[数学]2023_2024学年甘肃庆阳环县高二下学期期中数学试卷(第四中学)(原题版+解析版)

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2023~2024学年甘肃庆阳环县高二下学期期中数学试卷（第四中学）
1. 已知函数
A.
，则
＝（）
B. 1
C.
D. 2
答案
解析
C
【分析】
利用导数的定义求解.
【详解】
因为
，所以
，
则
.
故选：C
2. 已知
A.
，则下列向量中与平行的是（
B.
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
利用共线向量定理逐个分析判断即可.
【详解】
对于A，因为
对于B，因为
对于C，因为
对于D，因为
故选：B．
，所以A不正确；
，所以B正确；
，所以C不正确；
，所以D不正确．
3. 设点
A.
，
，
，若
，则点的坐标为（
C.
）
B.
D.
答案
解析
B
【分析】
设
，根据
，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】
设
，则
，可得
，且
，
因为
，解得
，即点
.
故选：B.
4. 已知函数
A.
，则
的极小值点为（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
解：
的定义域为R，
，

所以在
在
上
，
单调递增，
，
上
，
单调递减，
单调递增，
，
在
上
，
，
所以
是
的极小值点，
因此正确答案为：B．
5. 已知函数
A.
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
令
，解得
，对函数
求导，令
，解得
，即可求得
.
【详解】
令
，得
，解得
，
所以
令
，
，得
，解得
，
所以
故选：D
，所以
，所以
.
6. 在平行六面体
A.
中，点是线段
上的一点，且
，设
，
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可.
【详解】
因为平行六面体
所以
中，点是线段
上的一点，且
，
．
故选：C．
7. 已知函数
A.
，若
B.
，则下列式子大小关系正确的是（
C.
）
D.
答案
解析
A
【分析】
求导得到函数单调性，结合
，得到答案.
得到
，由函数单调性得到
，故
，从而得到
【详解】

在
上恒成立，
，故
故
在
上单调递增，
因为
所以
当
，故
，所以
，
，
时，
，
故
，
，则
，
故
，
综上，
故选：A
，A正确.
8. 如图，在平行六面体
中，底面是边长为2的正方形．若
，且
，则
的长为（
）
A.
B.
C.
D. 5
答案
解析
A
根据空间向量的运算法则，易得
又因为
，
，
故
.
因此正确答案为：A．
9. 下列求导运算正确的是（
A.
）
B.
C.
D.
答案
解析
BC
【分析】
根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10. 已知空间向量
A.
，则下列说法正确的是（
）
B.
C.
D. 若
，则
共面
与夹角的余弦值为
答案
解析
BCD
【分析】
根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C.
【详解】

A：
B：
，又
，则
，故A错误；
，故B正确；
C：因为
所以
，所以
，故C正确；
，
D：因为
，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数
的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.
在区间
上单调递 B.
在区间
上单调递增 C.
在
处取得极大值
D.
在
处取得极大值
减
答案
解析
AC
由
的图像分析可得：
当
时，
时，
，
，
单调递减，故A无误；
单调递减；当
当
时，
时，
，
单调递增，故B有误；
单调递减；
当
时，
，
单调递增；当
，
所以
由于
在
在
处取得极大值，故C无误；
上单调递增，所以在
没有取得极大值，故D有误.
因此正确答案为：AC.
12. 已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
的最小值为
C.
有两个零点
D. 直线
是曲线
的一条切线
的极值点为
答案
解析
BD
因为
，所以
；令
上单调递减；在
处取得唯一极小值，也是
，
令
，得
，得
；
所以
所以
所以
在
在
上单调递增；
的最小值，
的极值点为
，
，故A有误，B无误；
上的单调性，可知
因为
，结合
在
是
在
上的唯一零点；
当
时，
恒成立，故
恒成立，所以
在
上没有零点；
综上：
因为
只有一个零点，故C有误；
，
，
所以
在
处的切线方程为
，即
，故D无误.
因此正确答案为：BD.
13. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：
度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为
）与时间（单位：
．
）的函数关系可近似表示为
，则在
时的瞬时降雨强
答案
解析
因为
所以
，
，

