[数学]2023_2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷(原题版+解析版)

这是一份[数学]2023_2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷(原题版+解析版)，文件包含数学2023_2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷解析版docx、数学2023_2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷解析版pdf、数学2023_2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷原题版docx、数学2023_2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷原题版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2023~2024学年北京东城区北京市第一中学高一下学期期中数学试卷
1. 在复平面内，复数
A. 第一象限
对应的点位于（
B. 第二象限
）
C. 第三象限
D. 第四象限
答案
解析
A
【分析】
化简复数
【详解】
，再根据复数的几何意义，即可得到答案；
，
对应的点为
，
点位于第一象限，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.
2. 已知向量
A. ﹣4
，
，若
B. 1
，则
（
）
C. 2
D. 4
答案
解析
D
【分析】
由坐标形式的共线定理即可求解.
【详解】
由题得
.
故选：D.
3. 设 ， 为非零向量，且满足
A. 既不共线也不垂直
，则 与 的关系是（
）
B. 垂直
C. 同向
D. 反向
答案
解析
D
【分析】
根据已知条件,将
【详解】
两边同时平方,再化简，即可求解.
设
与
的夹角为
,
同时平方可得
即
,
，因为
为非零向量，
则
,解得
,
故 与 的关系是共线且方向相反.
故选：D.
4. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点
A. B.
，向量
，则向量
C.
D.
答案
解析
A

试题分析：
，
，
，
,选A.
考点：向量运算
5.
中，
，
，
，
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
根据数量积的定义计算即可.
【详解】
依题意得，由于
则
，则
的夹角是
，
.
故选：B
6. 已知
是平面内四个不同的点，则“
”是“四边形
为平行四边形”的（
C. 充分必要条件
）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
解析
B
【分析】
根据向量平行的意义进行判断即可.
【详解】
一方面，
时，可能
共线，此时
不构成四边形，充分性不成立；
另一方面，四边形
为平行四边形时，则
，故
，必要性成立.
故“
”是“四边形
为平行四边形”的必要不充分条件.
故选：B
7. 等边
A.
的边长为2，则
在
上的投影向量为（
）
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
根据投影的数量和投影向量的公式，即可求解.
【详解】
因为
是边长为 的等边三角形，且
，
可得向量
在向量
在向量
上的投影的数量为
上的投影向量为
，
所以向量
故选：A.
.
8. 为了得到函数
的图象，需要把函数
的图象（
）
A. 向左平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
答案
解析
C

函数
，根据图像左加右减的变换原则，
的图象向左平移 个单位长度，
的图象，
只需把函数
即可得到函数
因此正确答案为：
．
9. 据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有
满足
“勾3股4弦5”，其中
，
，点
是
延长线上的一点，则
=（
）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 不能确定
答案
解析
C
因为
所以
，所以
，所以
，
，所以
，
所以
.
因此正确答案为：C
10. 在
A.
中，
，
，且
B.
，则
的最小值是（
）
C.
D.
答案
解析
A
先将
平方后，利用二次函数的性质求出最值.
，且
【详解】
，
，
.
当
时，
取得最小值为 ，则
取得最小值为
故选：A.
11. 已知向量
，
，且
，则
.
答案
解析
8
【分析】
根据题意，由向量坐标的加法运算可得
，再利用向量垂直与向量数量积的关系分析可得
，即可解得 的值．
【详解】
根据题意，向量
由
，
，则
，可得
，
解得
.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查向量坐标的加法运算，数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题.
12. 已知复数 满足
，那么
，
．

答案
解析
【分析】
利用复数除法运算得到复数 ，进而求出其共轭与模即可.
【详解】
复数
，
故
，
．
【点睛】
本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.
13. 已知向量
，
， 与 的夹角为 ，则求
．
答案
解析
【分析】
待求表达式平方后，结合数量积的运算即可求解.
【详解】
，即
.
故答案为：
14. 已知非零平面向量 ， ， ，
①若
③若
，则
；②若
；④若
，则
；
，则
，则
或
．
其中正确命题的序号是
．
答案
解析
②③
【分析】
举反例结合向量垂直可判断①；对已知等式两边平方可判断②③；根据向量相等可判断④．
【详解】
对于①，例如
对于②，若
可得
，
时，则
，则
，满足题意，但
，故错误；
，
，
，所以
所以 与 的夹角为 ，故正确；
对于③，若
，则
，
，
，可得
因为向量 ， 是非零向量，则
对于④，若
，故正确；
，则
，
所以
，可得 与 的模长相等，但夹角不确定，故错误.
其中正确命题的序号是②③.
故答案为：②③.
15. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量
，则 的取值范围是
．

