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2024年河北省邯郸市邯郸冀南新区育华实验学校中考数学三模试卷
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这是一份2024年河北省邯郸市邯郸冀南新区育华实验学校中考数学三模试卷，共28页。
A．﹣3+1B．﹣3﹣1C．1﹣（﹣3）D．1﹣3
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2•a3＝4a5D．a6÷a2＝a3
3．（3分）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（ ）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
4．（3分）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
5．（3分）如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．PQ为∠APB的平分线
B．PA＝PB
C．点A、B到PQ的距离不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
7．（2分）一个小正方体的表面积为3×10﹣2平方米，则每个面的面积用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣2平方米B．5×10﹣3平方米
C．5×10﹣2平方米D．0.5×10﹣3平方米
8．（2分）图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2分）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
A．∠B+∠C＝180°B．AB＝CD
C．∠A＝∠BD．AD＝BC
10．（2分）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
11．（2分）已知48﹣1＝（44+1）（44﹣1）＝⋯，则按此规律推算48﹣1的结果一定能（ ）
A．被12整除B．被13整除C．被14整除D．被15整除
12．（2分）自然数4，5，5，x，y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x，y中，x+y的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
13．（2分）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A．B．C．D．
14．（2分）在作业纸上，AB∥EF，点C在AB，EF之间，要得知两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
15．（2分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2B．3C．4D．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（17题3分，18题每空2分，19题第一空3分，第二空1分，共11分）
17．（3分）由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是 ．
18．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．
19．（4分）如图，在▱OABC中，点C（3，0），点A（1，3），反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象与BC交于点F，与折线OAB交于点E．
（1）k＝ ；
（2）若▱OABC夹在y1，y2之间的整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则m的取值范围为 ．
三.解答题（共71分）
20．（9分）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
21．（9分）在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．
22．（8分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘．
（1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率；
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由．
23．（9分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
24．（11分）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边△PAB组成，直径AB＝8cm，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与MN相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动．
（1）如图1，AB∥MN，请直接写出PC的长为 cm（结果保留根号）；
（2）如图2，当PB⊥MN时，连接OQ，OC．
①直接写出∠COQ的度数．
②求点C到桌面MN的距离（结果保留根号）；
（3）当PA或PB垂直于MN时“不倒翁”开始折返，直接写出从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离．
25．（12分）已知：如图抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与y轴交于点（0，4），顶点为点D．点A，B的坐标分别为（4，1），（6，4）．
（1）①c＝ ；
②请用含a的式子表示顶点D的坐标．
（2）抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与线段AB有一个公共点时，求a的取值范围；
（3）如图，连接AD，BD，△ABD的面积是否发生变化，若不变请直接写出其面积；若变化，请说明理由．
26．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线CB﹣BA上运动（点E不与点C，A重合），DE的中点为G，将EG绕点E顺时针旋转90°得到EF．设点E的运动路径长为x．
（1）如图1，当点E与点B重合时，点F到直线BC的距离为 ；
（2）如图2，当点F落在矩形ABCD的边（或边所在的直线）上时，求x的值；
（3）过点F作FN∥DE，交AD延长线于点N（如图3），设DN的长为y，请直接写出y与x的函数解析式．
2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共38分，1-6每题3分，7-16每题2分.）
1．（3分）数轴上点A表示﹣3，点B表示1，则表示A、B两点间的距离的算式是（ ）
A．﹣3+1B．﹣3﹣1C．1﹣（﹣3）D．1﹣3
