则平面内有无数条直线与已知直线平行，故B不正确；
一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行，故C正确；
一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线平行或异面，故D不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系及其运用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.
10．给出以下命题（其中表示直线，表示平面）：①若，则；②若，则；③若，，则；④若的同侧有两点到平面的距离相等，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】通过长方体中的线面关系可说明①②③错误，而④可由线面平行的判定定理证明．
【详解】
借助长方体判断，如图，在长方体中，平面，平面，但与相交，故①错误；，平面，但平面，故②错误；平面，平面，但与异面，故③错误，④两个距离，则是平行四边形，从而有，于是有线面平行，④正确.
故选：B
【点睛】本题考查线面平行的判定与性质定理，掌握两个定理是解题关键．举反例说明命题不正确是常用方法．
二、填空题
11．下列三个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，直线a⊄α，b⊂α，则a∥α；
③若a∥b，b⊂α，则a与α内任意直线平行．
其中正确的有 ．
【答案】②
【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可求解．
【详解】对于①，若直线a在平面α外，可能与平面相交，不一定平行．故①不正确；
对于②，由直线与平面平行的判定定理可知②正确；
对于③，a与平面α内的直线可能平行，相交或异面，故③错误．
故答案为：②．
12．在正方体中，过三点的平面与底面的交线为，则直线与的位置关系为 .（填“平行”“相交”或“异面”）
【答案】平行
【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.
【详解】根据正方体的性质可知：，
由于平面，平面，所以平面，
由于平面平面，平面，
所以.
故答案为：平行
13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面.
【答案】答案表述不唯一)
【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论.
【详解】连接交于O，连接OE，
平面平面，平面平面 ，
.
又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，
故为的中点, 为的中点，
故当满足条件: 时，面.
故答案为: 答案表述不唯一)
14．在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面是 ．
【答案】平面和平面
【分析】直接观察长方体即可得出.
【详解】如图长方体中，与直线平行的平面是平面和平面.
故答案为：平面和平面.
15．在正方体中，O是的中点，则与平面的关系是 ．
【答案】平面
【分析】根据线面平行的判定定理即得.
【详解】连接，
由正方体的性质可知，平面，平面，
所以平面.
故答案为：平面.
三、解答题
16．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求该三棱柱的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；
（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.
【详解】（1）证明：连接，设，连接
∵是正三棱柱的侧面，
∴为矩形，
∴是的中点，
∴是的中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点
所以，，
故，
又平面，，
所以正三棱柱的体积
17．如图，在正方体中，点为棱的中点．

求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】连接交于，则为中点，连接OE，易知OE为三角形的中位线，应用线面平行的判定证结论.
【详解】正方体中，四边形是正方形，
连接交于，则为中点，
连接OE，由为中点，得：OE为三角形的中位线，

所以，又平面，平面，
所以平面．
18．已知E， F， G， H分别为四面体ABCD的棱AB， BC， CD， DA的中点，且E， F， G， H四点共面，求证：BD∥平面EFGH.
【答案】证明见解析
【分析】通过证明，可得BD∥平面EFGH.
【详解】因E， H分别为AB， DA的中点，所以EH∥BD.
又因为EH⊂平面EFGH， BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
19．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证：
(1)；
(2)平面PAB．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行的性质可证线线平行；
（2）先证明四边形ABCN是平行四边形得到，利用线面平行的判定定理可证结论.
【详解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面，
∴．
（2）由（1）知，，
又N是AD的中点，，∴，
∴四边形ABCN是平行四边形，∴，
又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB．
能力进阶
20．如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：
(1)四边形是平行四边形；
(2)平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用中位线性质及平行四边形的判定即可证结论；
（2）由中位线性质得，再应用线面平行的判定即可证结论.
【详解】（1）由M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
所以且，
所以为平行四边形.
（2）由M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、BC的中点，
所以，由（1）知面，且面，
故面，即平面.
21．如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，
求证：平面．
【答案】利用线线平行即可证明线面平行
【详解】证明：连接、交点为，连接，则为的中位线，．
平面，平面，平面．