[数学]2023_2024学年6月四川绵阳江油市太白中学高二下学期月考数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年6月四川绵阳江油市太白中学高二下学期月考数学试卷
1.
的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则
B. 10
（
）
A. 9
C. 11
D. 12
答案
B
解析
【分析】
利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有 项，可求得 的值．
【详解】
因为
展开式中，二项式系数最大的项只有第 项即最大，
根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，
所以
，解得
.
故选：B.
2. 已知函数
A. 1
，则
（
）
B.
C. 2
D. 4
答案
解析
A
【分析】
根据题意，结合导数的运算法则和导数的定义，即可求解.
【详解】
由题意知，
，
又由
，则
，所以
故选：A．
3. 在等比数列{ }中，
A. 4
，则 ＝（
B. ±4
）
C. 2
D. ±2
答案
解析
C
通过题意
，又
同号，所以
．
因此正确答案为：C．
4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（
A. B. C. D.
）
答案
解析
C
【分析】
直接根据速度的变化快慢得答案.
【详解】
开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合.
故选：C.

5. 二项式
A. 4
的展开式中第9项是常数项，则 的值是
B. 8
C. 11
D. 12
答案
解析
D
【分析】
写出展开式的第9项，令x的次数为0即可．
【详解】
二项式
的通项公式
是常数项，
，
8
2 •
T9＝
∴n﹣12＝0，n＝12
故选D．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，属于基础题．
6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只
涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（
）
A. 36
B. 400
C. 420
D. 480
答案
解析
C
【分析】
根据题意，依次分析5个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分4步进行分析：
①，对于区域 ，有5种颜色可选；
②，对于区域 ，与 区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域 ，与 、 区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域 、 ，若 与 颜色相同， 区域有3种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有2种颜色可选， 区域有2种颜色可选，
则区域 、 有
则不同的涂色方案有
故选：C．
种选择，
种；
7. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的
件中任取一件，则取到正品的概率为（
，甲、乙两台车床的正品率分别为
D. 0.945
．现从一批零
）
A. 0.93
B. 0.934
C. 0.94
答案
解析
B
【分析】
根据概率与条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.
【详解】
设事件 表示为“任选一件零件为甲车床生产的”，
事件 表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件 表示为“任选一件零件为正品”，

则
，
，
，
，
所以
.
故选：B.
8. 定义在 上的偶函数
A.
的导函数为
B.
，且当
时，
．则（ ）
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
构造函数
【详解】
由当
在
，
上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项.
时，
，
得
设
，则
在
，
所以
上单调递增，
又函数
所以
为偶函数，
为偶函数，
所以
在在
，即
上单调递增，在
，所以
上单调递减，
，A选项错误；
，B选项错误；
所以
，即
，即
，所以
，所以
，所以
，C选项错误；
，D选项正确；
，即
故选：D.
9. 下列求函数导数正确的是（
A.
）
B.
C.
D.
答案
解析
AD
【分析】
根据题意，由基本初等函数的求导公式以及积的求导法则，代入计算，即可得到结果.
【详解】
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：AD.
10. 已知数列
的前 项和
，则（
）
A. 不是等差数列
B.
C.
D.
数列
是等差数列
答案
解析
BC
【分析】
根据
即可求出数列
的通项，再根据等差数列的定义和前 项和公式逐一判断即可.
【详解】
由
，
当
当
当
时，
时，
时，上式也成立，
，
，

所以
因为
，故B正确；
，所以
，所以数列
，
是等差数列，故A错误；
对于C，
因为
，
是等差数列，故C正确；
对于D，令
，则
，当
，
所以当
故
时，
时，
，故D错误.
故选：BC.
11. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事
为“恰有两名同学所看电影相同”，事件 为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（ ）
件
A. 四名同学看电影情况共有
C.
种
B. “每部电影都有人看”的情况共有72种
D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是
答案
解析
ACD
【分析】
根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个
项目的方法总数，再结合A选项可判断 D.
【详解】
对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
故四名同学的报名情况共有 种，A正确；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有
再将其分到三个活动中，共有 种，由分步乘法计数原理得到
故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；
种情况，
种，
对于C，由已知有：
所以
，
，
， C正确；
对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
故选：ACD.
，D正确.
12. 定义在
上的函数
的导函数
的图象如图所示，函数
的部分对应值如下表．下列关于函数
的结论正确的是（
）
-1
1
0
2
2
0
4
2
5
1
A. 函数
C. 若
的极值点的个数为3
B. 函数
的单调递减区间为
时，方程
时，
的最大值是2，则t的最大值为4
D. 当
有4个不同的实根
答案
解析
AD
【分析】
对于A：由
的图象可知，当
时，
，当
的最大值是2可判断；
，再由导函数
的符号可判断；
，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断；
对于B：由图象得当
对于C：由
时，
时，函数
时，
对于D：作出函数
【详解】
的大致图象可判断．
解：对于A：由
的图象可知，当
时，
，且当
时，
，当
时，
，当
时，
，当 时，
，所以0，2，4是函数
的极值点，故A选项正确；