【解答】解：依题意得：1＞﹣3，
∴A、B两点间的距离为：1﹣（﹣3）．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2•a3＝4a5D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，
则A不符合题意；
B．（﹣3a2）3＝﹣27a6，
则B不符合题意；
C．4a2•a3＝4a2+3＝4a5，
则C符合题意；
D．a6÷a2＝a4，
则D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（ ）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
【解答】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条，
故选：B．
4．（3分）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，
∴ab＝（+1）（﹣1）
＝2﹣1
＝1，
∴＝＝2．
故选：B．
5．（3分）如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，
∴1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，
∴翻转第一次时3朝下，4朝上；翻转第二次时2朝下，5朝上；翻转第三次时4朝下，3朝上；翻转四次时1朝下，6朝上．
故选：D．
6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．PQ为∠APB的平分线
B．PA＝PB
C．点A、B到PQ的距离不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，
∴A，B，D正确；
∵PQ是∠APB的平分线，PA＝PB，
∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．
故选：C．
7．（2分）一个小正方体的表面积为3×10﹣2平方米，则每个面的面积用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣2平方米B．5×10﹣3平方米
C．5×10﹣2平方米D．0.5×10﹣3平方米
【解答】解：∵小正方体有6个面，且每个面都是正方形，
∴（3×10﹣2）÷6＝0.5×10﹣2＝5×10﹣3（平方米），
故选：B．
8．（2分）图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由题意可知，该几何体的底层至少需要3个小正方体，上层至少需要2个小正方体，
所以至多还能拿走这样的小正方体3个．
故选：C．
9．（2分）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
A．∠B+∠C＝180°B．AB＝CD
C．∠A＝∠BD．AD＝BC
【解答】解：∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
10．（2分）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：方法一：+
＝
＝
＝，
∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴ab≠0，
当a+b＝0时，原式＝＝﹣2，
故选：A．
方法二：∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴+
＝
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故选：A．
11．（2分）已知48﹣1＝（44+1）（44﹣1）＝⋯，则按此规律推算48﹣1的结果一定能（ ）
A．被12整除B．被13整除C．被14整除D．被15整除
【解答】解：48﹣1
＝（44+1）（44﹣1）
＝（44+1）（42+1）（42﹣1）
＝（44+1）（42+1）×15．
故选：D．
12．（2分）自然数4，5，5，x，y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x，y中，x+y的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：唯一的众数是5，中位数为4，故x，y不相等且x＜4，y＜4．
x、y的取值为0，1，2，3，则x+y的最大值为2+3＝5．
故选：C．
13．（2分）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线①所对的圆弧长为＝，
展开后得到的多边形的内角和为180°×（8﹣2）＝1080°．
故选：C．
14．（2分）在作业纸上，AB∥EF，点C在AB，EF之间，要得知两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
【解答】解：如图1，延长CD交AB于Q，过C作CM∥AB，而AB∥EF，
∴AB∥CM∥EF，
∴∠AQC＝∠QCM，∠E＝∠MCE，
∴∠AQC＝∠QCM＝∠DCE﹣∠MCE＝∠DCE﹣∠E，
∴I方案可行，
如图2，延长CD交AB于Q，
∵AB∥EF，
∴∠AQC＝∠CME，
∴II方案可行，
故选：C．
15．（2分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2B．3C．4D．
【解答】解：设A′B′交BC于E，A′C′交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）2＝，即（）2＝，
解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），
故选：B．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝，
∴OM＝AO＝，
∴AM＝，
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵OE2＝OM2+EM2，
∴y＝（x﹣5）2+3，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（5，3），与y轴的交点为（0，28），
∵0≤x≤8，
∴当x＝8时y＝12，
故符合解析式的图象为：
故选：C．
二.填空题（17题3分，18题每空2分，19题第一空3分，第二空1分，共11分）
17．（3分）由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是 ．
【解答】解：∵x＜y，ax＞ay，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
18．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．
【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
19．（4分）如图，在▱OABC中，点C（3，0），点A（1，3），反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象与BC交于点F，与折线OAB交于点E．
