[数学]2023_2024学年安徽六安高一下学期期末数学试卷(皖西中学)(原题版+解析版)

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2023~2024学年安徽六安高一下学期期末数学试卷（皖西中学）
1. 复数
A. 1
的虚部为（
）
B. －1
C. i
D. －i
答案
解析
B
，∴虚部为－1．
因此正确答案为：B
2. 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（
）
A. 0.26
B. 0.28
C. 0.72
D. 0.98
答案
解析
D
【分析】
利用独立事件的公式求解即可.
【详解】
设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件
事件“至少有一人命中”为事件
故选：D.
3.
的内角
的对边分别为
B.
，已知
，则
（
）
A. 1
C. 3
D. 1或3
答案
解析
D
【分析】
根据题意利用余弦定理运算求解.
【详解】
由余弦定理可得
，即
，
整理可得
故选：D.
，解得
或
.
4. 已知m，n为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面，则下列条件能推出
的是（
）
A.
B.
C.
D.
，
，
，
，
，
，
，
答案
解析
A
【分析】
根据线面垂直的性质可判断A；根据平面与平面关系的判定可判断BCD.
【详解】
对A，若
，
，则
，故A正确；

对B，若
对C，若
对D，若
故选：A.
，
，则 与 平行或相交，故B错误；
，
，
，
，则 与 平行或相交，故C错误；
，
，
，则 与 平行或相交，故D错误.
5. 若
A.
为
的边
的中点，则
（
）
B.
D.
C.
答案
A
解析
【分析】
直接利用向量的加减法及数乘运算即可.
【详解】
2(
2
-
.
故选:A.
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
6. 已知向量
A. 5
与
的夹角为120°，| |＝3，|
B. 4
＋
|＝
，则
等于（
C. 3
）
D. 1
答案
解析
B
∵向量 与 的夹角为120°，| |＝3，| ＋ |＝
，
∴
∵
,
，
∴
∴
，
＝﹣1（舍去）或
＝4，
因此正确答案为：B．
7. 在长方体
A.
中，
B.
，
与平面
所成的角为
，则该长方体的体积为
D.
C.
答案
解析
C
【分析】
首先画出长方体
，利用题中条件，得到
，根据
，求得
，可以确定
，之后
利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体
中，连接
，

根据线面角的定义可知
因为 ，所以
，
，从而求得
，
所以该长方体的体积为
【点睛】
，故选C.
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，
所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
8.
的内角
的对边分别为
，且
，
，则（
）
A.
B.
C.
的外接圆半径为
的面积的最大值为
D.
的周长的取值范围是
答案
解析
D
【分析】
利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出
【详解】
和
的范围判断CD即可.
选项A，由
可得
，
又
是
的内角，
，由正弦定理得
，所以
，
所以
因为
，
中
，即
，
所以
，A说法错误；
选项B，设
的外接圆半径为 ，因为
，
所以由正弦定理得
，
所以
，解得 ，B说法错误；
选项C：由正弦定理可得
由余弦定理得
，解得
，即
，
，解得
，
当且仅当
所以
时等号成立，
的面积
，C说法错误；
时等号成立，
选项D，由C知
解得
，
，当且仅当
由三角形的性质知
所以
，
，D说法正确；
故选：D
9. 关于样本数据：
A. 极差为6
，下列结论中正确的是（
B. 众数为7
）
C. 中位数为8
D. 平均数为8
答案
解析
AB
【分析】
分别求出平均数、众数、极差和中位数，即可判断.
【详解】
对于数据：
极差为
，
，故A正确；
众数为7，故B正确；
中位数为
，故C错误.
平均数为
，故D错误；
故选：AB.

10. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键
点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点 之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的
，则（
湖岸取另外两个测量基点
，测得
米，
，
）
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
答案
解析
ABD
【分析】
中，由等腰三角形的性质求
余弦定理得 判断选项D.
判断选项B；在
和
中，正弦定理求
和
判断选项AC；在
中，由
【详解】
在
中，
中，
，
，则
米，B选项正确．
在
，又
，则
，
由正弦定理可得
解得
，即
，
米，A选项正确；
中同理可得
中，由余弦定理得
米，D选项正确．
米，C选项错误；
在
，
所以
故选：ABD
11. 如图，正方体
中E，F，G分别为
，
，
的中点，则下列结论正确的是（
）
A. 直线
与
所成角的余弦值为
的距离相等
B. 直线
D. 平面
与平面
平行
C. 点C与点G到平面
截正方体所得大小两部分的体积比为
答案
解析
ABD
【分析】
通过转化找到其异面直线所成角判断A；利用线面平行证明面面平行进而证明线线平行判断B；对点到平面的距离是否相等，通过反证
法得出与其矛盾的结论判断C；对组合体体积进行合理分割求解即得D.
【详解】
对于A，因
不妨设正方体棱长为1，则
中，
,则
即直线
与
所成角或其补角，
,
在
，故A正确；