答案
解析
【分析】
如图，建立平面直角坐标系，设
，则
，则
，设
，则
，则由已知可得
，从而可得
，然后利用正弦函数的性质可求得其范围
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设
,
设
，则
，
因为
所以
所以
，
，
，解得
，
所以
因为
，其中
，
，
所以当
当
时，
时，
取得最小值
，此时
取得最小值1，
取得最大值1，此时
，
取得最大值
所以
的取值范围为
故答案为：
16. 已知
，
， 与 的夹角为
．
(1)求
(2)求
；
；
(3)当k为何值时，
？
答案
解析
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）直接利用数量积公式计算可得答案；
（2）对 两边平方再开方可得答案；
（3）利用数量积为零可得答案.
【详解】
（1）
（2）
；
；
，
（3）由
即
得
，
可得
，解得
17. 在
中，
，
，
，且
，
与
交于点 ，设
，
．
(1)用向量 ， 表示
(2)求 的值．
，
；

答案
解析
(1)
(2)
，
【分析】
（1）利用向量的线性运算来表示即可；
（2）求出
和
，然后利用夹角公式求解即可.
【详解】
（1）因为
则
，即
，且
，
，
，
；
（2）由（1）得
，
，
则
，
所以
18. 如右图，某货轮在 处看灯塔 在货轮的北偏东
向正北航行到 处时，再看灯塔B在北偏东 ，求：
，距离为
，在 处看灯塔 在货轮的北偏西
，距离为
，货轮由
处
(1) 处与 处的距离；
(2)灯塔
与
处的距离．
答案
解析
（1）24；（2）8
(1) 在
中，由已知得
，
由正弦定理得
(2) 在
中，由余弦定理得
，解得
．
所以 处与 处之间的距离为
灯塔 与 处之间的距离为
，
．

19. 已知
(1)求角A
(2)若
的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量
，
，且
，
，求
的面积
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）由
得
，接着结合正弦定理以及角的范围即可求解.
求出 ，即可由面积公式
（2）由（1）结合余弦定理
【详解】
求解.
（1）因为
，
所以
又
，故由正弦定理得
，
，故
，所以
，所以
.
，即
得
，
又
（2）由（1）及余弦定理
，
化简得
所以
，解得
，
.
20. 已知函数
，其中
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使
存
在，并完成下列两个问题．
(1)求 的值；
(2)若
，函数
在区间
，都有
上最小值为
，求实数 的取值范围．
条件①：对任意的
成立；
条件②：
条件③：
；
．
答案
解析
(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）根据所选条件分别计算能否使
（2）根据（1）中可得
成立，从而可求解.
，再利用整体代换法得
，从而可求得
，再结合
，从而可求解.
【详解】
（1）由
，
若选条件①：可知当
时，
，因为
，即
，且对任意
，都有
恒成立，
，所以与条件矛盾，故不选
，
故选条件①时
若选条件②：
②；
存在，故可选①；
，解得
或
，
，因为
若选条件③：
所以
，因为
，可得
，故条件③能使
成立，故可选③；
，
综上所述：故可选择条件①或③，此时
（2）由（1）知 ，当
.
时，
且
的最小值为
，
，所以可得
，解得
，又
，
所以
所以 的取值范围为
.

21. 对于任意实数a，b，c，d，表达式
(1)求下列行列式的值：
称为二阶行列式，记作
．
①
；②
(2)求证：向量
(3)讨论关于 ， 的二元一次方程组
与向量
共线的充要条件是
；
（
）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
答案
解析
(1)①1； ②0
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】
（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值；
（2）根据向量共线的坐标运算结合充要条件分析证明；
（3）求出
，
，由此能求出当
时，关于x，y的二元一次方程组
（
）有唯一解，并能求出解.
【详解】
（1）①由题意可得：
；
②由题意可得：
（2）若向量
.
与向量
，即
共线，则：
，
当
当
时，有
时，有
，即
，即
当c，d不全为0时，即
，所以必要性得证.
反之，若
，
时，
不妨设
因为
，则
，可得
，
，
，则
，则
可得
当
与
共线，
与
且
时，
，则
共线，充分性得证；
共线的充要条件是
综上所述：向量
与向量
.
（3）用 和 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，③
同理，消去x，得：
，④
当
时，即
时，由③④得：
，
，
所以当
时，关于x，y的二元一次方程组
（
）有唯一解，且
，
.
【点睛】
关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件.