（1）k＝ ；
（2）若▱OABC夹在y1，y2之间的整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则m的取值范围为 ．
【解答】解：（1）∵OC＝3，点A（1，3），
∴将点A向右平移3个单位长度得到点B（4，3），
将点B（4，3）代入中，得k＝12；
（2）▱OABC中的整数点如图所示：
将点A（1，3）代入，得m＝3；将点（1，2）代入，得m＝2；
∴若▱OABC夹在y1，y2之间的整数点有7个（包括边界），则m的取值范围为2＜m≤3，
故答案为：（1）12；（2）2＜m≤3．
三.解答题（共71分）
20．（9分）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
【解答】解：（1）∵360°÷180°＝2，
630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2
＝2+2
＝4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝540°，
解得x＝3．
故x的值是3．
21．（9分）在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；
（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8x+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，
∵（2x﹣1）2≥0．
∴2M﹣N的化简结果不能为负数．
22．（8分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘．
（1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率；
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）正方形四个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）；B（﹣2，﹣2）；C（2，﹣2）；D（2，2），
列表得：
M点的坐标所有的情况有共16种，
其中落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4种，所以M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率是＝；
（2）若使点M落在正方形ABCD面上的概率为，则只有4个点不在正方形内部，所以可把正方形ABCD向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度即可．
23．（9分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：
，
解得，
∴AB所在直线的函数表达式为F拉力＝﹣x+；
（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，
∵4﹣＝（N），
∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．
24．（11分）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边△PAB组成，直径AB＝8cm，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与MN相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动．
（1）如图1，AB∥MN，请直接写出PC的长为 cm（结果保留根号）；
（2）如图2，当PB⊥MN时，连接OQ，OC．
①直接写出∠COQ的度数．
②求点C到桌面MN的距离（结果保留根号）；
（3）当PA或PB垂直于MN时“不倒翁”开始折返，直接写出从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离．
【解答】解：（1）由题意得：当AB∥MN时，P，O，C三点在一条直线上，
∵直径AB＝8cm，
∴OC＝AB＝4cm，
∵△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝PB＝8cm，∠PAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴PO⊥AB，
∴PO＝PA•sin60°＝8×＝4（cm），
∴PC＝PO+OC＝（4+4）cm．
故答案为：4+4；
（2）①∠COQ的度数＝30°．
∵半圆O与MN相切于点Q，
∴OQ⊥MN，
∵PB⊥MN，
∴PB∥OQ，
∴∠QOB＝∠PBA＝90°，
∵半圆O的中点为点C，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COQ＝∠BOC﹣∠BOQ＝30°．
②过点C作CH⊥MN于点H，CK⊥OQ于点K，如图，
∵∠COQ＝30°，CK⊥OQ，
∴CK＝OC＝2cm，
∴OK＝＝2（cm），
∴QK＝OQ﹣OK＝（4﹣2）cm，
∵CH⊥MN，CK⊥OQ，OQ⊥MN，
∴四边形CHQK为矩形，
∴CH＝QK＝（4﹣2）cm．
∴点C到桌面MN的距离为（4﹣2）cm．
（3）从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离为cm．
∵拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动，
∴滚动过程中始终与桌面MN相切，
∴圆心O到桌面的距离总等于圆的半径，
∴从PB⊥MN滚动到PA⊥MN过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍，
由（2）①知：∠COQ＝30°，
∴圆心O移动的距离＝＝（cm）．
25．（12分）已知：如图抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与y轴交于点（0，4），顶点为点D．点A，B的坐标分别为（4，1），（6，4）．
（1）①c＝ ；
②请用含a的式子表示顶点D的坐标．
（2）抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与线段AB有一个公共点时，求a的取值范围；
（3）如图，连接AD，BD，△ABD的面积是否发生变化，若不变请直接写出其面积；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与y轴交于点（0，4），
∴c＝4，
故答案为：4；
②抛物线解析式为y＝ax2+3x+4，
根据顶点坐标公式：x＝﹣，
y＝a（﹣）2+3（﹣）+4＝＝﹣，
∴D（﹣，﹣+4）；
（2）设线段AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，1）、B（6，4）代入得：
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝，