对于B，如图，取
中点 ，连接
,则易得
平面 ，
,
因
又
因
因
又
平面
平面
平面
,
平面
，则
得 ▱
，则有
平面
,
,
平面
，故
平面
平面
，
，故平面
，故
，
，故B正确；
对于C，若点C与点G到平面
的距离相等，则平面
必过
的中点，
连接 交 于 ，显然 不是
的中点，则平面
不过 的中点，
即点C与点G到平面
对于D，因
的距离不相等，故C错误；
，则等腰梯形
即为平面
截正方体所得截面，
正方体被平面
它是由四棱锥
所截的后半部分，即较小的那部分空间几何体，其体积为
,
和三棱锥
组成，易得：
故D正确.
故剩余部分体积为
于是
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：本题主要考查正方体中的线线关系，线面关系，点到平面的距离，空间几何体体积等，属于难题，综合性较强，尤其是D项
中的组合体体积，需要对其进行合理分割再去求解.
12. 已知正方形
的边长为 ，
为
的中点，则
．
答案
解析
2
=
·
=(
+
)·(
-
)
-
·
+
·
-
·
=22- ×22=2.
13. 若一组数据
的方差为1，则数据
的标准差为
.
答案
解析
2
【分析】
根据方差的性质得到数据
【详解】
的方差为
，进而得到标准差.
数据
的方差为
的标准差为
，
故数据
.
故答案为：2
14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；
将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵 中，
，

，AB＝8，则鳖臑
外接球的表面积为
，阳马
体积的最大值为
．
答案
解析
64
【分析】
将鳖臑
外接球即为堑堵
的外接球，从而求出外接球直径为
的外接球，可将堑堵
，得到外接球表面积，利用基本
不等式得到
【详解】
鳖臑
，求出体积的最大值
外接球即为堑堵
补成长方体，
则外接球直径为
∴其表面积为
∵
，
．
，当且仅当
时取等号，
．
所以
，
∴阳马
的体积为
故答案为：
，64
15. 已知向量
(1)若
，
，
．
，求
；
(2)若
与
共线，求k的值．
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
(1)利用向量垂直求参数的值，（2）利用向量共线求参数的值即可.
【详解】
（1）
因为
，所以
则
则
则
（2）
则
若
与
共线，则
16. 如图，在三棱柱
（1）求证: 平面
中，侧棱垂直于底面，
；
分别是
的中点．
平面
（2）求证:
平面
；

（3）求三棱锥
体积．
答案
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】
．
解析
试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.
（1）在三棱柱
中，
底面ABC，所以
，因为AB 平面
AB，
又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面
，所以平面
平面
.
（2）取AB中点G，连结EG，FG，
因为E，F分别是 、 的中点，所以FG∥AC，且FG= AC，
因为AC∥
，且AC=
为平行四边形，所以
平面ABE，
，所以FG∥
，且FG=
EG，
，
所以四边形
又因为EG 平面ABE，
所以
平面
.
（3）因为
=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=
的体积为：
，
所以三棱锥
=
=
.
考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学
们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求图中
的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)从成绩在第四､五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取5人，再从这5人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率.
答案
解析
(1)
，
(2)第80百分位数为77.5，平均数为
(3)
【分析】
（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b；
（2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解；
（3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可.
【详解】
（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以
，解得
，即
，
所以前两组的频率之和为
，解得
组内，
.
（2）前三组频率之和为0.75，所以第80百分位数位于
且
，即估计第80百分位数为77.5；
估计平均数为
.

（3）成绩在第四､五两组志愿者分别有20人、5人，
按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为
这5人选出2人，所有情况有
，第五组志愿者人数为1，设为 ，
，共10种，
其中选出的两人来自同一组的有
，共6种，
所以选出的两人来自同一组的概率为
.
△ABC的内角
的对边分别为
,已知△ABC的面积为
、 、
、
、
(1)求
(2)若
;
求△ABC的周长.
答案
解析
(1)
(2)
.
【详解】
试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式
，再利用正弦定理将边化成角，从而得出
的值；（2）由
的值，从而求出
和
计算出
，从而求出角 ，根据题设和余弦定理可以求出 和
的周长为
.
试题解析：（1）由题设得
，即
.
由正弦定理得
.
故
.
（2）由题设及（1）得
，即
.
所以
，故
.
由题设得
，即
.
由余弦定理得
，即
，得
.
故
的周长为
.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的
关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面
积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：
全部转化为角的关系，建立函数关系式，如
值直接利用余弦定理和给定条件即可.
，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的
19. 如图，直三棱柱
的体积为 ，
的面积为
．
(1)求 到平面
(2)设
的距离；
的中点，
为
，平面
平面
，求二面角
的大小．
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）利用体积桥
可构造方程求得结果；
（2）利用线面垂直的判定与性质可证得
平面
，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结
果.
【详解】
（1）由题意知：
；
设点 到平面
的距离为 ，

，解得：
，
即点 到平面
的距离为
.
（2）取
的中点 ，连接
，
，
，
又平面
平面
，又
，平面
平面
平面
，
平面
，
平面
三棱锥
平面
，
；
为直三棱柱，
；
平面
，
又
，
，
平面
，
平面
则以 为坐标原点，
正方向为
轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）知：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
则
的法向量
，
，令
，解得：
，
，
；
设平面
则
的法向量
，
，令
，解得：
，
，
，
；
而
，所以
的大小为
，
则二面角
.