，
故在
时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为
．
故答案为：．
14. 已知向量
，
，且
，则实数m＝
．
答案
解析
/
【分析】
由已知可得
，代入坐标即可求出实数m的值.
【详解】
因为
，
，
所以
，
，
因为
，
所以
，解得
．
故答案为：
15. 曲线
在点
处的切线方程为
．
答案
解析
【分析】
利用导数的几何意义求解.
【详解】
因为
，所
，
所以曲线
，即
在
处切线方程为
．
故答案为：
16. 已知平面的一个法向量为
，点
是平面上的一点，则点
到平面的距离为
.
答案
解析
【分析】
利用空间向量法可得出点到平面的距离为
【详解】
，即为所求.
由已知可得
，
所以点到平面的距离为
.
故答案为：
.
17. 已知函数
．
(1)求
(2)求
的单调区间；
的极值．
答案
(1)单调递增区间为
(2)极大值为
和
，单调递减区间为
；
，极小值为0．
解析

（1）
的定义域为
，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
（2）由（1）可知，
又
在
上单调递增，在
，
上单调递减，在
，
上单调递增．
所以
的极大值为
，极小值为0．
18. 已知函数
.
(1)若函数
(2)若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围；
，求上的值域.
在
答案
解析
(1)
；
(2)
.
【分析】
（1）根据函数单调性与函数导函数正负性的关系进行求解即可；
（2）利用导数的性质判断函数的单调性，根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）因为
因为函数
则
，所以
上单调递增，所以
，解得
.
在
恒成立，
，
即实数的取值范围是
（2）因为
；
，所以
.
由
，得
在
或
；由
，得
.
上单调递减.
所以函数
因为
上单调递增，在
，
，
，
，
所以
在
上的值域为
.
19. 如图，在四棱锥
．
中，底面
为矩形，
平面
，
是
的中点，
为等腰直角三角形，
，
(1)求证：
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
答案
(1)证明见解析
(2)
解析
【分析】
（1）根据
平面
得到
，根据等腰三角形的性质得到
；
，利用线面垂直的判定定理得到
平面
，最后
利用线面垂直的性质即可得到
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角即可.
（1）
证明：∵
又∵
平面
是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴
平面平面
，
平面PAD，∴
，
，
又∵
，
，
，

∴
平面
∵
平面ABCD，∴
；
（2）
解：如下图所示，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，
通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系
不妨设，则
设平面PBE的法向量为
，
，
，
，则
，
，
，
，取
为平面PBE的一个法向量，
设PC与平面PBE所成的角为，则
，则
，
故
，
∴
与平面PBE所成角的正弦值为
．
20. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC
卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长
，圆柱的体积为V
．
(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
答案
解析
(1)
，定义域为
；
(2)当
时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
（1）在
中，
因为
，所以
，
设圆柱的底面半径为r，则
，即
，
所以
，定义域为
（2）由（1）得
，
，
，
令
，则
时，
，解得
，当
，
当
时，
上单调递减.
时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
，
所以
在
上单调递增，在
当
21. 如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
分别为中点.
底面AB
，且

(1)证明：
(2)求平面
平面
；
与平面
所成角的正弦值.
答案
解析
(1)证明见解析
(2)
（1）因为
分别为
的中点，所以
，
，
在直角梯形
中，因为
，所以
，
又因为
所以
平面
平面
平面
平面
；
，
（2）由
平面
，
，得
，又
，
，
建立如图空间直角坐标系，设
则
，
，
所以
设平面
则
的法向量为
，
，
，
取
，则
的法向量为
，即
，
设平面
则
，
取
，则
与平面
，即
所成角为，
，
设平面
则
，
所以
.
22. 已知函数
．
(1)若
(2)若
，证明：
：
，都有
，求实数的取值范围．
答案
(1)证明见解析
(2)
．
解析
【分析】
（1）由导数判断单调性后求最小值证明，
（2）转化为
【详解】
在
单调递增，分类讨论单调性后求解．

（1）证明：若
，
令
，解得
，令
上单调递减，在
，
，解得
，
所以
所以
所以
在
上单调递增，
；
（2）不妨设
，所以
，即
，
所以
令
在
上单调递增，
在
上恒成立，
令
．
当
时，
时，令
在
上恒成立，又
，不符合题意；
，
当
，解得
，令
，解得
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
当
，解得
，此种情况无解，
时，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
综上所述的取值范围为
．