对于B：由导函数
调递减区间为
对于C：当
的正负与函数
之间的关系可知，当
时，
，当
时，
，所以函数
的单
，
，故B选项错误；
时，函数
与函数
的最大值是2，而 的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数
的图象有4个交点，故D选项正确．
的大致图象如图所示，当
时，直线
故选：AD．
13. 若
，则
.
答案
解析
【分析】
由导数的运算法则与赋值法求解.
【详解】
，则
，
令
，有
，解得
.
故答案为： .
14. 记S 为等比数列{a }的前n项和.若
，则S4=
．
n
n
，
答案
.
解析
详解：设等比数列的公比为 ，由已知
，即
解得
所以
，
．
15. 函数
在区间
上有最小值，则 的取值范围是
.
答案
解析
【分析】
求出函数
【详解】
的单调性，结合最小值的定义即可求解.
，令
得
，
时
，
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
若函数
则必有
在
上有最小值，则其最小值必为
，
且
.
，
即
则
且
，
，解得
且
，
故答案为：
16. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是
.
答案
解析
【分析】

根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】
当五人中只有三个人被录用，不同的录用情况种数为
当五人中只有四个人被录用，不同的录用情况种数为
；
；
当五个人都被录用，不同的录用情况种数为
，
所以每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是
，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是在于超过3人被录用时，如何正确分组，正确运用排列和组合的定义.
17. 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
答案
解析
(1) ；(2)
0
1
2
3
【分析】(1)用古典概型概率计算公式直接求解；(2) 的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列.【详解】
(1)所选 人中恰有一名男生的概率
；(2) 的可能取值为0,1,2,3.
∴xi 的分布列为:
2
0
1
3
【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.
18. 已知函数
(1)求曲线
.
在点
处的切线方程；
(2)求
的极值.
答案
(1)
(2)极小值为 ，无极大值
解析
【分析】
（1）根据导数的几何意义求解即可.
（2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值.
【详解】
（1）
的定义域为
，
，所以
，所以切点为
处的切线方程为
，
又因为
，
所以曲线在
（2）
，
当
时，
时，
，
当
，函数
单调递增，
单调递减，
有极小值，且极小值为
当
时，
时，
，函数
所以当
，无极大值.
19. 设 为数列
(1)证明：
的前 项和，已知
为等比数列；
，
．
(2)求
的通项公式，并判断
是否成等差数列？

答案
解析
(1)证明见解析
(2)
，
，
，
成等差数列
（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
是首项为2公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，
，
，
，
，
，
即
，
，
成等差数列．
20. “坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和
羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为：
和
，每场比赛相互
独立，谁最终得分多谁获胜．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求甲得分的分布列及数学期望．
答案
解析
（1） ；（2）分布列见解析；
.
【分析】
（１）由题意分析可得，甲胜的充分必要条件是两场比赛都是甲胜，利用独立事件概率公式即可求得；
（2）由题意，甲的得分可能值为0，2，4，分别求的对应概率，得到概率分布列，利用期望的定义计算期望值即可.
【详解】
解：（1）设甲获胜的概率为 ，则
．
（2）设甲得分数为 ，则 可取值为0，2，4，
，
，
于是分布列为：
0
2
4
于是
．
【点睛】
本题考查独立事件的概率，离散型分布列和期望，属基础题，理解题意，分析甲的分的各种情况是解决问题的关键.
21. 已知数列
的前 项和为 ，且
的通项公式；
，求数列
．
(1)求
(2)记
的前 项和
．
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）由
可得
，由裂项相消法可求出数列
，两式相减由累乘法可求出
的通项公式；
（2）求出
的前 项和
.
【详解】
（1）因为
因为
，令
得
，
，
，
所以
，
两式相减得
即
．

所以
所以
即
，
，
，
所以当
又
时，
，
，所以
．
（2）由（1）可得
所以
，
.
22. 已知函数
.
(1)证明：
；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数 的取值范围.
答案
解析
(1)证明见解析；
(2)
【分析】
（1）构造函数利用导数研究其单调性及最值即可；
（2）分离参数得
【详解】
（1）先证
令
，利用导数研究
的单调性求其最小值即可.
，即证
，
，
，
易知
时，
时，
，
所以
再证
在
上单调递增，在
，即证
上单调递减，即
，
，
由上可知
整理得
在
上恒成立，所以
成立，
，证毕；
时，
（2）易知
单调递增，故
，
所以原不等式
恒成立，
令
而
，
时，
单调递增，即
，则
，
所以
所以
在
上单调递增，
，
所以
，即
.