[数学]2023_2024学年甘肃甘南卓尼县卓尼县柳林中学高一下学期期末数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年甘肃甘南卓尼县卓尼县柳林中学高一下学期期末数学试卷
1. 若复数 满足
A.
，则
B.
（
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
利用
进行求解.
【详解】
由题知
，
．
故选：B
2.
（
）
A.
B. 2
C. 1
D.
答案
解析
A
【分析】
逆用两角和的正切公式直接计算即可.
【详解】
.
故选：A
3. 已知事件 与事件 相互独立，若
A．0.7
，则
（
）
B．0.21
C．0.18
D．0.12
答案
解析
D
【详解】
由题知
.12．故选D．
4. 已知
A.
的内角
，
，
所对的边分别为 ， ， ，若
B.
，则
C.
（
）．
D.
答案
解析
C
因为
，余弦定理可得
，
，
，
解得
．
故选：
．
5. 已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题错误的是（
）

A. 若
B. 若
C. 若
D. 若
，则
，则
或
，则
，则
与
与
平行或异面
相交或平行
答案
解析
D
【分析】
根据直线和平面的位置关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于A，若
对于B，若
对于C，若
对于D，若
故选：D.
，则
或
，故A正确；
，则由线面垂直的性质定理得
，故B正确；
平行或异面，故C正确；
相交､平行或异面，故D错误.
，则
，则
与
与
6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为
A. B. 2
，则侧棱长为（
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
根据题意画出图形根据棱台的体积公式结合条件即得.
【详解】
如图，在正四棱台
中，
，
，连接
，
，
则
，
，
设侧棱长为
，则棱台的高为
，
所以该正四棱台的体积为
解得
故选：B．
，
．
7. 已知圆锥的顶点为 ，母线长为2，轴截面为
，若 为底面圆周上异于
C.
，
的一点，且二面角
D.
的大小为
，则
A. 4
的面积为（
）
B. 2
答案
解析
B
【分析】
作出辅助线，找到
即为二面角
的平面角，即
，并利用勾股定理求出各边长，求出三角形面积.
【详解】
由题意得
，
设底面圆圆心为 ，取
则
的中点 ，连接
，故
，所以
，
，
因为
故
，
⊥
，
⊥
，
即为二面角
的平面角，即
，
，
故
，

由勾股定理得
，
，
所以
的面积为
故选：B
8. 在等腰
A. 9
中，
为
上一点，且
，记
C.
的外心为 ，若
，则
D. 27
（
）
B. 12
答案
解析
C
【分析】
由等腰三角形及外心的性质得到
平分
，利用正弦定理得到
，从而得到 ，再利用余弦定理求出
与
，最后利用数量积的定义计算可得.
【详解】
因为
，所以
在
上，
，
又因为等腰
的外心为
，所以
在
的中垂线上，
又
的中垂线和
平分
的角平分线重合，
，即 ，
所以
因为
在
，所以
，所以
，
与
中，由正弦定理可得
②，
①，
因为
又
，所以
，
，
两式相除可得
设
，由
，所以
，
，则
，
在
即
与
中
，由余弦定理可得
，解得 （负值舍去），
，
则
，
在
中
，
所以
故选：C
.
9. 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1~8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球
的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（
）
A．事件A与事件C不互斥
C．事件B与事件C互斥
B．事件A与事件B互为对立事件
D．事件C与事件D互为对立事件
答案
解析
AB
【详解】

由题意可得事件 表示
，事件B表示
，事件C表示
，事件D表示
，∴事件A与事件C不互斥，事件A与
事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥且不对立，故A，B正确，C，D错误.故选AB.
10. 已知向量
A. 若
，则下列结论正确的是（
）
，则
或
B. 若
C. 若
D.
，则
的夹角与
的夹角相等，则
若
，则 在 上的投影向量为
答案
解析
AC
【分析】
先表示出 的坐标，对于A，由
列方程求解即可，对于B，由
，得
从而出 ，对于C，利用向量的夹角公式列方程求解
即可，对于D，利用投影向量的定义求解.
【详解】
，
对于A，若
对于B，
，则
，解得
或
，故A正确：
，故B错误；
，解得
对于C，
的夹角与
，则
的夹角相等，
，即
，解得
，故C正确：
,故D错误．
对于D．若
在 上的投影向量为
故选：AC．
11. 如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
是边
的中点，过点A，B，D作截面交
于点E，
则（
）
A．
C．
B．平面
平面
平面
D．点 到截面
的距离为
答案
解析
ABD
【详解】
如图，
在直三棱柱
平面
中，
平面
平面
，
，
，
则有
可得
∵
平面
，
，平面
平面
，
，
，A正确；
的中点，
是
，
，∴
又
则
，∴
，∴
，∴
，
，

