中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）4.4.2 二面角优秀课后测评

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基础巩固
一、单选题
1．如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】根据二面角的定义可知为二面角，从而可求解.
【详解】三棱台中，，且，
则，又，且,
所以平面，
所以为的二面角，
因为为等边三角形，
所以.
故选：C
2．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由二面角的定义判断.
【详解】根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误．
所以①②③都不正确．
故选：A
3．在长方体中，，，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为，，可得就是二面角的平面角，又因为，在直角三角形中计算正切值.
【详解】∵，，由二面角的平面角的定义知，就是二面角的平面角，又，所以 .
故选：D
4．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.
【详解】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定义：为二面角的平面角.
故选：C
5．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出正方体，取中点，连结交于点，连结，说明即是二面角的平面角，求解即可.
【详解】
如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，
所以即是二面角的平面角，
又因正方体棱长为1，所以，所以，又，
所以在，即二面角的余弦值为，
故选A
【点睛】本题主要考查求二面角的大小，可用立体几何法在几何体中作出二面角的平面角，通过解三角形即可求解，属于基础题型.
6．在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是．在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（ ）
A．②①④⑤B．②③④⑥C．③④⑤⑥D．②③④⑤
【答案】B
【分析】根据各类角的定义即可逐一作出判断.
【详解】当两直线平行时夹角为0，故两直线所成角的范围为，故①⑤错误，
其他选项根据对应的定义均为正确.
故选:B．
7．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．
【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故选：B.
8．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等B．互补C．互余D．相等或互补
【答案】D
【分析】作出图像数形结合即可判断.
【详解】如图，
A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD，
则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°，
∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角，
∵∠A＋∠BDC＝180°，
∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，
当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补.
故选：D.
9．二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二面角的定义和线面垂直的性质可得选项.
【详解】解：因为二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为，
故选：B.
10．在正四面体A－BCD中，二面角A－CD－B的平面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正四面体的性质，若E为CD中点，连接AE、BE，可得为二面角的平面角，结合余弦定理求即可.
【详解】由A－BCD为正四面体知：若E为CD中点，连接AE、BE，则，而，
∴面，即有为二面角A－CD－B的平面角，
设正四面体的棱长为1，即，
∴在△中，作于H，则，而且，可得，
∴.
故选：B.
二、填空题
．二面角的定义
从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角．这条 叫做二面角的棱，这两个 叫做二面角的面．
[问题]二面角的范围是什么？
【答案】 半平面 直线 半平面 ．
【分析】根据二面角的定义填空.
【详解】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，
故答案为：半平面，直线，半平面，
12．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．
【答案】/
【分析】根据与二面角大小互补进行求解.
【详解】设二面角的大小为，
因为，，垂足为、，
所以，又，所以.
故答案为：
13．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为 .
【答案】100°//
【分析】根据∠APB与二面角大小互补进行求解
【详解】设二面角的大小为，
因为PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.，
所以，所以.
故答案为：100°
14．将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起．C点变为点，若折起后B与两点间的距离为，则二面角的大小为 ．
【答案】/
【分析】由折叠过程得出二面角的平面角，从而可得二面角大小．
【详解】折叠过程中．，，所以是二面角的平面角，
又，是等边三角形，，
故答案为：．
15．二面角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二面角的定义直接作答.
【详解】二面角的取值范围是.
故答案为：
三、解答题
16．如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体中，连接，
由于，所以是异面直线与所成的角，
由于三角形是等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2）在正方体中，，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，
所以二面角的大小为.
17．在正方体中，求二面角的大小.
【答案】
【分析】利用二面角的定理找出为二面角的平面角，进而即可求解.
【详解】
∵，，
∴即为二面角的平面角.
又∵，∴.
∴二面角的大小为.
【点睛】本题求二面角的大小，求解步骤：“作、证、求”，属于基础题.
能力进阶
18．如图所示，在正方体中，求二面角的大小.
【答案】
【解析】由二面角的定义证出即为二面角的平面角，从而可求出二面角的大小.
【详解】连接和.由已知有面，
所以，，
因此即为二面角的平面角.
由于是等腰直角三角形，因此，
所以二面角的大小是.
【点睛】本题考查了求二面角的大小，求解步骤：“作、证、求”，属于基础题.
19．如图，三棱锥 中，已知 平面 .求二面角的正弦值
【答案】
【分析】取BC的中点D，连结PD，AD,根据线面垂直关系可知即为二面角的平面角,根据所给边长关系可求得的正弦值.
【详解】
取BC的中点D，连结PD，AD
∵
∴