当抛物线经过点A时，如图，此时有：1＝a×42+3×4+4，
解得：a＝﹣，
当抛物线经过点B时，如图，此时有：4＝a×62+3×6+4，
解得：a＝﹣，
当抛物线的顶点在直线AB上时，
，
此方程无解，
∴a的取值范围为：；
（3）不变，理由如下：
分别过点A，B，D作AE⊥x轴，BF⊥x轴，DG⊥x轴，
∴S△ABD＝S梯形BFGD﹣S梯形BFEA﹣S梯形AEGD
＝（4+4﹣）（6+）﹣×（4+1）×（6﹣4）﹣（1+4﹣）（4+）
＝24﹣﹣﹣10++﹣5
＝9．
26．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线CB﹣BA上运动（点E不与点C，A重合），DE的中点为G，将EG绕点E顺时针旋转90°得到EF．设点E的运动路径长为x．
（1）如图1，当点E与点B重合时，点F到直线BC的距离为 ；
（2）如图2，当点F落在矩形ABCD的边（或边所在的直线）上时，求x的值；
（3）过点F作FN∥DE，交AD延长线于点N（如图3），设DN的长为y，请直接写出y与x的函数解析式．
【解答】解：（1）如图1，
作FH⊥BC于H，
∴∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠FHE＝∠A，
∵EG绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴EF＝EG，∠DEF＝90°，
∴∠GEF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠FEH，
∴△ABD∽△HEF，
∴，
∵G是DE的中点，
∴DE＝2EG＝2EF，
∴，
∴FH＝＝，
故答案为：；
（2）如图2，
当点E在BC上，点F在CD所在的直线是上时，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEC+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECF＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠FEC，
∴△ECF∽△DEC，
∴，
∴CE＝，
∴x＝2，
如图3，
当点E在AB上，当F在BC上时，
同理上可得，
△EBF∽△DAE，
∴，
∴BE＝AD＝，
∴x＝BC+BE＝2+，
综上所述：x＝2或；
（3）如图3，
当点E在BC上时，作DH⊥FN于H，作EQ⊥AD于Q，
∴∠DHN＝∠DHF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴EQ＝AB＝4，
∵∠DEF＝90°，FN∥DE，
∴∠F＝180°﹣∠DEF＝90°，
∴四边形DEFH是矩形，
∴DH＝EF，∠HDE＝90°，DH＝EF，
∴∠HDN+∠EDQ＝90°，
∵∠DHN＝∠EQD＝90°，
∴∠QED+∠EDQ＝90°，
∴∠QED＝∠HDN，
∴△DHN∽△EQD，
∴，
∴DN＝，
∵DH＝EF＝ED，
∴y＝＝ED2，
∵ED2＝DQ2+EQ2＝CE2+EQ2＝x2+16，
∴y＝（0＜x≤3），
如图4，
当点E在AB上时，
同理可得，
△DHN∽△EAD，
∴，
∴DE＝，
∵AE＝7﹣x，ED2＝AE2+AD2＝（7﹣x）2+9，
∴y＝（3＜x＜7），
综上所述：y＝．∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵_____，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵_____，
∴四边形ABCD是平行四边形．
a
b
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
A．﹣3+1B．﹣3﹣1C．1﹣（﹣3）D．1﹣3
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2•a3＝4a5D．a6÷a2＝a3
3．（3分）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（ ）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
4．（3分）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
5．（3分）如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．PQ为∠APB的平分线
B．PA＝PB
C．点A、B到PQ的距离不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
7．（2分）一个小正方体的表面积为3×10﹣2平方米，则每个面的面积用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣2平方米B．5×10﹣3平方米
C．5×10﹣2平方米D．0.5×10﹣3平方米
8．（2分）图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2分）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
A．∠B+∠C＝180°B．AB＝CD
C．∠A＝∠BD．AD＝BC
10．（2分）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
11．（2分）已知48﹣1＝（44+1）（44﹣1）＝⋯，则按此规律推算48﹣1的结果一定能（ ）
A．被12整除B．被13整除C．被14整除D．被15整除
12．（2分）自然数4，5，5，x，y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x，y中，x+y的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
13．（2分）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A．B．C．D．
14．（2分）在作业纸上，AB∥EF，点C在AB，EF之间，要得知两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
15．（2分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2B．3C．4D．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（17题3分，18题每空2分，19题第一空3分，第二空1分，共11分）
17．（3分）由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是 ．
18．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．
19．（4分）如图，在▱OABC中，点C（3，0），点A（1，3），反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象与BC交于点F，与折线OAB交于点E．