∵
，
，
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
平面
，∴
，
又
，
平面
，∴
平面
，B正确；
与平面 不平行，C错误；
，
又
，∴平面
平面
平面
因为
设
，
，所以
与
交于点 ，则
平面
，
又因为
为
的中点，所以点 到截面
的距离等于点 到截面
的距离
.
在
中，
，由等面积法可得
的距离为 ，D正确.故选ABD.
，
所以点 到截面
12. 在复平面内，若复数 对应的点的坐标为
，则
.
答案
解析
【分析】
先求出 ，然后代入
【详解】
化简即可.
由题意得
所以
，
.
故答案为：
13. 如图，点 是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点
三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且
海里，
海里，若
海里，则丙船到钻井平台的距离为 海里．
答案
解析
【分析】
先应用正弦定理得出
【详解】
，再应用余弦定理求边长即可.
设
在
，则
，
中，由正弦定理可得
，可得
，
，所以
，
则
在
，所以
海里，
，
中，由余弦定理得
即丙船到钻井平台的距离为
故答案为：
海里．
.
14. 如图，在
时，三棱锥
中，
的内切球的表面积为
，
为
的中点．将
沿
翻折，使点 移动至点 ，在翻折过程中，当
．

答案
解析
【分析】
设内切球半径为 ，三棱锥
表面积为 ，根据三棱锥体积
求出 ，然后由球的表面积公式可得.
【详解】
因为
当
，
，
，所以
，因为
，
，
时，
平面
，
，
所以
，
，
，
则三棱锥
的表面积为
，
设内切球半径为 ，则由等体积法知
，
解得
，所以内切球的表面积
．
故答案为：
15. 已知 为坐标原点，
(1)若 三点共线，求实数 的值；
(2)若点 满足
，
，
.
，求
的最小值.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）首先表示出
，
，依题意
，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先表示出
【详解】
的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
（1）因为
所以
，
，
，
，
，
又
三点共线，所以
，解得
，
所以
（2）因为
所以
，
，
，
，
所以
，
所以
，
所以当
时
.
16. 已知角 满足
．
(1)求
(2)求
和
的值；
的值．
答案
(1)
，
(2)
解析
【分析】
（1）先利用诱导公式求出
，再利用同角三角函数的关系可求出
，然后利用二倍角公式求出
；
（2）先求出
【详解】
（1）由
，然后利用两角和与差的正弦、余弦公式化简计算即可.
，得
，

所以
，所以
，
，
因为
因为
所以
，所以
，
，所以
，
，
因为
所以
，所以
，
，
；
（2）由（1）可得
所以
，
17. 已知 ， ， 分别为
(1)求角 的大小；
三个内角
，
，
的对边，且
．
(2)若
，
，求
的面积．
答案
(1)
(2)
．
解析
【分析】
（1）利用正弦定理角化边化简
，结合两角和的正弦公式即可推出
，即可求解；
（2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案.
【详解】
（1）在
中，
，
由正弦定理得
，
．
又
，
，
，
，
，
，
．
（2）在
中，
，
，
，
，
由正弦定理得
由余弦定理得
，
，解得
（负值舍去），
．
的面积为
18. 为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火
灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第
一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答
错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的
概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
答案
解析
(1)
(2)乙更容易晋级复赛
【分析】
（1）对A类的5个问题进行编号：
可；
，其中甲能答对的4个问题的编号为
，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即

（2）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算
甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.
【详解】
（1）对A类的5个问题进行编号：
，其中甲能答对的4个问题的编号为
，
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为：
，共10种，
其中得0分的情况有：
，4种，
所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为
（2）甲晋级复赛分两种情况：
；
甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：
甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：
所以甲晋级复赛的概率为
，
，
；
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：
乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：
所以乙晋级复赛的概率为
，
，
因为
，所以乙更容易晋级复赛.
19. 如图，在四棱锥
．
中，
平面
，底面
是平行四边形，
，
为
的中点，
，
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
的大小．
(2)求二面角
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）取
的中点 ，连接
的中点 ，连接
，
，推出
平面
，从而
，
是直线
与平面
所成角，由此能求出直线
与平面
所成角的正弦值.
（2）取
平面
，取
的中点 ，连接
，可得
，由
是二面角
，
，可得
的平面角，在
，并由已知条件推出
，根据线面垂直性质推出
中，由已知条件即可求
出
.
【详解】
（1）取
在
的中点 ，连接
中，
，
，
，
，
，
，
平面
分别为
，
平面
的中点，
，又
，
，
，
，
，
，
，
平面
，
直线
与平面
所成角为
，
在
中，
，
，
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．

（2）取
由
的中点 ，连接
，取
的中点 ，连接
，
，
，
，
，可得
，
，
，
又
又
，
平面
，
平面
，
，
是二面角
中，
的平面角，
，
在
，
，
，
故二面角
的大小为
．