（1）k＝ ；
（2）若▱OABC夹在y1，y2之间的整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则m的取值范围为 ．
三.解答题（共71分）
20．（9分）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
21．（9分）在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．
22．（8分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘．
（1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率；
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由．
23．（9分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
24．（11分）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边△PAB组成，直径AB＝8cm，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与MN相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动．
（1）如图1，AB∥MN，请直接写出PC的长为 cm（结果保留根号）；
（2）如图2，当PB⊥MN时，连接OQ，OC．
①直接写出∠COQ的度数．
②求点C到桌面MN的距离（结果保留根号）；
（3）当PA或PB垂直于MN时“不倒翁”开始折返，直接写出从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离．
25．（12分）已知：如图抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与y轴交于点（0，4），顶点为点D．点A，B的坐标分别为（4，1），（6，4）．
（1）①c＝ ；
②请用含a的式子表示顶点D的坐标．
（2）抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与线段AB有一个公共点时，求a的取值范围；
（3）如图，连接AD，BD，△ABD的面积是否发生变化，若不变请直接写出其面积；若变化，请说明理由．
26．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线CB﹣BA上运动（点E不与点C，A重合），DE的中点为G，将EG绕点E顺时针旋转90°得到EF．设点E的运动路径长为x．
（1）如图1，当点E与点B重合时，点F到直线BC的距离为 ；
（2）如图2，当点F落在矩形ABCD的边（或边所在的直线）上时，求x的值；
（3）过点F作FN∥DE，交AD延长线于点N（如图3），设DN的长为y，请直接写出y与x的函数解析式．
2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共38分，1-6每题3分，7-16每题2分.）
1．（3分）数轴上点A表示﹣3，点B表示1，则表示A、B两点间的距离的算式是（ ）
A．﹣3+1B．﹣3﹣1C．1﹣（﹣3）D．1﹣3
【解答】解：依题意得：1＞﹣3，
∴A、B两点间的距离为：1﹣（﹣3）．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2•a3＝4a5D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，
则A不符合题意；
B．（﹣3a2）3＝﹣27a6，
则B不符合题意；
C．4a2•a3＝4a2+3＝4a5，
则C符合题意；
D．a6÷a2＝a4，
则D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（ ）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
【解答】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条，
故选：B．
4．（3分）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，
∴ab＝（+1）（﹣1）
＝2﹣1
＝1，
∴＝＝2．
故选：B．
5．（3分）如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，
∴1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，
∴翻转第一次时3朝下，4朝上；翻转第二次时2朝下，5朝上；翻转第三次时4朝下，3朝上；翻转四次时1朝下，6朝上．
故选：D．
6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．PQ为∠APB的平分线
B．PA＝PB
C．点A、B到PQ的距离不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，
∴A，B，D正确；
∵PQ是∠APB的平分线，PA＝PB，
∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．
故选：C．
7．（2分）一个小正方体的表面积为3×10﹣2平方米，则每个面的面积用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣2平方米B．5×10﹣3平方米
C．5×10﹣2平方米D．0.5×10﹣3平方米
【解答】解：∵小正方体有6个面，且每个面都是正方形，
∴（3×10﹣2）÷6＝0.5×10﹣2＝5×10﹣3（平方米），
故选：B．
8．（2分）图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由题意可知，该几何体的底层至少需要3个小正方体，上层至少需要2个小正方体，
所以至多还能拿走这样的小正方体3个．
故选：C．
9．（2分）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
A．∠B+∠C＝180°B．AB＝CD
C．∠A＝∠BD．AD＝BC
【解答】解：∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
10．（2分）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：方法一：+
＝
＝
＝，
∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴ab≠0，
当a+b＝0时，原式＝＝﹣2，
故选：A．
方法二：∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴+
＝
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故选：A．
11．（2分）已知48﹣1＝（44+1）（44﹣1）＝⋯，则按此规律推算48﹣1的结果一定能（ ）
A．被12整除B．被13整除C．被14整除D．被15整除
【解答】解：48﹣1
＝（44+1）（44﹣1）
＝（44+1）（42+1）（42﹣1）
＝（44+1）（42+1）×15．
故选：D．
12．（2分）自然数4，5，5，x，y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x，y中，x+y的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：唯一的众数是5，中位数为4，故x，y不相等且x＜4，y＜4．
x、y的取值为0，1，2，3，则x+y的最大值为2+3＝5．
故选：C．
13．（2分）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线①所对的圆弧长为＝，
展开后得到的多边形的内角和为180°×（8﹣2）＝1080°．
故选：C．
14．（2分）在作业纸上，AB∥EF，点C在AB，EF之间，要得知两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
【解答】解：如图1，延长CD交AB于Q，过C作CM∥AB，而AB∥EF，
∴AB∥CM∥EF，
∴∠AQC＝∠QCM，∠E＝∠MCE，
∴∠AQC＝∠QCM＝∠DCE﹣∠MCE＝∠DCE﹣∠E，
∴I方案可行，
如图2，延长CD交AB于Q，
∵AB∥EF，
∴∠AQC＝∠CME，
∴II方案可行，
故选：C．
15．（2分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2B．3C．4D．
【解答】解：设A′B′交BC于E，A′C′交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）2＝，即（）2＝，
解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），
故选：B．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝，
∴OM＝AO＝，
∴AM＝，
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵OE2＝OM2+EM2，
∴y＝（x﹣5）2+3，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（5，3），与y轴的交点为（0，28），
∵0≤x≤8，
∴当x＝8时y＝12，
故符合解析式的图象为：
故选：C．
二.填空题（17题3分，18题每空2分，19题第一空3分，第二空1分，共11分）
17．（3分）由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是 ．
【解答】解：∵x＜y，ax＞ay，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
18．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．
【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
19．（4分）如图，在▱OABC中，点C（3，0），点A（1，3），反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象与BC交于点F，与折线OAB交于点E．
（1）k＝ ；
（2）若▱OABC夹在y1，y2之间的整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则m的取值范围为 ．
【解答】解：（1）∵OC＝3，点A（1，3），
∴将点A向右平移3个单位长度得到点B（4，3），
将点B（4，3）代入中，得k＝12；
（2）▱OABC中的整数点如图所示：
将点A（1，3）代入，得m＝3；将点（1，2）代入，得m＝2；
∴若▱OABC夹在y1，y2之间的整数点有7个（包括边界），则m的取值范围为2＜m≤3，
故答案为：（1）12；（2）2＜m≤3．
三.解答题（共71分）
20．（9分）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
【解答】解：（1）∵360°÷180°＝2，
630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2
＝2+2
＝4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝540°，
解得x＝3．
故x的值是3．
21．（9分）在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；
（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8x+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，
∵（2x﹣1）2≥0．
∴2M﹣N的化简结果不能为负数．
22．（8分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘．
（1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率；
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）正方形四个顶点的坐标分别是A（﹣2，2）；B（﹣2，﹣2）；C（2，﹣2）；D（2，2），
列表得：
M点的坐标所有的情况有共16种，
其中落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4种，所以M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率是＝；
（2）若使点M落在正方形ABCD面上的概率为，则只有4个点不在正方形内部，所以可把正方形ABCD向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度即可．
23．（9分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：
，
解得，
∴AB所在直线的函数表达式为F拉力＝﹣x+；
（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，
∵4﹣＝（N），
∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．
24．（11分）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边△PAB组成，直径AB＝8cm，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与MN相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动．
（1）如图1，AB∥MN，请直接写出PC的长为 cm（结果保留根号）；
（2）如图2，当PB⊥MN时，连接OQ，OC．
①直接写出∠COQ的度数．
②求点C到桌面MN的距离（结果保留根号）；
（3）当PA或PB垂直于MN时“不倒翁”开始折返，直接写出从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离．
【解答】解：（1）由题意得：当AB∥MN时，P，O，C三点在一条直线上，
∵直径AB＝8cm，
∴OC＝AB＝4cm，
∵△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝PB＝8cm，∠PAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴PO⊥AB，
∴PO＝PA•sin60°＝8×＝4（cm），
∴PC＝PO+OC＝（4+4）cm．
故答案为：4+4；
（2）①∠COQ的度数＝30°．
∵半圆O与MN相切于点Q，
∴OQ⊥MN，
∵PB⊥MN，
∴PB∥OQ，
∴∠QOB＝∠PBA＝90°，
∵半圆O的中点为点C，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COQ＝∠BOC﹣∠BOQ＝30°．
②过点C作CH⊥MN于点H，CK⊥OQ于点K，如图，
∵∠COQ＝30°，CK⊥OQ，
∴CK＝OC＝2cm，
∴OK＝＝2（cm），
∴QK＝OQ﹣OK＝（4﹣2）cm，
∵CH⊥MN，CK⊥OQ，OQ⊥MN，
∴四边形CHQK为矩形，
∴CH＝QK＝（4﹣2）cm．
∴点C到桌面MN的距离为（4﹣2）cm．
（3）从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离为cm．
∵拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动，
∴滚动过程中始终与桌面MN相切，
∴圆心O到桌面的距离总等于圆的半径，
∴从PB⊥MN滚动到PA⊥MN过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍，
由（2）①知：∠COQ＝30°，
∴圆心O移动的距离＝＝（cm）．
25．（12分）已知：如图抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与y轴交于点（0，4），顶点为点D．点A，B的坐标分别为（4，1），（6，4）．
（1）①c＝ ；
②请用含a的式子表示顶点D的坐标．
（2）抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与线段AB有一个公共点时，求a的取值范围；
（3）如图，连接AD，BD，△ABD的面积是否发生变化，若不变请直接写出其面积；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与y轴交于点（0，4），
∴c＝4，
故答案为：4；
②抛物线解析式为y＝ax2+3x+4，
根据顶点坐标公式：x＝﹣，
y＝a（﹣）2+3（﹣）+4＝＝﹣，
∴D（﹣，﹣+4）；
（2）设线段AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，1）、B（6，4）代入得：
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝，
当抛物线经过点A时，如图，此时有：1＝a×42+3×4+4，
解得：a＝﹣，
当抛物线经过点B时，如图，此时有：4＝a×62+3×6+4，
解得：a＝﹣，
当抛物线的顶点在直线AB上时，
，
此方程无解，
∴a的取值范围为：；
（3）不变，理由如下：
分别过点A，B，D作AE⊥x轴，BF⊥x轴，DG⊥x轴，
∴S△ABD＝S梯形BFGD﹣S梯形BFEA﹣S梯形AEGD
＝（4+4﹣）（6+）﹣×（4+1）×（6﹣4）﹣（1+4﹣）（4+）
＝24﹣﹣﹣10++﹣5
＝9．
26．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线CB﹣BA上运动（点E不与点C，A重合），DE的中点为G，将EG绕点E顺时针旋转90°得到EF．设点E的运动路径长为x．
（1）如图1，当点E与点B重合时，点F到直线BC的距离为 ；
（2）如图2，当点F落在矩形ABCD的边（或边所在的直线）上时，求x的值；
（3）过点F作FN∥DE，交AD延长线于点N（如图3），设DN的长为y，请直接写出y与x的函数解析式．
【解答】解：（1）如图1，
作FH⊥BC于H，
∴∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠FHE＝∠A，
∵EG绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴EF＝EG，∠DEF＝90°，
∴∠GEF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠FEH，
∴△ABD∽△HEF，
∴，
∵G是DE的中点，
∴DE＝2EG＝2EF，
∴，
∴FH＝＝，
故答案为：；
（2）如图2，
当点E在BC上，点F在CD所在的直线是上时，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEC+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECF＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠FEC，
∴△ECF∽△DEC，
∴，
∴CE＝，
∴x＝2，
如图3，
当点E在AB上，当F在BC上时，
同理上可得，
△EBF∽△DAE，
∴，
∴BE＝AD＝，
∴x＝BC+BE＝2+，
综上所述：x＝2或；
（3）如图3，
当点E在BC上时，作DH⊥FN于H，作EQ⊥AD于Q，
∴∠DHN＝∠DHF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴EQ＝AB＝4，
∵∠DEF＝90°，FN∥DE，
∴∠F＝180°﹣∠DEF＝90°，
∴四边形DEFH是矩形，
∴DH＝EF，∠HDE＝90°，DH＝EF，
∴∠HDN+∠EDQ＝90°，
∵∠DHN＝∠EQD＝90°，
∴∠QED+∠EDQ＝90°，
∴∠QED＝∠HDN，
∴△DHN∽△EQD，
∴，
∴DN＝，
∵DH＝EF＝ED，
∴y＝＝ED2，
∵ED2＝DQ2+EQ2＝CE2+EQ2＝x2+16，
∴y＝（0＜x≤3），
如图4，
当点E在AB上时，
同理可得，
△DHN∽△EAD，
∴，
∴DE＝，
∵AE＝7﹣x，ED2＝AE2+AD2＝（7﹣x）2+9，
∴y＝（3＜x＜7），
综上所述：y＝．∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵_____，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵_____，
∴四边形ABCD是平行四边形．
a
b
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
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